978-966-10-2413-6_Matematuka 11_rus

99 Контрольные вопросы

1°. Сколько существует двузначных чисел, у которых обе цифры четные?

2°. Один ученик имеет 7 книг по математике, а второй — 9 де- тективов. Сколькими способами можно обменять одну книгу первого ученика на одну книгу второго?

3. Сколькими способами можно отправить 4 срочных письма, если для этого использовать трех курьеров и каждое письмо можно дать любому из курьеров?

4°. В магазине продается 5 разных видов вилок, 3 разных типа ножей и 4 разного вида ложек. Сколькими способами можно подобрать здесь комплект из вилки, ножа и ложки?

5. Сколькими способами 6 различных карандашей можно рас- пределить между тремя детьми?

2. Комбинаторное правило сложения

Прежде чем сформулировать следующее комбина- торное правило, рассмотрим модифицированный

пример 2.

Пример 3. Пусть, как и в примере 2, из городаА в городВ ведут 5 дорог, а из города В в город С — три. Пусть, кроме того, из горо- да А в город D можно попасть тремя путями, из D в С — четырьмя (рис. 355). Сколькими способами можно добраться изА в С?

432Раздел7.Элементытеориивероятностей иматематическойстатистики

Врассмотренной задаче все маршруты были разбиты на два класса, причем каждый маршрут входит в один и только в один класс. В этом случае общее число маршрутов равно сумме чисел маршрутов в обоих классах. Следующее утверждение называют

правилом сложения.

Правило сложения. Если некоторый объект А мож- но выбрать m способами, а другой объект В можно вы- брать n способами, причем ни один из способов выбо- ра А не совпадает с каким-либо способом выбора В, то выбор «А или В» можно осуществить m + n способами.

Пример 4. Из урны, содержащей 7 шаров, занумерованных числами 1, 2 ..., 7, наугад извлекают один за другим с возвраще- нием 3 шара. Какова вероятность того, что цифры трехзначного числа, образованного номерами извлеченных шаров, имеют оди- наковую четность?

Общее числоNисходов опыта (извлечение трех шаров с возвра- щением) вычисляется аналогично тому, как это делалось при реше- нии примера 1, и равно 73 = 343 (номер каждого извлеченного шара может принимать любое значение от 1 до 7). Обозначим черезА со- бытие: «цифры трехзначного числа, образованного номерами извле- ченных шаров, имеют одинаковую четность». Это событие происхо- дит тогда и только тогда, когда все цифры нечетные (событиеА1) или все цифры четные (событиеА2). Число исходов, благоприятствующих наступлению событияА1, равно 43 (есть 4 варианта для каждой циф- ры: 1, 3, 5, 7). Вычислим число исходов, благоприятствующих насту- плению событияА2. Есть 3 способа для выбора каждой из трех цифр: 2, 4, 6. Следовательно, событиеА2 состоит из 33 исходов. По правилу сложения имеем: N(A) = 43 + 33 = 91. Все исходы опыта равновозмож- ны, так как извлечение осуществлялось наугад. Таким образом,

P ( A) = N( A) = 91 ≈ 0,265. N 343

Ответ. ≈ 0,265.

При выполнении условий примера 4 найдем веро- ятность того, что цифры трехзначного числа, обра- зованного номерами извлеченных шаров, имеют различную четность.

 Один способ решения этой задачи использует свойство веро- ятностей противоположных событий: P (A) = 1− P ( A) . Событие

В — «цифры трехзначного числа, образованного номерами извле- ченных шаров, имеют различную четность» противоположно со- бытию А – «цифры трехзначного числа, образованного номерами извлеченных шаров, имеют одинаковую четность». Поэтому

P(B) = P (A) = 1 − P (A) ≈ 1 − 0,265 = 0,735.

Свойство вероятностей противоположных событий подсказы- вает удобное правило для вычисления количества способов об- разования трехзначных чисел с цифрами различной четности: следует от общего количества трехзначных чисел, образован- ных номерами извлеченных шаров, вычесть количество тех из них, которые имеют одинаковую четность: 343 – 91 = 252. Тогда

P(B) = N(B) = 252 ≈ 0,735 . g N 343

Мы фактически воспользовались так называемым правилом

дополнения.

Правило дополнения. Чтобы найти количество эле- ментов некоторой совокупности, удовлетворяющих определенному условию, можно из общего количества элементов этой совокупности вычесть количество тех ее элементов, которые не удовлетворяют этому условию.

Пример 5. Чему равно количество четырехзначных чисел, образованных из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5 и содержащих, по крайней мере, одну четную цифру?

 Вычислим сначала общее количество четырехзначных чи- сел, которые можно образовать из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5. Воспользу- емся правилом умножения. Первую цифру можно выбрать пятью способами, на ее месте может стоять любая цифра, кроме нуля. При каждом ее выборе второй цифрой может быть любая из шести цифр. Следовательно, первые две цифры можно указать 5 6 спо- собами. Для каждого из них третью цифру можно выбрать шестью способами и т. д. Количество всех таких четырехзначных чисел равно 5 63 = 1080. Теперь вычислим количество четырехзначных чисел, образованных из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, все цифры которых не- четны. Таких чисел 34 = 81 (каждую цифру можно выбрать тремя

434 Раздел7.Элементытеориивероятностей иматематическойстатистики

способами). Согласно правилу дополнения, искомое количество четырехзначных чисел равно 1080 – 81 = 999. g

Ответ. 999.

При использовании правила сложения нужно следить, чтобы ни один из способов выбора объекта А не совпадал с каким-либо способом выбора объекта В, то есть чтобы ни одна комбинация не попала сразу в два класса. Если такие совпадения есть, мы полу- чаем m + n – k способов выбора, где k — число совпадений.

Пример 6. В классе каждый учащийся изучает по крайней мере один иностранный язык: английский или немецкий. 25 уча- щихся изучают английский, 10 учащихся — немецкий, а пятеро изучают оба языка.

1) Сколько учащихся в классе?

2) Сколько из них изучают только немецкий язык?

 1) В классе 25 учащихся изучают английский язык, 10 — немецкий. При этом пятеро из них изучают оба языка, то есть они вошли и в число тех, кто изучает английский, и в число тех, кто изучает немецкий язык. Иначе говоря, если вычислим сумму 25 + 10, мы их учтем дважды. Поэтому в классе 25 + 10 – 5 = 30 учащихся.

2) Немецкий язык изучают 10 школьников, из них и англий- ский изучают пятеро. Следовательно, только немецкий изучают 10 – 5 = 5 учащихся. g

Ответ. 1) 30; 2) 5.

Мы воспользовались так называемым общим правилом сло- жения. Его можно сформулировать следующим образом.

Если объект А можно выбрать m способами, а объект В — n способами, причем при k способах одновремен- но выбираются и А, и В, то выбор «А или В» можно осуществить m + n – k способами.

Пример 7. Сколько чисел в первой сотне, не делящихся ни на

2, ни на 3?

 Вычислим сначала количество чисел первой сотни, которые делятся на 2 или на 3. Каждое второе число в натуральном ряду делится на 2, каждое третье — на 3. Поэтому в первой сотне есть 50 чисел, делящихся на 2, и 33 числа, делящиеся на 3. Но среди первых и вторых есть числа, делящиеся и на 2, и на 3, то есть

делящиеся на 6. На 6 делится каждое шестое число в натураль- ном ряду, то есть в первой сотне 16 таких чисел. Следовательно, количество чисел в первой сотне, делящихся на 2 или на 3, равно: 50 + 33 – 16 = 67. Все остальные не делятся ни на 2, ни на 3. Этих чисел: 100 – 67 = 33. g

Ответ. 33.

99 Контрольные вопросы

1°. Сколько имеется двузначных чисел с цифрами разной четности? 2°. Сколько имеется трехзначных чисел, в которых хотя бы одна

цифра четная?

3. В урне 10 шаров, из которых — 7 белых шаров и 3 красных шара. Из нее один за другим с возвращением извлекли два шара. Какова вероятность того, что они оба белые?

4. В спортивной секции 15 участников. Все они занимаются прыжками в длину или в высоту. 8 лиц занимаются прыжка- ми в длину, 10 — прыжками в высоту. Сколько спортсменов занимаются обоими видами прыжков?

5°. Четыре грани деревянного кубика окрашены в красный, синий, зеленый и черный цвета, а каждая из двух других — всеми эти- ми четырьмя цветами. Какова вероятность того, что при подбра- сывании этого кубика верхняя грань будет иметь зеленый или синий цвет?

3. Основные комбинаторные схемы

Основываясь на основных комбинаторных правилах, проанализируем важные комбинаторные схемы.

Рассмотрим задания, в которых приходится подсчитывать число способов, с помощью которых n различных предметов можно расположить на n местах. Такие

расположения называются перестановками.

Пример 8. Сколькими способами можно расставить на пяти- местной сушилке для посуды пять различных тарелок?

 Применим комбинаторное правило умножения. Первую тарелку можно поставить на любое место из пяти, вторую тарел- ку — на любое место из 4-х оставшихся, третью — на любое из 3-х оставшихся мест на сушилке, и т. д. Таким образом, всего получа- ется: 5 4 3 2 1 = 120 способов. g

Ответ. 120-ю способами.

436 Раздел7.Элементытеориивероятностей иматематическойстатистики

Произведение 1 2 3 4 5 является произведением пяти первых натуральных чисел, его коротко обозначают 5! и читают «5–факториал». И вообще произведение первых п (п > 1) нату- ральных чисел 1 2 3 ... п обозначают п! и читают «п – фактори-

ал». Понятно, что 2! = 1 2 = 2; 3! = 1 2 3 = 6; 4! = 24.

Так как n! = (n – 1)! n для всех натуральных чисел n > 1, то, чтобы это равенство оставалось справедливым и для n = 1, счита-

ют, что 1! = 1, 0! = 1.

Аналогично предыдущему заданию можно показать, что n раз- личных предметов можно расположить в ряд n (n – 1) (n – 2) ... × × 2 1 различными способами, то есть число перестановок из n

элементов равно n!

Изменим несколько условие примера 8.

Пример 9. Сколькими способами можно расставить на деся- тиместной сушилке для посуды пять различных тарелок?

 Опять применим комбинаторное правило умножения. Пер- вую тарелку можно поставить на любое из десяти мест на сушил- ке, вторую тарелку – на любое место из 9 оставшихся, третью – на любое из 8 оставшихся мест на сушилке, и т. д.. Таким образом, всего получается: 10 9 8 7 6 = 30240 способов. g

Ответ. 30240-а способами.

Проанализируем решенную задачу. Мы имели 10 различных элементов (мест на сушилке), из которых нужно было выбрать 5 (для 5 тарелок). Следовательно, опыт заключался в выборе 5 элементов из 10 различных элементов. Этот выбор является вы- бором без возвращения (на место, выбранное для одной тарелки, нельзя поставить и другую). Результатом этого выбора являются наборы из номеров выбранных мест на сушилке. Такие наборы будем называть выборками. В данном случае имеем выборки из 10 элементов по 5, то есть выборки, образованные из 10 различ- ных элементов, каждая из которых содержит 5 элементов. Заме- тим, что все элементы выборки являются различными. Такие вы- борки будем называть выборками без возвращения (выбрали один элемент, а следующий выбираем из совокупности оставших- ся элементов). Если в выборке поменять местами два элемента, то получим другую выборку, описывающую другое расположение тарелок на сушилке. Следовательно, порядок расположения эле- ментов в выборке является существенным, такие выборки будем называть упорядоченными.

Упорядоченные выборки без возвращения из п элемен- тов по r (r ≤ n) называют размещениями из п элементов

n(читается: число размещений из

пэлементов по r)

Впримере 9 мы имели: A105 = 10 9 8 7 6 .

Вобщем случае по аналогии имеем, чточисло размещений из

пэлементов по r равно произведению r последовательных натуральных чисел, наибольшее из которых равно n, или

Anr = n (n −1) (n − 2) ... (n − r +1).

Выведем теперь формулу для вычисления числа неупорядо- ченных выборок без возвращения из п элементов по r (r ≤ n). Та-

кие выборки называют сочетаниями из п элементов по r.

Сочетание — латинское combination — от combina­ re — соединять, совмещать.

Их число обозначают Cnr (читается: число сочетаний из п эле-

ментов по r). Идею вывода объясним на примере. Имеем 4 элемен- та а, b, c, d. Выпишем все неупорядоченные выборки без возвра- щения по 3 элемента в каждой, то есть сочетания из 4-х элементов по 3: (a, b, c); (a, b, d); (a, c, d); (b, с, d).

Из каждой из этих выборок (их C43 ) образуем все перестановки

из трех элементов (их 3!). Тем самым мы построим все упорядо- ченные выборки из 4-х по 3:

438 Раздел7.Элементытеориивероятностей иматематическойстатистики

ванных изделий, наугад извлекают три изделия. Чему равна ве-

ния из 25 элементов по 3. Исходы опыта равновозможны, их число

рок, элементами которых являются пригодные изделия, то есть из неупорядоченных выборок без возвращения из 20 элементов по 3:

тогда и только тогда, когда извлекли два пригодных изделия (это

3.Придумайте задание, ответом для которого служит: а) 5!

б) C104 ; в) A83 .

4.Четырехзначный номер автомобиля можно рассматривать как выборку из 10 цифр. Эта выборка упорядоченная или нет? С возвращением или нет?

5.Ящик содержит как пригодные, так и бракованные изделия. Для проверки отбираются без возвращения 10 изделий. Полу- ченная выборка упорядоченная или нет?

Задачи

383°. В мастерской, изготовляющей ключи, есть 12 типов заготовок. Из каждой заготовки можно изготовить ключ, сделав углубле- ние в одном из пяти мест. Размер углубления на каждом месте может принимать три различных значения. Сколько различ- ных типов ключей может изготовить мастерская?

384. В классе 25 учащихся. Ежедневно назначается один дежур- ный. Сколькими способами можно составить расписание на 5 дней так, чтобы ни один из учащихся не дежурил более одного раза?

385°. Два ученика имеют по 20 марок и по 10 значков. Они обме- нивают марку на марку или значок на значок. Сколькими способами они могут осуществить такой обмен?

386°. Сколько можно составить из цифр 1, 2, 3, 4: 1) двузначных чисел; 2) двузначных чисел с различными цифрами; 3) дву­ значных нечетных чисел; 4) двузначных нечетных чисел с различными цифрами; 5) двузначных чисел с нечетными цифрами; 6) двузначных чисел с различными нечетными цифрами; 7) двузначных чисел, содержащих по крайней мере одну четную цифру?

387. В лифт восьмиэтажного дома на первом этаже вошло 5 лиц. Каждый из них может выйти с одинаковыми шансами на любом этаже, начиная со второго. Найдите вероятность того, что все пятеро выйдут: 1) на третьем этаже; 2) на одном эта- же; 3) на различных этажах.

388. Из карточек с цифрами 0, 1, 2, 3, 4 наугад выбирают три карточки без возвращения. Найдите вероятность того, что номера выбранных карточек, расположенные в порядке вы- бора карточек, образуют трехзначное число, кратное 5.

389. Подбросили три игральных кубика. Какова вероятность того, что на всех кубиках выпадет четное число очков?

390. Азбука племени Пинг–Понг состоит из пяти букв П, И, Н, Г, О. Словом является любая последовательность, состоящая не более чем из четырех букв. Сколько слов в языке племе- ни Пинг–Понг?

440 Раздел7.Элементытеориивероятностей иматематическойстатистики

391.В колледже студенты изучают математику или экономику. 200 студентов изучают математику, 150 – экономику. Сколько студентов в колледже, если: 1) 20 студентов изучают оба пред- мета; 2) ни один из студентов-математиков не изучает эконо- мику; 3) каждый студент-экономист изучает математику?

392.Из букв слова «выборка» образуют слова из четырех букв (то есть произвольные последовательности четырех букв). Какова вероятность того, что наугад образовавшееся слово содержит лишь гласные буквы или лишь согласные буквы?

393.На шахматной доске размерами 8× 8 наугад выбрали два ква- драта. Какова вероятность того, что выбраны: 1) черный и белый квадраты; 2) два белых квадрата; 3) одноцветные квадраты?

394.Сколькими способами из 10 спортсменов-универсалов мож- но отобрать 4-х для участия:

1)в соревнованиях по бегу на 100 метров;

2)в эстафете 100 м + 200 м + 400 м + 800 м?

395.Из урны, содержащей 3 белых шара и 7 черных шаров, на- угад извлекают сразу два шара. Найдите вероятность того, что: 1°) оба шара черные; 2°) оба шара белые; 3) один шар белый, другой — черный.

Упражнения для повторения

396.Завод изготовляет электрические лампочки. Для контроля отобрано п = 1000 лампочек, среди которых бракованных оказалось m = 120. Оцените вероятность того, что изготов- ленная лампочка — бракована.

397.Диаграмма, изображен- ная на рис. 356, содержит

информациюоколичестве осадков (в мм), выпавших в течение года в городе N. Пользуясь диаграммой, установите, какие из при- веденных утверждений верны. І. Летом осадков выпало меньше, чем весной.

ІІ. В сентябре осадков вы- пало в 1,5 раза больше, чем в октябре.

ІІІ. Среднемесячное количество осадков за год составляет 19 мм.