978-966-10-2413-6_Matematuka 11_rus

призмы.

Так как наибольшая диагональ правильного шестиугольника

99 Контрольные вопросы

1°. Как изменится объем прямоугольного параллелепипеда, если все его измерения увеличить вдвое?

2°. Во сколько раз увеличится объем прямой призмы, если ее вы- соту увеличить вдвое?

3. Может ли объем прямого параллелепипеда быть меньше 1, если длины его ребер больше 100?

4. Плоскость делит два боковых ребра призмы пополам. Обяза- тельно ли она делит призму на равновеликие тела?

5°. Как целесообразно провести сечение через боковое ребро тре- угольной призмы, чтобы ее объем разделился пополам?

6. Равны ли между собой объемы двух призм с равновеликими и расположенными в двух данных параллельных плоскостях основаниями?

3. Объем цилиндра

Прямые призмы являются частным случаем пря- мых цилиндров. Поэтому естественно, что формула для вычисления объема прямого цилиндра имеет такой же вид, как и для прямой призмы.

352 Раздел 6. Объемы и площади поверхностей геометрических тел

Рассмотрим простейший прямой цилиндр — прямой круговой. Его основанием является круг (рис. 306, а), который можно «ис- черпать» внутри и вне правильными многоугольниками — впи- санными и описанными (рис. 306, б–г).

Построим прямые призмы, основаниями которых являются эти многоугольники, а вы- соты равны высоте цилиндра (рис. 307). Полу- чим две последовательности прямых призм, вписанных в прямой круговой цилиндр и описанных вокруг него. Обозначим через Н

высоту цилиндра, а через Sn− і Sn+ площади

соответственно вписанных и описанных мно- гоугольников. Тогда объемы построенных

призм равны соответственно Sn− H и Sn+ H .

Так как площади Sn− и Sn+ стремятся при возрастании п к площа-

ди круга S = pR2, где R — радиус основания цилиндра, то искомый объем прямого кругового цилиндра вычисляется по формуле

V= SH или V = pR2H.

Пример 4. Диагональ осевого сечения прямого кругового ци-

линдра равна 16 см и образует с плоскостью основания угол 60°.

Найти объем: 1) цилиндра; 2) правильной четырехугольной при-

2) Сторона квадрата, вписанного в круг радиуса R, то есть осно-

вания призмы, равна R 2 . В нашем случае она равна 4 2 см. Поэтому объем правильной четырехугольной призмы, вписанной

в цилиндр, равен V = S H = (4 2)2 8 3 = 256 3 (см3).

3) Сторона правильного шестиугольника, описанного вокруг

Ответ. 1) 128p 3 см3; 2) 256 3 см3; 3) 768 см3.

Пример 5. Из стального бруса, имеющего форму правильной четырехугольной призмы с размерами а × а × l, изготовляют про- волоку цилиндрической формы диаметра d. Найти длину изго- товленной проволоки, если а = 10 см, l = 3,14 м, d = 2 см.

 Естественно допустить, что объем проволоки равен объему

Ответ. ≈ 100 м.

Обобщим нaйдeнную фopмулу на случай произвольных пpямыx ци- линдров (a не только тaкиx, где ocнoванием является круг). Для

этoгo воспользуемся мeтодoм исчepпывaния.

Рассмотрим прямой цилиндр с основанием D (рис. 309). Будем считать, как всегда, что плоская фигура D имеет площадь S(D), то есть существу-

ют такие последовательности многоугольников Mn− и Mn+ , что

В общем случае мы предполагаем, что многоугольники Mn− со-

держатся в D, а многоугольники Mn+ содержат в себе D, при этом

не обязательно их вершины лежат на линии, ограничивающей фигуру D. Последовательности этих многоугольников исчерпыва- ют плоскую фигуру D вне и изнутри.

Teopeмa 5 (об объеме прямого цилиндра).

Объем V прямого цилиндра равен произведению площа- ди его основания на высоту:

V = SH,

где S — площадь основания цилиндра, H — высота.

Рассмотрим две пocледoвательноcти пpямыx призм Tn− и Tn+

сocнoвaниями Mn− и Mn+ и выcoтoй H. Призмы пepвoй пocледoва- тельнocти содержатся в цилиндре Т: Tn− T . Призмы второй пocледoвательнocти содержат в себе этот цилиндр: T Tn+ . Поэто-

S (Mn+ ) стремятся к oднoму и тому же числу S (D) , где D — осно- вание цилиндра. Поэтому V(T) = S(D)H = S·H. ■

Пример 6. Найдите наибольший объем прямого кругового цилиндра, содержащегося в прямом круговом конусе с радиусом основания R и высотой Н, если основание цилиндра лежит в пло- скости основания конуса.

 Очевидно, что высота и радиус основания цилиндра находят-

ся в функциональной зависимости. Если радиус цилиндра считать

независимой переменной и обозначить черезх, то высоту цилиндра,

вписанного в конус, можно представить в виде функцииН(х). А имея

радиус основания и высоту цилиндра, определяем новую функцию

Найдем наибольшее значение функции V(x) на промежутке (0; R). Для этого найдем по схеме, приведенной в §8, наибольшее значение этой функции на отрезке [0;R]. Производная исследуемой

функции равна: V / (x) = π H (2xR − 3x2 ) . Она принимает нулевое

R

99 Koнтpoльные вопросы

1°. Как изменится объем цилиндра, если радиус его основания увеличить в 5 раз?

2. Из двух деревянных бревен одно вдвое толще второго и вдвое короче его. Какое из них тяжелее — короткое или длинное?

3°. Плоскость проходит через ось прямого кругового цилиндра. Делит ли она цилиндр на равновеликие части?

4°. Существуют ли равновеликие, но не равные прямые круговые цилиндры?

5. Ha столе стоит наполовину заполненный жидкостью закры- тый цилиндрический сосуд, высота которого H равна диаме- тру основания. Чему равна площадь свободной поверхности жидкости, если ось сосуда расположена горизонтально?

6. Цилиндрический бак высотой H и с основанием радиуса R на треть заполнен жидкостью. Поместится ли эта жидкость в ци- стерне той же высоты и с основанием вдвое меньшего радиуса?

7. Какова площадь поперечного сечения стального рельса, если из- вестнамассаm одногопогонногометрарельсаиплотностьr стали?

Графические упражнения

1.Найдите массу бетонной плиты, форма которой и размеры приведены на рис. 311, если плотность бетона равна r.

2.Деталь изготовлена из металла, плот- ность которого равна 10г/см3. При об- работке заготовки отходы составляют

1,5% металла. Найдите массу заготов- ки, из которой изготовлена деталь, изображенная: 1) на рис. 312, а); 2) на

рис. 312, б) (размеры даны в мм).

3. Найдите массу железобетонной бал- ки длиной 6 м, поперечное сечение которой изображено на рис. 313 (раз-

меры даны в мм, r = 4 г/см3).

4*. На склоне горы нужно сделать выемку для железной дороги на участке, под- нимающемся под углом j к горизонту

(рис. 314). Угол откоса сторон выемки равен a, ширина выемки внизу равна b, глубина посредине —h. Сколько ку- бических метров земли приходится на один линейный метр выемки?

Задачи

289.Стороны основания прямого параллелепипеда равны 3 см и 4 см. Найдите его объем, если:

1°) параллелепипед прямоугольный и длина его диагонали равна 15 см; 2°) параллелепипед прямоугольный и диагональ меньшей

боковой грани равна 5 см;

3)угол между сторонами основания равен 45°, а расстояние между меньшими ребрами двух оснований, не принадлежа- щих одной грани, равно 4 см; 4*) расстояние между большими сторонами оснований, не

принадлежащих одной грани, равно 7 см, а площадь сече- ния, проходящего через эти стороны, вдвое больше площади основания.

290.Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если:

1)периметры трех попарно смежных его граней равны 6 см, 8 см, 10 см;

2)длина диагонали параллелепипеда равна 6 см, а его из- мерения относятся, как 3:2:1;

3)расстояния от центра симметрии параллелепипеда до его ребер равны 7 см, 8 см, 9 см;

4) диагональ параллелепипеда равна d и образует с его основанием угол a, а с одной из боковых граней — угол b.

291.Найдите объем правильной треугольной призмы, если:

1°) все ребра призмы имеют длину 2 3 см; 2°) радиус окружности, описанной вокруг основания, равен

3 3 см, а высота призмы равна 3 см; 3°) площадь основания призмы равна 9 см2, а ее высота втрое больше стороны основания;

4)диагональ боковой грани призмы равна а и образует с плоскостью основания угол a;

5)радиус окружности, вписанной в основание, равен r, а бо- ковые грани являются квадратами;

6)боковое ребро призмы равно высоте основания, а площадь сечения, проходящего через боковое ребро и высоту основа- ния, равна 12 см2; 7*) сторона основания равна а и известно, что в призму мож- но вписать шар.

292.Найдите объем правильной четырехугольной призмы, если: 1°) диагональ призмы равна 13 см, а диагональ боковой гра- ни — 12 см; 2°) диагональ боковой грани равна 8 см и образует с диаго-

налью смежной боковой грани угол 60°;

3*) площадь диагонального сечения равна S, а диаметр опи- санного шара равен d.

293.Найдите объем правильной шестиугольной призмы, если: 1°) все ребра призмы равны по 1 м; 2°) сторона основания равна 1 м и в призму можно вписать шар;

3)наибольшая диагональ призмы равна d и образует с пло- скостью основания угол a;

4*) сечение, проходящее через параллельные стороны двух оснований, имеет площадь S и наклонено к плоскости осно- вания под углом a.

Найдите объем прямой призмы, если:

1)в основании призмы лежит равнобедренный треугольник с боковой стороной а и углом при вершине a, а площадь се- чения, проходящего через неравную сторону одного основа- ния призмы и противоположную вершину второго основа- ния, вдвое больше площади основания;

2)диагональ призмы наклонена к основанию под углом b, а в основании призмы лежит равнобокая трапеция, у которой диагональ равна а, а угол между диагональю и большим основанием равен a;

3)в основании призмы лежит ромб с острым углом a, а ее большая диагональ имеет длину l и наклонена к основанию под углом b;

4)в основании призмы лежит прямоугольный треугольник с острым углом a, а боковое ребро призмы имеет длину l и образует с диагональю большей боковой грани угол b.

295.Отрезок, соединяющий центр верхнего основания прямого кругового цилиндра с точкой окружности нижнего основа- ния, равен l и наклонен к основанию под углом j. Вычисли- те объем цилиндра, если:

1°) l = 6 см, j = 30°; 2°) l = 8 см, j = 60°; 3) l = 10 см, j = 15°.

296.Найдите объем прямого кругового цилиндра, если: 1°) он имеет квадратное осевое сечение с площадью S;

2) он описан вокруг правильной четырехугольной призмы со стороной основания а и высотой h;

3*) он вписан в шар радиуса R и имеет наибольший объем среди всех цилиндров, вписанных в этот шар; 4*) плоскость, проходящая через центр нижнего основания

под углом j к основанию, пересекает верхнее основание по хорде длиной а и стягивающей дугу a.

297.В цилиндрической цистерне с горизонтальной осью вода за- нимает 3 ее высоты. Длина цистерны равна 4,8 м, диа-

4

метр равен 1,4 м. Найдите объем воды в цистерне.

298.Свинцовая труба (r = 11,4 г/см3) с толщиной стенки 4 мм имеет внутренний диаметр 13 мм. Найдите массу 25 м трубы.

299.1,17 кг стальной проволоки диаметром 2,5 мм вытянули в проволоку диаметром 1,5 мм. На сколько увеличилась дли- на проволоки (r = 7,8 г/см3)?

300.Бетононасос перемещает 15 м3 бетона за один час. С какой скоростью бетон перемещается по трубе диаметром 15 см?

301.Правильная шестиугольная чугунная (r = 7,28 г/см3) призма высверлена по оси. Ее длина 4,5 м, диаметр цилиндрическо- го отверстия – 32 см, сторона основания – 32 см. Определите массу призмы.

302.Сколько цилиндрических бочек высотой 1,5 м и диаметром основания 0,8 м нужно иметь, чтобы перелить в них жид- кость из цилиндрической цистерны, длина которой 4,5 м и диаметр основания 1,6 м?

303.Сколько ящиков, имеющих форму прямоугольного паралле- лепипеда размерами 1,4 × 1 × 0,8 (м), можно разместить в контейнере такой же формы, размеры которого составляют

2,4 × 3,0 × 4,2 (м)?

304.Цена бриллианта пропорциональна квадрату его объема. Как выгоднее продавать бриллиант: целым или распилен- ным на части?

Упражнения для повторения

305.Вычислите площадь:

1) треугольника со сторонами 3 см и 4 см и углом 45° между ними;

360Раздел 6. Объемы и площади поверхностей геометрических тел

2)параллелограмма с диагоналями 10 см и 12 см и углом 30° между ними;

3)равнобокой трапеции с основаниями 4 см и 16 см и боко- вой стороной 10 см.

Итог

Основные определения

Пусть рассматриваемые тела имеют объем. Это означает, что для каждого из них определена положительная величина — объ- ем, обладающая такими свойствами:

1) равные тела имеют равные объемы;

2) если тело является объединением нескольких тел, любые два из которых не имеют общих внутренних точек, то его объем равен сумме объемов его составляющих;

3) объем куба, ребро которого равно единице длины, равно еди- нице.

Tелa, имеющие равные объемы, называются равно- великими.