7. Системы дифференциальных уравнений

7.1 Нормальная система дифференциальных уравнений

Нормальная система двух дифференциальных уравнений 1 порядка с двумя неизвестными имеет вид

Порядок системы определяется числом входящих в неё уравнений; Система– нормальная система II порядка.

Совокупность функций

y = ϕ1 (x), z = ϕ 2 (x), определенных и непрерывно дифференцируемых в интервале (a; b),

называется решением системы в этом интервале, если она обращает в тождество каждое уравнение системы:

Пример 7.1.1. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

dz = y,dt

dy = 2y.

dt

Имеем простейший случай, когда одно из уравнений – второе – содержит только одну искомую функцию. Решим его:

∫ dyy = 2∫dt.

ln y = 2t + ln c1 , y = c1e2t .

Подставим полученную функцию в первое уравнение системы:

37

dzdt = c1e2t .

∫dz = c1 ∫e2t dt, z = c21 e2t + c2 .

Пример 7.1.2. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

dy = −2y,dx

dz − z.

dx

Ответ: y = c1e−2 x ;

z = c e x .

2

В общем случае нормальная система II порядка решается сведением её к равносильному уравнению II порядка относительно одной из искомых функций.

Пример 7.1.3. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

10. Продифференцируем одно из уравнений системы.

Например, если мы хотим свести систему к равносильному её уравнению II порядка относительно функции у, необходимо продифференцировать первое уравнение системы:

40. Решим уравнение (а)

38

39