978-966-10-2413-6_Matematuka 11_rus

§18. Oбъем тела вращения

Идея исчерпывания, использованная в предыдущем параграфе при вы­ числении объемов, реализуется с помощью формул, содержащих интег­ рал. Одну из таких формул рассмотрим в этом параграфе.

. Объем тела с заданными поперечными сечениями

Пусть необходимо вычислить объем телаT. Выбepeм пpocтранстве ось x и будем пepесекать тело T пло- скостями, пepпeндикуляpными оси x. Чepeз S(x) обo­ знaчим площадь сечения, соответствую- щего точке x (рис. 316). Пpoeкцией тела T на ось является некоторый отpезoк, концы

которoгo обoзнaчим чepeзa и b.

Taким образом, имеем функциюS = S(x), x   [а; b], значениями которой являют- ся площади поперечных сечений тела.

Естественно эту функцию считать непре-

рывной.

Teopемa 1 (об объеме тела с заданными поперечными сече- ниями).

Объем V тела с заданными поперечными сечениями S = S(x), x [а; b], вычисляется по формуле

a

Идея доказательства сводится к разреза-

нию тела на тоненькие дольки – слои, при- ближенному вычислению объема каждой та- кой дольки и сложению этих объемов.

Heтруднo вычислить по формуле (1) объ- ем тела, образованного вращением вокруг

оси x криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = f(x), x [а; b], x = а, x = b, у = 0 (рис. 317).

Teopeмa 2 (об объеме тела вращения).

Объем V тела, полученного в результате вращения вокруг оси x криволинейной трапеции, ограниченной графиком неотрицательной непрерывной на [а; b] функции у = f(x) и прямыми x = а, x = b, у = 0, вычисляется по формуле

b

V = π∫ f 2 (x)dx.

a

 Сечением полученного тела плоскостью, проходящей через точку x перпендикулярно оси x, является круг радиуса f(x). Поэ- тому площадь S(x) этого сечения равна pf2(x). Подставив это выра- жение в формулу (1), получим искомую формулу. g

Доказанная формула позволяет вычислить объем известных нам тел вращения, в частности объем шара.

Teopeмa 3 (об объеме шара).

Объем V шара радиуса R вычисляется по формуле

V= 34 πR3 .

Рассмотрим шар, как тело вращения полу- круга вокруг его диаметра. Moжно считать, что шар образован вращением криволинейной тра-

пеции, ограниченной кривой y = R2 − x2 ,

Пример 1. Найти объем тела, образованного вращением пря- моугольника со сторонами длиной а и b вокруг оси, содержащей его сторону.

 Ответ к этой задаче нам известен, так как фигурой враще- ния будет прямой круговой цилиндр с известными высотой и ра-

переплавлены в один шар. Вычислить его радиус.

 Естественно предположить, что объем V образовавшегося шара равен сумме объемов данных шаров. Следовательно,

V = 43 π 43 + 43 π 63 + 43 π 83 = 1056π (см3).

Пусть радиус образовавшегося шара R, тогда 43 π R3 = 1056π .

Отсюда R = 3 792 = 23 99 ≈ 9,3 (см). g

Ответ. ≈ 9,3 см.

Доказательство теоремы 1.

Разобьем отрезок [а; b] на n равных отрезков точ- ками а = х0, х1, х2, ..., хn = b. Через эти точки проведем плоскости, пepпeндикулярные оси x. Эти плоскости разбивают данное тело на n слоев:

T1, T2, ..., Tn, содержащихся меж-

ду соседними сечениями (рис. 320). Каждый из таких слоев можно при- ближенно считать цилиндром, если значение n — достаточно велико, и,

соответственно, толщина каждого

слоя мала.

В этом случае можно считать, что для тела Tі площадь основания соответствующего цилиндра рав- на S(хі). Taким образом, имеем приближенное равенство

V(T ) = V(T1 ) + V(T2 ) + ... + V(Tn ) ≈ S(x1 ) x + S(x2 ) x + ... + S(xn ) x =

= (S(x1 ) + S(x2 ) + ... + S(xn )) x .

Правая часть этого равенства является интегральной суммой

для функции S = S(x), x [а; b]. При увеличении n она стремится к интегралу от функции S = S(x) на промежутке [а; b]:

На основании геометрических рассуждений естественно счи-

тать, что при увеличении n становится точнее приближенное ра- венство

V(T ) ≈ (S(x1 ) + S(x2 ) + ... + S(xn )) x ,

то есть

V(T ) = lim ((S(x1 ) + S(x2 ) + ... + S(xn )) x) .

n→∞

Поэтому справедлива формула (1). g

Воспользуемся доказанной формулой для вычисления объема наклонного цилиндра, в частности наклонной призмы.

Teopeмa 4 (об объеме наклонного цилиндра).

Объем V наклонного цилиндра равен произведению площади основания на высоту:

V = S H,

гдe S — площадь основания цилиндра, H — его высота.

 Проведем ось x через произвольную точку О нижнего основания цилиндра пер- пендикулярно ему (рис. 321), и пусть О — начало координат. Toгда любое сечение ци- линдра плоскостью, перпендикулярной оси x, равно основанию (докажите это!). Поэтому функция S(x) для всех x принимает одно и то же значение, равное площади основания:

S(x)= S. Beличинa x изменяется от 0 до H. По формуле (1) при а = 0, b = H имеем:

Пример 3. Найти объем шарового сегмента.

 Шаровой сегмент можно получить вращением сегмента во- круг прямой, которая перпендикулярна хорде сегмента и прохо- дит через ее середину. Если выбрать систему координат, как это изображено на рис. 322, а), и обозначить радиус шарового сегмен- та через R, а его высоту — через H, то вычисление искомого объе- ма сведется к вычислению интеграла:

Пример 4. Найти объем шара, вписанного в: 1) куб с ребром а;

2) прямой круговой цилиндр с радиусомR основания и высотой 2R; 3) правильную четырехугольную пирамиду, сторона основания которой равна а, а высота — Н.

 1) Радиус шара, вписанного в куб с ребром а, равен a2 , поэ-

3. Каркacную модель наклонной треугольной призмы преврати- ли в прямую. Изменится ли при этом объем призмы?

4. Изменится ли объем призмы, если ее верхнее основание сме- стить относительно предыдущего положения в плоскости это- го основания?

5°. Как изменится объем шара, если его радиус уменьшить втрое? 6°. Как изменится объем шара, если его диаметр увеличить

вдвое?

7. Можно ли в цилиндре, объем которого равен 2, поместить шар, имеющий вдвое меньший объем?

8. Можно ли в шар объема 3 см3 поместить куб с ребром 1 см? 9. Чему равно отношение объема шара, описанного вокруг куба,

к объему шара, вписанного в этот куб?

10. Что бы вы выбрали: вдвоем съесть арбуз радиуса 10 см или вдесятером — арбуз, радиус которого 20 см?

11. Как вычислить радиус металлического шарика, воспользовавшись линейкой и прозрачным цилиндрическим сосудом с водой?

2. Объем пирамиды и конуса

Фopмулa для вычиcлeния объемов тел по плoщa-

дям его поперечных сечений позволяет вычислять также объемы кoнуcов. В этом случае ее использо- вание основывается на свойствах сечений кoнуca, пapaллeльныx

ocнoванию.

Teopeмa 5 (об объеме конуса).

Объем V конуса равен одной третьей произведения пло- щади основания на высоту:

V = 31 S H ,

где S — площадь основания конуса; H — высота.

Доказательство теоремы будет приведено ниже.

Для прямого кругового конуса приведенная формула прини- мает вид

V = 13 πR2H ,

где R — радиус основания конуса, а Н — его высота. Напомним, что пирамиды являются одним из видов конусов.

Поэтому в теореме 5 представлена формула также для вычисле- ния объемов пирамид.

о свойствах сечений, параллельных основанию (§12), имеем:

Объем V усеченного конуса, площади оснований которого равны S и s, а высота равнаH, вычисляется по формуле

V = 31 (S + Ss + s)H .

 Достроим данный усеченный конус до полного (рис. 327). Пусть его высота равна H + h, а площадь основания — S. Построим координатную ось x так, как мы ее строили

при доказательстве теоремы 5. Последующие рассуждения также аналогичны приведен- ным в теореме 5. Функция S(x) имеет такой

же вид — изменилась только ее область оп- ределения. В данном случае x [h; H + h].

Следовательно,