3.3. Задача коммивояжера
Задача коммивояжера решается в случае, когда необходимо посетить n городов по одному разу и вернуться в исходный город. Расстояние между любыми двумя городами i и j известно и равно ci,j (, если между городами нет дороги). Цель задачи – найти кратчайший маршрут (гамильтонов контур минимальной длины).
Для точного решения задачи коммивояжера необходимо исследовать все возможные маршруты (все гамильтоновы контуры). Для задачи с n городами общее число гамильтоновых контуров равно (n – 1)! При большом n это число довольно велико, поэтому часто приходится ограничиваться поиском приближенно оптимальных решений.
В настоящее время существует значительное число приближенных методов решения задачи коммивояжера. Одним из наиболее простых является метод ближайшего соседа (ближайшего непосещенного города). Данный метод целесообразно применять при количестве городов более 40. Качество решения зависит от выбора начальной вершины, поэтому замкнутые контуры необходимо строить для каждой вершин, рассматриваемой как начальной. Одним из наиболее распространенных методов решения задачи коммивояжера является метод ветвей и границ.
3.3.1. Метод ближайшего соседа
Алгоритм решения включает следующие шаги.
1 шаг. Выбрать первую вершину.
2 шаг. Для выбранной вершины найти наиболее близкую к ней. Если данная вершина уже вошла в маршрут, то она блокируется, и выбирается следующая по степени близости.
3 шаг. Повторять шаг 2 до тех пор, пока маршрут (путь) не пройдет через все вершины.
4 шаг. Выбрать вторую вершину и повторить шаги 2–3.
5 шаг. Процесс считается законченным, когда гамильтоновы контуры построены для всех вершин, выбранных в качестве начальных.
6 шаг. Рассчитать длину каждого из полученных маршрутов и выбрать минимальное значение.
Задача
Решить задачу коммивояжера со следующей матрицей расстояний.
|
Города |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1 |
|
10 |
12 |
8 |
9 |
11 |
|
2 |
21 |
|
7 |
5 |
21 |
3 |
|
3 |
13 |
19 |
|
13 |
4 |
15 |
|
4 |
15 |
20 |
14 |
|
10 |
10 |
|
5 |
7 |
15 |
9 |
12 |
|
23 |
|
6 |
16 |
3 |
11 |
8 |
17 |
|
Символ на главной диагонали означает фактический запрет на переход вида i i (из города в него же).
Решение
Решение задачи начнем с рассмотрения первой вершины в качестве начальной. Наиболее близкой к ней вершиной является четвертая. Расстояние между первым и четвертым городом 8 км. Наиболее близкой к четвертой вершине является пятая и шестая. Так как данные вершины еще не входили в маршрут, то далее следует рассматривать два варианта.
10 5
8
1 4
10 6
Для пятой вершины наиболее близкой является первая, которая уже вошла в маршрут. Поэтому выбираем следующую по близости вершину – третью. Для шестой вершины ближайшим соседом является вторая, которую и выбираем для проходящего через нее пути.
1 7
9
10 5 3
8
1 4
3
10 6 2
Ближайшей к третьей вершине является шестая (первая, четвертая и пятая вошли в путь). Ко второй – третья (четвертая и шестая вошли в маршрут).
1 4
5
1 13
9 13 4 15
10 5 3
6
8
1 4
3 7
10 6 2
3
5 3
4 6
Следующей по степени близости к шестой вершине является вторая; к третьей – пятая. Данные вершины были последними в цепи городов, которые необходимо посетить, поэтому для создания замкнутого маршрута вернемся в первый город.
1 4 5
1 13 13 4
9 15 3 21
10 5 3 6
2 1
8
1 4
3 7 4 7
10 6 2 3
5 1
4 6
Суммарное расстояние для пути:
1 – 4 – 5 – 3 – 6 – 2 – 1 Z = 8 + 10 + 9 + 15 + 3 + 21 = 64 км.
1 – 4 – 6 – 2 – 3 – 5 – 1 Z = 8 + 10 + 3 + 7 + 4 + 7 = 39 км.
Для других вершин замкнутые контуры построены на рисунках.
2 6 2 4 5 6
а)
3 10 10 8 9 11
3 8 10 7 12 19
2 6 4 5 1 3 2
Суммарное расстояние:
2 – 6 – 4 – 5 – 1 – 3 – 2 Z = 3 + 8 + 10 + 7 + 12 + 19 = 59 км.
б) 5 4 6
10 5 3
4 7 8 10 3 7
3 5 1 4 6 2 3
Суммарное расстояние:
3 – 5 – 1 – 4 – 6 – 2 – 3 Z = 4 + 7 + 8 + 10 + 3 + 7 = 39 км.
в
)
4 5 2 4
8 9 3 8
10 7 10 3 11 13
4 5 1 2 6 3 4
Суммарное расстояние:
4 – 5 – 1 – 2 – 6 – 3 – 4 Z = 10 + 7 + 10 + 3 +11 + 13 = 54 км.
г) 4 6
5 3
10 3 7 4 7 8
4 6 2 3 5 1 4
Суммарное расстояние:
4 – 6 – 2 – 3 – 5 – 1 – 4 Z = 10 + 3 + 7 + 4 + 7 + 8 = 39 км.
д
)
5 4 6
10 5 3
7 8 10 3 7 4
5 1 4 6 2 3 5
Суммарное расстояние:
5 – 1 – 4 – 6 – 2 – 3 – 5 Z = 7 + 8 + 10 + 3 + 7 + 4 = 39 км.
е
)
6 6 2 4 5 6
3 10 10 8 9 11
3 5 10 7 12 15
6 2 4 5 1 3 6
Суммарное расстояние:
6 – 2 – 4 – 5 – 1 – 3 – 6 Z = 3 + 5 + 10 + 7 + 12 + 15 = 52 км.
Оптимальными маршрутами следования будут:
1 – 4 – 6 – 2 – 3 – 5 – 1;
3 – 5 – 1 – 4 – 6 – 2 – 3;
4 – 6 – 2 – 3 – 5 – 1 – 4;
5 – 1 – 4 – 6 – 2 – 3 – 5.
Для всех этих маршрутов общее расстояние обхода всех городов является минимальным и составляет 39 км.