3.1 Операції з’єднання

У принципі, операції з’єднання двох або декількох систем – багато в чому подібні способам з’єднання елементів в електричних ланцюгах, тобто це досить прості операції. Як правило, потрібно лише з'єднати вихід однієї системи з входом іншої або подати той самий вхідний сигнал на входи двох систем. Тому процедура з’єднання, у деякому сенсі, аналогічна, наприклад, процедурі розробки загальної принципової схеми складного електротехнічного пристрою, що складається з окремих елементів, модулів або блоків.

У загальному випадку, для того щоб об’єднати між собою дві системи потрібно розбити множину їхніх входів і виходів на певні системи підмножин, а саме: у множинах входів і виходів варто виділити групи підмножин підлягаючих і не підлягаючому об’єднанню.

Нехай задана деяка множина . Розіб'ємо її на систему підмножин . Така розбивка, у загальному випадку, припускає встановлення деяких відношень, як між елементами підмножин , так і між самими цими підмножинами. Визначимо на отриманій в такий спосіб розбивці, універсальне відношення або, об'єкт = . Тут – множина індексів об'єкта . При цьому будемо називати компонентними множинами. Домовимося позначати через сімейство компонентних множин об'єкта , .

Уведемо тепер поняття систем, що з'єднуються. Нехай — загальна система з вхідним об'єктом і вихідним – .

У загальному випадку не всі, а тільки деякі компонентні множини входів або виходів можуть використовуватись для реалізації з'єднань. Позначимо через декартів добуток вхідних, а через – вихідних компонентних множин, що беруть участь у з'єднанні. Позначимо тепер через сімейство компонентних множин , що не беруть участь у з'єднанні

,

а через — декартів добуток множин з ,

.

Таким чином, вхідний об'єкт системи можна представити як добуток двох складених компонентів:

.

Діючи аналогічним чином у відношенні виходу системи, позначимо через декартів добуток вихідних компонентів, що можуть брати участь у з'єднанні, а через – декартів добуток вихідних компонентів, що не беруть участь у з'єднанні. Тоді вихід системи можна представити у виді

.

Тепер для кожної такої системи можна утворити деяку рахункову множину систем, що з'єднуються

,

та які відрізняються одна від одної вибором і , а також типом з'єднання. Таким чином, зв'язок між системами визначеними над і , і системами , визначеними над і , полягає в наступному. Обидва приведені випадки власне кажучи – однакові системи, що відрізняються одна від іншої тільки типами з'єднань.

Під системами, що з'єднуються, будемо розуміти множину

.

Розглянемо елементарні типи з'єднань систем і установимо відповідні операції з'єднання.

Каскадне з'єднання систем.

Задамо відображення таке, що , якщо

, , ,

і

.

Це відображення «» будемо називати операцією каскадного з'єднання або каскадною з'єднуючою операцією.

Паралельне з'єднання систем.

Визначимо відображення таке, що , якщо

, , те , і .

Тоді відображення «+» будемо називати операцією паралельного з'єднання, або паралельною з'єднуючою операцією.

Замикання зворотного зв'язку.

Нехай відображення , таке, що , де

, ,

і

.

Тоді відображення називається замиканням зворотного зв'язку або операцією замикання зворотного зв'язку.

Схематичне зображення операцій з'єднання приведено на рисунках 3.1 –3.3 Слід зазначити, що ці операції можна було б визначити й іншими способами. Наприклад, замість того, щоб визначати замикання зворотного зв'язку для одиночної системи і з'єднувати її вихід із входом, як показано, на рис. 3.3 а), можна було б припустити, що в ланцюзі зворотного зв'язку повинна бути ще одна підсистема, як показано на рис. 3.3 б). Однак три основні операції, введені вище, вичерпують у різних комбінаціях більшість цікавих випадків, і в цьому сенсі їх можна розглядати як примітивні. Наприклад, з'єднання, зображене на рис. 3.3 б), як випливає з рис. 3.1, можна представити у виді .

Розглянемо реалізацію операцій з'єднання на прикладі двох систем «вищий навчальний заклад» – ВНЗ, і «приймальня комісія» – Пк. Вхід системи Пк складається з наступних компонентних множин: – множина абітурієнтів, що здали документи у приймальну комісію, – множина відрахованих студентів, що бажають відновитися на відповідний курс, – множина студентів інших ВНЗ, що бажають навчатися в даному ВНЗ за переводом, тобто . Вихід системи Пк – компонентна множина, що складається з підмножин: – множина абітурієнтів, що здали вступні іспити успішно, – множина абітурієнтів, що не здали вступні іспити, – множина студентів зарахованих у ВНЗ і – множина студентів, яким відмовлено в прийомі. Множина у свою чергу складається з двох підмножин: – множини абітурієнтів у яких сума балів менше прохідного і – множини абітурієнтів у яких сума балів більше прохідного бала. Ці множини знаходяться у відношенні порядку, тому що в абітурієнтів множини сума балів менше, ніж в абітурієнтів приналежних , тобто . Розіб'ємо множину виходів системи Пк на дві підмножини: не придатні до з'єднання (на його підмножинах виконується відношення еквівалентності – «не зараховані до ВНЗ») і придатні до з'єднання (на його підмножинах також виконується відношення еквівалентності – «зараховані до ВНЗ»). Множина входів системи ВУЗ збігається по своїй структурі з множиною , позначимо її . Множина виходів складається з двох підмножин: – множини студентів відрахованих з першого курсу, – множини студентів відрахованих з інших курсів, що мають незакінчену вищу освіту, і – множини випускників ВНЗ, що мають закінчену вищу освіту, тобто . Таким чином, для розглянутих систем, одержимо, що і .

Очевидно, що ці дві системи можуть бути з'єднані каскадно, у результаті одержимо і .