978-966-10-2413-6_Matematuka 11_rus

§22. Выборочный метод в статистике

Исследовать большую совокупность объектов, о которой необходимо получить информацию, часто нет возможности. Приходится удовлетвориться исследованием ее части – выборки. В данном параграфе дается представление о задачах статистики, о сущности выборочного метода, приводятся примеры его применения.

1. Чем занимается статистика?

Краткий ответ на поставленный вопрос будет та- ким: она учит собирать, регистрировать, изобра- жать, воспринимать, применять информацию.

статистика» имеет один корень со словом «state» (государство) и сначала оно означало искусство и науку управления. Потом слово “статистика” ста - ло означать сбор данных о государстве, а теперь — вообще сбор и обработку данных.

Основными методами для сбора информации является опрос, наблюдение, проведение экспериментов, использование бумаж- ных, электронных источников информации и т. п. Чтобы школе получить информацию о результатах проведения внешнего неза- висимого оценивания (ВНО) можно провести опрос выпускников. Если необходимо иметь информацию о спросе на различные сорта хлеба, целесообразно провести соответствующие наблюдения. В случае необходимости определить различие в стилях двух писате- лей целесообразно, например, определить количества различных слов в отрывках одинаковой длины из произведений этих писате- лей. Подобные примеры можно продолжить.

Информация, собранная одним из указанных методов, обычно бывает хаотичной, неудобной для ее анализа. Например, резуль- таты ВНО сначала могут иметь такой вид (в баллах):

153, 130, 169, 146, 121, 157, 128, 185, 135, 149, 125, 140, 185, 123, 162, 162, 130, 169, 130, 125, 180, 162, 135, 128, 123, 135, 128, 157, 130, 172.

Такие результаты мы могли получить, если опрашивали вы- пускников в случайном порядке или результаты разместили в алфавитном порядке выпускников. Чтобы приступить к анализу этой информации, целесообразно упорядочить полученные дан- ные (по возрастанию или убыванию), одинаковые данные не по- вторять. Это можно сделать с помощью таблицы.

Таблица 53

хі 121 123 125 128 130 135 140 146 149 153 157 162 169 172 180 185

пі 1 2 2 3 4 3 1 1 1 1 2 3 2 1 1 2

В первой строке таблицы стоят различные результаты тести- рования. Их обычно называют вариантами. Числа во второй строке показывают, сколько раз встречается соответствующая ва- рианта в совокупности данных. Их называют частотами вари- ант. Общее количество данных п в совокупности (в рассмотренном примере п = 30) называет объемом совокупности. Приведен- ная таблица, то есть упорядоченная совокупность вариант с их частотами, называется вариационным рядом. В этом примере варианты заданы в виде конкретных чисел. Такой вариационный ряд называется дискретным. Если значения величины заданы в виде интервалов, то такой вариационный ряд называется ин- тервальным. По данным таблицы 53 можно построить следую- щий интервальный вариационный ряд.

Таблиця 54

Относительной частотой варианты хі (интервала)

называется отношение частоты пі этой варианты (ин- тервала) к объему п совокупности данных. Например, отно-

сительная частота варианты 130 равна 304 ≈ 0,133, а относитель-

ная частота интервала 151 – 175 равна 309 = 0,3 .

Будем обозначать относительную частоту варианты хі через nі:

νi = nni .

4°. Можно ли относительную частоту варианты выразить в про- центах?

5. Какую накопленную частоту имеет наибольшая варианта со- вокупности, упорядоченной по возрастанию?

2. Графическое изображение вариационных рядов

Графическое изображение зависимости между вели- чинами придает ей необходимую наглядность, кон- кретность. Графики могут быть определенной осно- вой для открытия новых свойств, соотношений, закономерностей.

Наиболее употребительными графиками для изображения вариационных рядов, то есть соотношений между вариантами и соответствующими частотами или относительными частотами,

являются полигон и гистограмма.

Полигон частот (или многоугольник частот) использу-

ется чаще всего для изображения дискретных рядов. Для построе- ния полигона в прямоугольной системе координат на оси абсцисс в произвольно выбранном масштабе откладываются варианты, а на оси ординат также в произвольно выбранном масштабе — значения их частот или относительных частот. Масштаб выби- рается такой, чтобы была обеспечена необходимая наглядность и чтобы рисунок имел желательные размеры. Далее в этой си- стеме координат строятся точки, координаты которых являются парами соответствующих чисел из вариационного ряда. Получен- ные точки последовательно соединяются отрезками.

446 Раздел7.Элементытеориивероятностей иматематическойстатистики

Гистограмма (столбчатая диаграмма) применяется для изо- бражения интервальных рядов. Для построения гистограммы по данным вариационного ряда, как и для построения полигона, на оси абсцисс откладываются интервалы вариант, а на оси орди- нат — значения частот или относительных частот. Далее стро- ятся прямоугольники, основаниями которых служат отрезки оси абсцисс, длины которых равны длинам интервалов, а высотами

— отрезки, длины которых равны частотам или относительным частотам соответствующих интервалов. На рис. 358 представлена гистограмма, построенная по данным таблицы 54.

Гистограммы удобно строить с помощью компьютерной про-

граммы Microsoft Excel (рис. 359).

99 Контрольные вопросы

1°. Как по гистограмме построить полигон частот?

2°. Как изменится полигон частот, если вместо частот вариант использовать относительные частоты, не изменяя масштаба?

3. О чем свидетельствует гистограмма, являющаяся прямо­ угольником­ ?

4. Если кумулята строится по накопленным относительным ча- стотам, то чему равна ордината крайней правой точки?

5. Есть ли на кумуляте точки, для которых большей абсциссе со- ответствует меньшая ордината, если статистические данные упорядочены по возрастанию?

3. Статистические характеристики

В результате исследований, связанных с массовы-

ми явлениями, получают много числовых данных. Перед исследователем возникает проблема — най-

ти такие характеристики, которые бы достаточно полно характе-

ризовали соответствующий числовой материал. Характеристики,

которые базируются на данных массового наблюдения, называ-

ются обобщающими показателями. Эти характеристики вы-

числяют при помощи вариант и соответствующих частот (относи-

тельных частот). Важнейшие среди них — средние величины, то

есть такие значения, вокруг которых группируются наблюдаемые

варианты. Их называют мерами центральной тенденции. К

ним принадлежат среднее арифметическое, мода, медиана.

Пусть имеем п объектов, у которых измеряем некоторый при- знак, и получаем значения х1, х2, ..., хп. Среднее арифметиче- ское этих п значений обозначается через x и определяется так:

x = x1 + x2 + ... + xn .

n

Если значения повторяются несколько раз, то среднее арифме- тическое вычисляется с учетом частот:

x = x1n1 + x2n2 + ... + xknk . n1 + n2 + ... + nk

Здесь k — количество вариант, пі — частота варианты хі, і = 1, 2, ..., k, n1 + n2 + ... + nk = n. Такую форму среднего арифметическо-

го иногда называют средним взвешенным.

448 Раздел7.Элементытеориивероятностей иматематическойстатистики

Пример 2. Для проверки семян на всхожесть посеяли 4 сотни семян, отдельно друг от друга. Из первой сотни взошли 92 семени, из второй — 90, из третьей — 93, из четвертой — 89. Найти сред- нюю всхожесть семян.

Общее количество взошедших семян равно 92 + 90 + 93 + 89=

=364. Разделив это число на количество посеянных семян (400), получим: x = 0,91 , то есть в среднем взошли 91 % семян. g

Ответ. 0,91.

Пример 3. В таблице 57 приведены данные о количестве бал- лов, набранных учениками на районной математической олим- пиаде. Вычислить по этим данным средний балл.

 Вычисления проведем по схеме, представленной в табли- це 58.

Так же вычисляется среднее арифметическое по данным ин- тервального вариационного ряда. В качестве значения признака для всех элементов в данном интервале берут середину интерва- ла. При этом допускается определенная неточность, но обычно в различных интервалах погрешности будут разных знаков, а по-

этому при большом количестве наблюдений они в значительной мере «гасят» друг друга.

Пример 4. По данным таблицы 54 из предыдущего пункта вычислить средний балл, набранный выпускниками на ВНО.

 Вычисления представлены в таблице 59.

x = 4387,5 ≈ 146,3 . Если бы мы вычислили этот средний балл

30

по данным таблицы 53, мы бы получили x = 437430 ≈ 146 . Резуль-

таты отличаются незначительно. g

Ответ. ≈ 146,3.

Среднее арифметическое значений некоторой совокупности является важной ее обобщенной характеристикой, но не единст- венной. Для характеристики вариационных рядов применяется такая характеристика, как мода.

Мода — это варианта, которая чаще всего встреча- ется в совокупности.

Вслучае дискретных рядов указать моду нетрудно. Достаточно найти варианту, имеющую наибольшую частоту или относитель- ную частоту, это и будет мода. Будем обозначать ее символом Мо. По данным таблицы 53, Мо = 130. Этот результат имеет вполне определенный смысл — больше всего выпускников получили на ВНО 130 баллов. Как видим, в данной ситуации мода существен- но отличается от среднего арифметического.

Вкачестве характеристики вариационного ряда применяют также медиану.

Медиана — это значение признака, делящее всю сово- купность пополам.

Итак, число значений, меньших медианы, равно числу значе- ний, больших медианы. Будем обозначать медиану символом Ме.

Если объем совокупности нечетный и равен 2m + 1, значения хі не убывают:

x1 ,x2 ,...,xm ,xm+1 ,xm+2 ,...,x2m+1 ,

450 Раздел7.Элементытеориивероятностей иматематическойстатистики

то Ме= хm + 1. Если же количество элементов четно и равно 2m, то нет значения, делящего совокупность на две равные по объему части:

x1 ,x2 ,...,xm ,xm+1 ,...,x2m .

Пример 5. Вычислить медиану: 1) по следующим данным: 1, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7; 2) по данным таблицы 53.

 1) В совокупности нечетное число данных — девять. Они расположены в неубывающем порядке. На среднем, пятом, месте стоит 4. Следовательно, Ме = 4.

2) Так как в рассматриваемой совокупности 30 элементов (вы- пускников), упорядоченных по значению признака, и число эле- ментов четное, нужно найти полусумму числовых значений 15-го и 16-го элементов. Складывая последовательно частоты, находим первое число, равное половине общего числа элементов или пре- вышающее его, то есть число, не меньшее 15. В данном примере последовательно будем иметь: 1, 3, 5, 8, 12, 15. 15-му элементу совокупности соответствует варианта 135, а 16-му — 140, Следо-

вательно, Ме = 135 +140 = 137,5 .

2

Полученное значение медианы означает, что примерно поло- вина выпускников получила 137,5 и меньше баллов, и примерно половина — 137,5 и больше баллов. g

Ответ. 1) 4; 137,5.

!Обращаем внимание на ошибку, которая часто встреча- ется при вычислении медианы. Иногда не учитывают ча- стоты вариант и общее количество элементов и за медиа- ну берут полусумму средних вариант.

Впримере 5, 2) количество вариант равно 16, средние 8-я и 9-я,

их полусумма равна 146 +149 = 147,5 , что неверно.

2

Средние величины являются важными характеристиками статистической совокупности. Они говорят нам о концентрации совокупности значений на числовой шкале. Каждая мера дает такое значение, которое «представляет» в определенном смы-