Задача 3

Производительность (тыс. шт.) работников предприятия на соответствующих работах представлена в виде матрицы.

	Работа 1	Работа 2	Работа 3	Работа 4
Работник 1	5	4	7	3
Работник 2	6	2	8	1
Работник 3	3	2	7	5
Работник 4	4	6	1	8

Распределить работы среди претендентов с максимальной суммарной производительностью для предприятия.

Решение

Определим максимальный элемент в каждом столбце.

	Работа 1	Работа 2	Работа 3	Работа 4
Работник 1	5	4	7	3
Работник 2	6	2	8	1
Работник 3	3	2	7	5
Работник 4	4	6	1	8
Максимум по столбцу	6	6	8	8

Вычтем из максимального элемента другие элементы столбца. Определим минимальные элементы по строкам.

	Работа 1	Работа 2	Работа 3	Работа 4	Минимум по строке
Работник 1	1	2	1	5	1
Работник 2	0	4	0	7	0
Работник 3	3	4	1	3	1
Работник 4	2	0	7	0	0

Так как в полученной матрице имеется ненулевая строка, то из элементов строки вычтем соответствующий минимальный элемент.

	Работа 1	Работа 2	Работа 3	Работа 4
Работник 1	0	1	0	4
Работник 2	0	4	0	7
Работник 3	2	3	0	2
Работник 4	2	0	7	0

В полученной матрице в каждой строке и в каждом столбце имеется хотя бы один нуль. Найдем строку или столбец, содержащий один нуль. В данной задаче это третья строка и второй и четвертый столбцы. Выберем элемент (4,4) и вычеркнем четвертую строку и четвертый столбец. Элемент (4,4) выделим.

	Работа 1	Работа 2	Работа 3	Работа 4
Работник 1	0	1	0	4
Работник 2	0	4	0	7
Работник 3	2	3	0	2
Работник 4	2	0	7	0

В оставшейся матрице во втором столбце все элементы ненулевые, а, следовательно, в данной матрице нельзя распределить работы между претендентами. Преобразуем таблицу 3, вычеркнув все нули минимальным количеством вертикальных и горизонтальных прямых.

	Работа 1	Работа 2	Работа 3	Работа 4
Работник 1	0	1	0	4
Работник 2	0	4	0	7
Работник 3	2	3	0	2
Работник 4	2	0	7	0

В оставшейся матрице минимальное значение равно единице. К элементам, лежащим, на пересечении вертикальных и горизонтальных прямых, прибавим минимальное значение, а из невычеркнутых вычтем.

	Работа 1	Работа 2	Работа 3	Работа 4
Работник 1	0	0	0	3
Работник 2	0	3	0	6
Работник 3	2	2	0	1
Работник 4	3	0	8	0

В полученной матрице третья строка и четвертый столбец содержат один нуль. Выберем элемент (4,4) и вычеркнем четвертую строку и четвертый столбец. Элемент (4,4) выделим.

	Работа 1	Работа 2	Работа 3	Работа 4
Работник 1	0	0	0	3
Работник 2	0	3	0	6
Работник 3	2	2	0	1
Работник 4	3	0	8	0

В оставшейся матрице в третьей строке и втором столбце имеется один нуль. Выберем ячейку (3,3) и вычеркнем третью строку и третий столбец. Элемент (3,3) выделим.

	Работа 1	Работа 2	Работа 3	Работа 4
Работник 1	0	0	0	3
Работник 2	0	3	0	6
Работник 3	2	2	0	1
Работник 4	3	0	8	0

В полученной матрице первая строка имеет два нулевых значения, вторая только один, поэтому данная задача имеет только одно решение.

	Работа 1	Работа 2	Работа 3	Работа 4
Работник 1	0	0	0	3
Работник 2	0	3	0	6
Работник 3	2	2	0	1
Работник 4	3	0	8	0

Выделенные нули определяют оптимальное решение: первого работника необходимо назначить на вторую работу, второго – на первую, третьего – на третью, четвертого – на четвертую работу.

Суммарная производительность: 7 + 6 + 7 + 8 = 28 тыс. шт.