978-966-10-2413-6_Matematuka 11_rus

Графические упражнения

1.Найдите площади боковой и полной поверхностей прямого кругового цилиндра по:

1)его осевому сечению, изображенному на рис. 347;

2)его развертке, изображенной на рис. 348.

2.Найдите площади боковой и полной поверхностей прямого кругового конуса по:

1)его осевому сечению, изображенному на рис. 349;

2)развертке его боковой поверхности, изображенной на рис.350.

3.Найдите площадь боковой поверхности прямого кругового усеченного конуса по:

1)его осевому сечению, изображенному на рис. 351;

2)развертке его боковой поверхности, изображенной на рис. 352.

Задачи

331.В прямом параллелепипеде стороны основания равны а и b и образуют угол a. Боковое ребро равно l. Найдите площадь: 1°) боковой поверхности параллелепипеда; 2°) полной поверхности параллелепипеда;

3)сеченияпараллелепипедаплоскостью,проходящейчерезболь- шие стороны двух оснований, не принадлежащие одной грани.

332.Найдитеплощадьполнойповерхностиправильнойчетырех­ угольной призмы, если:

1°) диагональ призмы равна 34 м, а диагональ боковой грани — 5 м; 2°) сторона основания призмы равна 3 м, а диагональ боко- вой грани — 5 м;

3)площадь диагонального сечения равна S, а сторона осно- вания — а;

4)объем призмы равен V, а наибольший радиус шара, кото- рый можно поместить в призму, равен r.

Найдите площадь поверхности прямой призмы, если:

1)основанием призмы является правильный треугольник, а диагональ боковой грани равна 12 см и наклонена к плоско- сти основания под углом 60°;

2)основание призмы — прямоугольный треугольник с катета- ми 3 см и 4 см, а площадь большей боковой грани равна 10 см2; 3*) основание призмы – равнобедренный треугольник с углом a при вершине, а большая боковая грань имеет фор- му квадрата со стороной а.

Сколько тонн раствора нужно приготовить для внешнего оштукатуривания дома, длина которого равна 37 м, шири- на — 10 м, высота — 13 м, если на потери раствора доста- точно иметь запас, необходимый для оштукатуривания пло- щади, равной площади окон и дверей? Ha 1 м2 поверхности расходуется 20 кг раствора.

335.Найдите площадь полной поверхности правильной тре­ угольной пирамиды, если:

1°) боковое ребро равно 12 см и образует с высотой угол 30°; 2°) апофема пирамиды равна 6 см и наклонена к плоскости основания под углом 45°;

3)сторона основания равна b, а плоский угол при ее верши- не равен a;

4)радиус окружности, вписанной в основание, равен r, а бо- ковое ребро образует с плоскостью основания угол a;

5*) сторона основания пирамиды равна а, а объем равен V; 6*) объем пирамиды равен V, а угол между боковым ребром и высотой — a.

336.Найдите площадь боковой поверхности:

1)пирамиды, основанием которой является равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 5 см, а все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 60°;

2) пирамиды, основанием которой служит ромб с диагона- лями 6 м и 8 м, а высота проходит через точку пересечения диагоналей основания и имеет длину 1 м.

337. Крыша башни имеет форму правильной четырехугольной пирамиды. Сторона основания пирамиды равна 1,8 м, вы- сота — 1,2 м. Сколько квадратных метров листового желе- за нужно для покрытия крыши, если на совмещение листов расходуется 10% площади поверхности кровли?

338. Площадь осевого сечения прямого кругового цилиндра рав- на 8 см2, а радиус основания равен 2 см. Найдите:

1°) площадь боковой поверхности цилиндра;

2°) площадь полной поверхности цилиндра;

3) площади поверхностей правильных четырехугольных вписанной и описанной призм.

339. Объем прямого кругового цилиндра равен q, а площадь его осевого сечения равна р. Найдите:

1) площадь полной поверхности цилиндра;

2) площадь боковой поверхности правильной п-угольной призмы, вписанной в цилиндр.

340. Сколько квадратных метров жести использовано для изготов- ления одного миллиона банок с диаметром основания 10см и высотой 5 см, если отходы материала составляют 10%?

341. Цилиндрический бак, лежащий горизонтально и на треть вкопанный в землю, нужно покрасить. Как определить объ- ем работы и необходимое количество краски?

342°. Ведро цилиндрической формы имеет диаметр основания 25см и может вместить 10 л воды. Сколько жести пошло на его изго- товление, если на швы и отходы идет 10 % материала?

343.Площадь основания прямого кругового конуса равна S, а его образующая наклонена к плоскости основания под углом a. Найдите:

1°) площадь боковой поверхности конуса;

2)отношение площади боковой поверхности к площади основания;

3)отношение площади боковой поверхности правильной п-угольной пирамиды, описанной вокруг конуса, к площа- ди боковой поверхности правильной п-угольной пирамиды, вписанной в конус.

344.Диагональ осевого сечения прямого кругового цилиндра равна 16 см и наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите:

1°) площадь полной поверхности цилиндра;

2) площадь боковой поверхности вписанного в цилиндр кону- са, вершина которого совпадает с центром верхнего основания цилиндра, а основание — с нижним основанием цилиндра.

345. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды рав- но 6 см и наклонено к плоскости основания под углом 45°. Найдите:

1°) площадь полной поверхности пирамиды; 2°) площадь боковой поверхности прямого кругового конуса, вписанного в пирамиду;

3) отношение площадей поверхностей прямых круговых ко- нусов, вписанного в пирамиду и описанного вокруг нее.

346. Cтоpoнa основания правильной четырехугольной пирами- ды равна 12 дм. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Найдите:

1°) площадь боковой поверхности пирамиды; 2°) длину ребра куба, площадь поверхности которого равна площади полной поверхности пирамиды;

3°) площадь поверхности прямого кругового конуса, вписан- ного в данную пирамиду; 4) площадь боковой поверхности прямого кругового цилин-

дра, вписанного в данную пирамиду так, что центр верхне- го основания цилиндра делит высоту пирамиды пополам, а нижнее основание лежит в плоскости основания пирамиды.

347. Лейка имеет форму конуса, образованного из кругового сек- тора, радиус которого равен 8 см, а центральный угол — 60°. Найдите площадь боковой поверхности лейки.

348. Cилocнaя башня имеет коническую крышу, высота которой равна 2 м, а диаметр основания равен 6 м. Сколько листов жести нужно для покрытия крыши, если размеры листа — 0,7 × l,4 (м), а отходы составляют 10%?

349. Сколько жести ушло на изготовление 10 ведер, высота каж- дого из которых равна 42 см, а диаметры оснований равны 28 см и 34 см? (На швы и отходы идет 12% материала).

350. На расстоянии 4 см от центра шара проведено сечение, дли- на окружности которого равна 18 см. Найдите:

1°) площадь поверхности шара; 2°) площадь поверхности куба с ребром, равным радиусу шара;

3) площадь полной поверхности вписанного в шар прямого кругового цилиндра, радиус основания которого равен поло- вине его высоты;

396Раздел 6. Объемы и площади поверхностей геометрических тел

4)отношение площадей поверхностей цилиндра, вписанно- го в шар, и цилиндра, описанного вокруг него, если цилин- дры имеют квадратные осевые сечения.

Найдите площадь сферы, вписанной в: 1°) куб с ребром а;

2)прямой круговой цилиндр, радиус основания которого ра- вен R, а высота равна 2R;

3*) правильную четырехугольную пирамиду со стороной основания а и высотой h.

Найдите отношение площади поверхности шара 1°) описанного вокруг куба, к площади поверхности шара, вписанного в куб;

2)описанного вокруг прямого кругового цилиндра с ква- дратным осевым сечением, к площади поверхности вписан- ного в него шара;

3)описанного вокруг прямого кругового конуса, осевым сече- нием которого является правильный треугольник, к площа- ди поверхности вписанного шара.

Из прямого кругового цилиндра «вырезан» полушар, осно- вание которого совпадает с основанием цилиндра. Радиус полушара равен 2 см, а площадь осевого сечения цилиндра равна 64 см2. Найдите:

1)площадь поверхности тела;

2)площадь поверхности наибольшего куба, который можно вырезать из упомянутого полушара.

Известно, что скорость охлаждения тела тем больше, чем боль- ше площадь его поверхности. В каком случае быстрее остынет слиток массой m: если придать ему форму куба или шара?

Определите объем двояковыпуклой линзы, у которой радиу- сы сферических поверхностей равны, соответственно, 13 см и 20см, а расстояние между центрами поверхностей равно 21 см. Тело объема V имеет форму прямого кругового цилиндра с полушаром сверху. При каких линейных размерах это тело будет иметь наименьшую полную поверхность?

Бак цилиндрической формы вмещает V литров воды. Каки- ми должны быть его размеры, чтобы поверхность бака без крышки была наименьшей?

Поперечное сечение канала — трапеция (без верхнего осно- вания) с нижним основанием (дном) и боковыми сторонами (стенками) длиной а. При какой величине угла между дном и стенками канала его пропускная способность будет наи- большей?

Итог

Основные определения

Площадью noвepxности мнoгoгpaннuкa нaзывaеmcя сумма nлoщадей всех его граней.

Слоем толщиной h, соответствующим данной по- верхности, называется совокупность всех точек про- странства, удаленных от поверхности на расстоя-

ние, не превышающее h2 .

Площадью noвepxности mелa нaзывaеmcя предел отношения объема слоя moлщиной h к его толщине, если moлщuнa этого слоя стремится к нулю:

S = lim V (h) = V′(0),

h→0 h

где S — площадь поверхности; V(h) — объем слоя тол- щиной h.

Основное утверждение

Площадь сферы радиуса R вычисляется по формуле

S = 4pR2.

Основные формулы площадей поверхностей

Готовимся к тематиче - скому оцениванию по теме «Объемы и пло - щади поверхностей геометричес­ких тел»

?? Задания для самоконтроля

1°. Равны ли объемы тел, образовавшихся пересечением куба плоскостью, проходящей через его центр симметрии?

2°. Равны ли между собой два равновеликих шара?

3°. Равны ли объемы тел, образовавшихся при пересечении пря- мого кругового цилиндра плоскостью, проходящей через его ось?

4. Верно ли, что равновеликие цилиндры равны между собой? 5°. Изменится ли объем прямого кругового цилиндра, если диаметр его основания увеличить вдвое, а высоту вчетверо уменьшить?

6. Плоскость, перпендикулярная основанию прямой призмы, делит основание на равновеликие части. Равновелики ли образованные при этом части призмы?

7. Равны ли объемы двух цилиндров, у которых основания рав- новелики и расположены в двух параллельных плоскостях?

8. Равновелики ли две наклонные призмы с равными основани- ями и равными боковыми ребрами?

9. Всегда ли в цилиндр объема 2 см3 можно поместить шар, объ- ем которого 0,1 см3?

10. Равновелики ли все пирамиды, имеющие общее основание и вершиныкоторыхлежатвплоскости,параллельнойоснованию?

11. Имеют ли равновеликие конусы с равновеликими основания- ми равные высоты?

12°. Изменится ли объем прямого кругового конуса, если радиус основания конуса уменьшить вдвое, а высоту увеличить вдвое?

13. Равновеликие конус и цилиндр имеют равновеликие, но не равные между собой основания. Верно ли, что высота конуса втрое больше высоты цилиндра?

14. Всегда ли возможно шар объема 0,001 см3 поместить в пира- миду объема 10 см3?

15°. Верно ли, что при увеличении длин ребер параллелепипеда вдвое площадь его поверхности увеличивается в восемь раз?

16. Ребра параллелепипеда больше 100 см. Может ли площадь его поверхности быть меньше 1 см2?

17. Может ли площадь полной поверхности пирамиды быть ров- но вдвое больше площади ее основания?

18. Равны ли между собой площади поверхностей двух пирамид, образованных пересечением правильной четырехугольной пирамиды плоскостью, проходящей через ее высоту?

19°. Верно ли, что площадь поверхности прямого кругового цилин- дра не изменится, если радиус основания увеличить вдвое, а высоту уменьшить вдвое?

20°. Могут ли шары с равными площадями поверхностей иметь различные объемы?

Ответы к заданиям для самоконтроля

Образец контрольной работы №6

1°. Канавокопатель роет временные оросительные каналы тре­ угольного профиля глубиной 0,3 м и шириной в верхней ча- сти 0,9 м. Определите длину канала, прорытого за 1 час рабо- ты, если за это время машина вынимает 75 м3 земли.

2. Конус образован вращением равностороннего треугольника со стороной а вокруг его высоты. Найдите:

а°) объем конуса; б°) радиус шара, равновеликого конусу;

в) площадь поверхности прямого кругового цилиндра с высо-

той h, вписанного в конус, если а = 4 см, h= 3 см;

г*) объем куба, нижнее основание которого лежит в основании конуса, а вершины верхнего основания принадлежат боковой поверхности конуса.