16. Средняя арифметическая

Средняя арифметическая величина наиболее часто встреча­ется в социально-экономических исследованиях. Средняя арифмети­ческая применяется в форме простой средней и взвешенной средней.

Средняя арифметическая простая рассчитывается по не­сгруппированным данным на основании формулы

где х — индивидуальные значения признака);п-число единиц совокупности.

Средняя арифметическая взвешенная рассчитывается по сгруппированным данным:

где f- частота повторения соответствующего значения признака (варианта); Σf~ общее число единиц совокупности (Ef=n)

17.Средняя гармоническая величины

Средняя гармоническая величина является модификацией средней арифметической. Применяется в тех случаях, когда известны индивидуальные значения признака, т.е. варианты (х), и произведения вариант на частоту (х/=М), но неизвестны сами частоты (/).СР.ГАРМ ВЗВЕШ.

Средняя гармоническая простая в практике статистики исполь­зуется крайне редко. В тех случаях, когда М= константа, средняя гар­моническая взвешенная превращается в среднюю гармоническую простую:

18.Средние величины-геометрическая, квадрат, кубическая, хронологическая

Средняя геометрическая величина используется при расчете средних показателей динамики. Средняя геометрическая применяется 8 Форме простой средней (для несгруппированных данных) и взвешенной средней (для сгруппированных данных).

Средняя геометрическая простая

где п - число значений признака; П — знак произведения.

Средняя геометрическая взвешенная

Средняя квадратическая величина используется при расчете показателей вариации. Применяется в форме простой и взвешенной. Средняя квадратическая простая

Средняя квадратическая взвешенная

Средняя кубическая величина используется при расчете пока­зателей асимметрии и эксцесса. Применяется в форме простой и взвешенной.

Средняя кубическая простая

Средняя кубическая взвешенная

Средняя хронологическая величина используется для расчета среднего уровня ряда динамики:

19. Показатели вариации

Зарегистрированные в процессе статистического наблюдения различия величины признака у отдельных единиц совокупности назы­ваются вариацией признака. По степени вариации признака можно судить о процессах развития изучаемых явлений, о типичности средних величин. Дело в том, что средняя величина дает обобщающую характеристику признака изучаемой совокупности, но она не раскрывает строения совокупности. Она не показывает, как относительно нее располагаются варианты осредняемого признака - сосредоточены ли они вблизи средней или значительно отклоняются от нее. Средняя величина признака в двух совокупностях может быть одинаковой, но в одном случае все индивидуальные значения могут мало отличаться от нее, а в другом - эти отличия могут быть велики, т. е. в одном случае вариация признака мала, а в другом - велика, что имеет большое значение для характеристики надежности средней величины.

Для определения меры вариации признака в статистике исполь­зуются абсолютные и относительные показатели вариации.

К абсолютным показателям вариации относятся: размах ва­риации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратаческое отклонение.

Размах вариации (и) является самым простым из абсолютных показателей вариации и представляет собой разность между макси­мальным и минимальным значениями признака:

R=Xmax-Xmin Xmax максимальное значение признака в совокупности; Хmin - минимальное значение признака в совокупности.

Величина размаха вариации зависит только от крайних значений и не учитывает всех изменений варьирующего признака в пределах изучаемой совокупности. Поэтому при изучении вариации нельзя ог­раничиваться расчетом только этого показателя. Для анализа вариа­ции необходимы показатели, дающие обобщенную характеристику всех колебаний варьирующего признака.

Среднее линейное отклонение для несгруппированных данных определяется по формуле

Среднее линейное отклонение для сгруппированных данных

рассчитывается так:

Следует отметить, что среднее линейное отклонение не всегда улавливает степень вариации значений признака. Поэтому в статисти­ке применяется более чувствительный обобщающий показатель -дисперсия. Дисперсия представляет собой средний квадрат отклоне­ний индивидуальных значений признака от их средней величины. Возведение в квадрат позволяет резко усилить различия в величинах

отклонений.

Дисперсия для несгруппированных данных вычисляется по

формуле

дисперсия для сгруппированных данных рассчитывается так:

Для расчета дисперсии применяется также следующая формула:

(5.6

Среднее квадратическое отклонение представляет собой ко-'•ень квадратный из дисперсии:

Среднее квадратическое отклонение также как и среднее линей­ное отклонение показывает, на сколько в среднем отличаются инди­видуальные значения признака от их среднего значения. Однако по величине среднеквадратическое отклонение во всех случаях превыша­ет среднее линейное, так как более чутко реагирует на вариацию. Для симметричных и умеренно асимметричных распределений имеет ме­сто следующее соотношение:

Размах вариации, среднее линейное отклонение и среднее квад­ратическое отклонение выражаются в именованных числах, т. е. име­ют единицу измерения (такую же, как и значения признака). Поэтому их нельзя непосредственно использовать для сравнения степени ва­риации по одному и тому же признаку в двух группах с разным уров­нем средних, а также для сравнения вариации двух различных призна­ков в одной группе. В этих случаях применяются следующие относи­тельные показатели вариации.

Коэффициент осцилляции:

Относительное линейное отклонение (линейный коэффициент

вариации)

Коэффициент вариации

Коэффициент вариации позволяет не только получить обоб­щающую характеристику вариации признака в совокупности, но и да­ет возможность сделать выводы об однородности совокупности. Со­вокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%. Средние величины, рассчитанные по однородной со­вокупности, являются ее достаточно надежными характеристиками.