- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Свойства числовых рядов
- •1.3. Ряды с положительными членами
- •1.3.1. Достаточные признаки сравнения знакоположительных рядов. Эталонные ряды
- •1.3.2. Достаточные признаки Даламбера и Коши сходимости знакоположительных рядов
- •1.4. Ряды с произвольными членами
- •1.5. Знакочередующиеся ряды
- •2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
- •2.1. Определение, область сходимости
- •2.2. Равномерная сходимость функционального ряда.
- •2.3. Степенные ряды
- •2.4. Разложение функций в степенные ряды
- •2.5. Приложения рядов к приближённым вычислениям
- •2.6. Решение задачи Коши с помощью степенных рядов
- •3. РЯДЫ ФУРЬЕ
- •3.1. Ряды и коэффициенты Фурье
- •3.2. Условия и теорема Дирихле
- •3.3. Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций
- •3.5. Сдвиг сегмента разложения
- •3.6. Изменение длины сегмента разложения
- •3.7. Интеграл Фурье (как предельный случай ряда Фурье)
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ТОЛЬЯТТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра «Высшая математика и математическое моделирование»
Ахметжанова Г.В., Павлова Е.С., Кошелева Н.Н.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
по модулю «Ряды»
Учебно-методический материал для студента
Тольятти 2007
УДК 51(075.8) ББК 22.1я.73 Т 93
Научный редактор д.т.н., профессор П.Ф.Зибров
Т-93 Теоретический материал по модулю «Ряды»: учебно-методический материал для студента. Сост.: Ахметжанова Г.В., Кошелева Н.Н., Павлова Е.С., - Тольятти: ТГУ, 2007 стр. 43.
Утверждено научно-методическим советом факультета математики и информатики Тольяттинского государственного университета.
УДК 51(075.8) ББК 22.1я173 ♥ Тольяттинский Государственный Университет
2
Содержание |
|
1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ...................................................................................................................................................... |
4 |
1.1. Основные понятия................................................................................................................................................ |
4 |
1.2. Свойства числовых рядов.................................................................................................................................... |
5 |
1.3. Ряды с положительными членами ...................................................................................................................... |
6 |
1.3.1. Достаточные признаки сравнения знакоположительных рядов. Эталонные ряды................................ |
7 |
1.3.2. Достаточные признаки Даламбера и Коши сходимости знакоположительных рядов.......................... |
8 |
1.4. Ряды с произвольными членами....................................................................................................................... |
11 |
1.5. Знакочередующиеся ряды.................................................................................................................................. |
11 |
2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ................................................................................................................................... |
13 |
2.1. Определение, область сходимости.................................................................................................................... |
13 |
2.2. Равномерная сходимость функционального ряда. .......................................................................................... |
15 |
2.3. Степенные ряды.................................................................................................................................................. |
17 |
2.4. Разложение функций в степенные ряды........................................................................................................... |
21 |
2.5. Приложения рядов к приближённым вычислениям........................................................................................ |
24 |
2.6. Решение задачи Коши с помощью степенных рядов...................................................................................... |
27 |
3. РЯДЫ ФУРЬЕ.............................................................................................................................................................. |
28 |
3.1. Ряды и коэффициенты Фурье............................................................................................................................ |
28 |
3.2. Условия и теорема Дирихле.............................................................................................................................. |
30 |
3.3. Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций................................................................................... |
32 |
3.4. Разложение в ряд Фурье функций на сегменте [0, π]...................................................................................... |
33 |
3.5. Сдвиг сегмента разложения............................................................................................................................... |
35 |
3.6. Изменение длины сегмента разложения .......................................................................................................... |
36 |
3.7. Интеграл Фурье (как предельный случай ряда Фурье)................................................................................... |
38 |
3
1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
1.1. Основные понятия
Определение 1. Пусть дана числовая последовательность a1, a2 , a3 , …, an , ….
Выражение a1 + a2 + a3 + + an + называется числовым рядом и обозначается сокращённо
∞
∑ an .
n =1
При этом числа a1, a2 , a3 , …, an , … называются членами ряда,
an = ϕ (n)– функция дискретного аргумента n, которая называется n-ым членом ряда.
∞ |
|
n 2 + 2 |
|
||
∑ |
|
||||
n |
|||||
Пример 1. Найти члены a1 , a3 , an +1 ряда n = |
1 |
10 |
+ 1 . |
||
Решение. Подставляя в формулу общего члена вместо п номера 1, 3, n + 1, получаем соответственно
a1 |
= |
1 + 2 |
= |
3 |
|
a3 |
= |
32 + 2 |
= |
11 |
, |
a |
|
= |
(n + 1)2 + 2 |
= |
n 2 + 2n + 3 |
. |
|
11 , |
|
|
n + 1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
10 1 + 1 |
|
|
10 3 + 1 |
|
1001 |
|
|
|
10 n + 1 + 1 |
10 n + 1 + 1 |
|||||||
Частичной суммой Sn ряда (9.1) называется сумма п его первых членов. Например:
S1 = a1 , S2 = a1 + a2 , S3 = a1 + a2 + a3 , Sn = a1 + a2 + a3 + + an .
Определение 2. Если существует конечный предел последовательности частичных сумм,
равный S, li m Sn = S
n→∞
, то ряд называется сходящимся, а число S называется суммой ряда. Если li m Sn = ∞ (или
n→∞
не существует), то ряд называется расходящимся.
Заметим, что если ряд сходится, то его частичная сумма является приближённым значением суммы ряда (с какой-то степенью точности).
∞ |
|
|
∑ aqn − 1 |
. |
|
Пример 2. Исследовать сходимость ряда n = |
1 |
|
Решение. Данный числовой ряд является геометрической прогрессией со знаменателем q:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
a + aq + aq2 + + aqn −1 + = ∑ aqn −1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
Рассмотрим возможные варианты: |
|||||||||||||||
• при |
|
q |
|
< 1 прогрессия будет убывающей, её сумма |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||
S = lim Sn |
= lim |
a(1 |
− qn ) |
, |
|
|
|||||||||
1 |
− q |
a |
|||||||||||||
n → ∞ |
n → ∞ |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − q |
|||
сумма ряда — конечное число, ряд сходится; |
|||||||||||||||
• при |
|
q |
|
≥ 1 |
геометрическая прогрессия является возрастающей, её частичная сумма может |
||||||||||
|
|
||||||||||||||
стать больше любого наперёд заданного числа. Это пример расходящегося ряда. Отметим два частных случая:
а) пусть, a = 1 , q = −1 .. Получаем ряд
1 − 1 + 1 − 1 + + (− 1)n − 1 + |
. |
|
|
Для него |
|
4
S1 = 1 , S2 = 1 − 1 = 0 , S3 = 1 − 1 + 1 = 1 ,…, S2n −1 = 1 , S2n = 0 ,…., ,….
Последовательность частичных сумм 1, 0, 1, 0, 1, 0, … предела не имеет, значит, данный ряд расходится;
б) если, a = 1 , q = 1 ,, получаем ряд 1 + 1 + 1 + … + 1 + …, для которого
Sn |
= 1 + 1 + + 1 = n и l i m Sn |
= l i m n = ∞ . |
|
n → ∞ |
n → ∞ |
1.2. Свойства числовых рядов
∞
Теорема 1. Если у сходящегося ряда ∑an отбросить конечное число первых членов или
n=1
присоединить в его начале несколько новых членов, это не повлияет на сходимость ряда.
Теорема 2. Если члены сходящегося ряда умножить на одно и то же число с, то его сходимость не нарушится (а сумма лишь умножится на число с). Если члены расходящегося ряда умножить на одно и то же число с ≠ 0, то он по-прежнему будет расходиться.
|
|
∞ |
|
|
Доказательство. Так как ряд ∑an сходится, то существует предел |
||||
lim (a1 + a2 |
|
n=1 |
|
|
+ + an ) = lim Sn = S < ∞. |
|
|
||
n → ∞ |
|
n → ∞ |
|
|
|
|
∞ |
|
|
Тогда для ряда ∑can предел п-ой частичной суммы подсчитается соответственно |
||||
|
|
n=1 |
|
|
lim (ca1 |
+ ca2 |
+ + can ) = lim c(a1 + a2 + |
+ an ) = c lim |
Sn < ∞ |
n → ∞ |
|
n → ∞ |
n → ∞ |
, |
что и означает сходимость последнего ряда, сумма которого равна с S.
∞ |
|
∞ |
Если же ряд ∑an расходится и с ≠ 0, то для ряда ∑can имеем |
||
n=1 |
|
n=1 |
lim (ca1 + ca2 + |
+ can ) = lim c(a1 + a2 + |
+ an ) = c lim Sn = ∞ |
n → ∞ |
n → ∞ |
n → ∞ |
(или не существует), так как lim Sn = ∞ (или не существует) в силу расходимости данного
n→∞
ряда. Значит последний ряд расходится.
|
|
∞ |
Введём в рассмотрение числовой ряд ∑bn . |
||
|
|
n=1 |
|
∞ |
∞ |
Теорема 3. Пусть ряды ∑an и ∑bn сходятся и имеют суммы соответственно Sa и Sb. Тогда |
||
|
n=1 |
n=1 |
ряд, полученный почленным сложением (или вычитанием) этих рядов, |
||
∞ |
∞ |
|
∑(an + bn ) или ∑(an − bn ) |
|
|
n=1 |
n=1 |
|
также сходится и имеет сумму Sa + Sb или Sa − Sb.
Доказательство. Сложим (вычтем) ряды почленно и составим частичную сумму полученного ряда. Переходя к пределу, имеем
lim [(a1 ± b1 ) + (a2 ± b2 )+ |
+ (an |
± bn )] = lim [(a1 + a2 + + an ) ± (b1 + b2 + + bn )] = Sa ± Sb < ∞. |
n → ∞ |
|
n → ∞ |
∞
Таким образом, ряд ∑(an ± bn ) сходится и его сумма равна
n=1
Sa ± Sb.
5