Добавил:

ota Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тольяттинский государственный университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

высшая математика Ряды-1.pdf

Скачиваний:

139

Добавлен:

26.07.2016

Размер:

564.19 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

∞	сходится, то lim an = 0 .
Теорема 4 (необходимый признак сходимости). Если ряд ∑an	сходится, то lim an = 0 .
n=1					n→∞
n=1
Пример 3. Исследовать гармонический ряд на сходимость.
Проверим выполнение необходимого признака сходимостиl i m a		n	= l i m	1	= 0
Проверим выполнение необходимого признака сходимостиl i m a			= l i m		= 0
n → ∞			n → ∞ n

Признак выполняется.

Исследуем далее. Оценим сумму ряда. Сгруппируем члены ряда, начиная с третьего по 2, 4, 8, 16, …, 2k −1 , … членов:

1 + 12 + (13 + 14 ) + (51 + 16 + 71 + 81 ) + (19 + 101 + + 161 ) + >

		2ø ò.						4ø ò.							8 ø ò.
>1+	1	+ (	1	+	1	)+ (1	+ 1	+	1	+ 1 )+ (		1	+	1	+ +		1	)=1+	1	+	1	+ .
					4											16
2		4				8	8		8	8	16		16					2		2
			2ù˜.				4ù˜.							8ù˜.

В каждой скобке у всех дробей заменим знаменатель наибольшим, тем самым уменьшив эти дроби.

Составляя суммуSn даже для этих уменьшенных членов, мы видим, что она неограниченно

растёт при n → ∞, т. е. гармонический ряд расходится (хотя lim an = 0 ).

n→∞

Пример 4. Проверить, выполняется ли необходимый признак сходимости для рядов:

∞			∞	3n + 1
∑	2n − 1	;	4.2. ∑		.
	2n			2
n =1			n =1	2n −1

Решение

4.1. lim a		= lim	2n−1	= {∞	}= lim(1	−	1	)= 1 ≠ 0,
	n		2n				2n
n→∞		n→∞		∞	n→∞

выполняется, следовательно, ряд расходится.

∞

(

n )

4.2. lim an

3n+1

= {∞ }=

lim

= ∞

n→∞

n→∞ 2n

−1

n→∞ n2

−

необходимое условие сходимости не

= 0, необходимое условие сходимости

выполняется, но о поведении ряда пока ничего сказать не можем.

1.3. Ряды с положительными членами

∞

Определение. Ряд a1 + a2 + a3 + + an + = ∑an , все члены которого неотрицательны,

n = 1

называется знакоположительным.

Теорема 5 (критерий сходимости знакоположительных рядов). Для того, чтобы

∞

знакоположительный ряд ∑an сходился, необходимо и достаточно, чтобы его частичные

n=1

суммы были ограничены сверху (в совокупности), т. е. М, п,. Sn ≤ M Доказательство

Необходимость. Пусть положительный ряд (9.1) сходится. Это значит, что существует

предел lim Sn = S < ∞ . Кроме того, последовательность частичных сумм {Sn} – возрастающая,

n → ∞

т. к. ряд знакоположительный. Тогда Sn < S, т. е. последовательность {Sn} ограничена и роль числа М выполняет число S.

Достаточность. По условию члены последовательности частичных сумм Sn ≤ М, т. е. последовательность {Sn} ограничена сверху. К тому же она монотонно возрастает, т. к. ряд —

знакоположительный. Поэтому по теореме “всякая монотонно возрастающая, ограниченная

сверху последовательность имеет предел” существует l i m Sn , то есть рядсходится.

n→∞

Все признаки сходимости и расходимости положительных рядов в конечном счёте основаны на этой простой теореме, но непосредственное её применение лишь в редких случаях позволяет судить о характере ряда.

1.3.1. Достаточные признаки сравнения знакоположительных рядов. Эталонные ряды

∞		∞
Пусть имеем два знакоположительных ряда ∑ an и		∑ bn
n =	1	n = 1

где an ≥ 0, bn ≥ 0 для всех номеров n.

Теорема 6 (признак сравнения). Если, начиная с некоторого номера (скажем, для n > N),

∞

выполняется неравенство an ≤ bn , то из сходимости ряда ∑ bn следует сходимость ряда ∑ an ,

n = 1

∞

а из расходимости ряда ∑ an следует расходимость ряда ∑ bn

n = 1

Теорема 7 (предельный признак сравнения). Пусть имеем два знакоположительных ряда

∞

lim

= k ≠ 0

∞

∑ an

и ∑ bn . Если существует конечный предел n → ∞ an

, то ряды

∑ an и

∑ bn

n = 1

сходятся или расходятся одновременно.

∞

Гармонический ряд ∑ n1 расходится.

n =1

Обобщённый гармонический ряд

сходится при α > 1 ,

∞

∑

расходится при α ≤ 1.

n =1

Геометрическая прогрессия

сходится при q < 1 ,

∞

∑qn

расходится при

≥ 1.

n = 1

Пример 5. Установить сходимость (или расходимость) рядов:

∞

5.1. ∑

5.2. ∑si n n1 ; 5.3.

∑

n + 1

;

n = 1 (n

+ 1)3

n = 1

n = 1 2n +3

Решение Первый способ. Используя теорему 6, сравним имеющийся ряд с эталонным рядом (9.5):

∞			∞		∞				2				3			4
∑			∑		∑ n			1	2				3			4
	b	=		qn =		1	=	1	+	1	+	1		+	1		+ .
	b	=		qn =			=		+		+			+			+ .
	n				n = 1 3		3		3		3			3
n = 1			n = 1		n = 1 3		3		3		3			3
Это убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем q = 1																		< 1 , сходящийся ряд
																3

(получен из данного ряда отбрасыванием const = 1 в знаменателе дроби. Очевидно, эта константа мало влияет на величину дроби при достаточно больших номерах п). Сравним по

величине a		=	n	, b =	n	=	1	, a		< b , т. к. знаменатель первой дроби больше, а
	n		(n + 1)3n	n	n 3n		3n		n	n
			(n + 1)3n		n 3n		3n

числители у них равны. Поэтому данный ряд сходится. 7

∞

Второй способ. Сравним наш ряд со сходящимся рядом ∑ 1 , используя предельный

n = 1 3n

признак сравнения

		n		n
lim	(n + 1) 3n		= lim		= 1 ≠ 0 ,
		1
n → ∞			n → ∞ n + 1
		3n

следовательно, данный ряд сходится.

Замечание. Проводя анализ величин общих членов сравниваемых рядов, можно выяснить знак разности между ними, например:

n − n − 1

т. е. an

an − bn

−

< 0,

< bn .

(n + 1)3 n

3 n

n + 1

∞

Сравним ряд с гармоническим рядом ∑ n1 ,используя предельный признак сравнения

n =1

	si n	1
l i m	si n	n	= 1 ≠ 0 .
		n
	1
n → ∞	n
	n

Вспомните первый замечательный предел

lim	sin x	= 1
x → 0	x

(в нашем случае x = n1 → 0 ), следовательно, исходный ряд, как и гармонический, расходится.

∞

Сравним ряд по предельному признаку сравнения со сходящимся рядом ∑ n12 (эталонный

n = 1

∞

ряд ∑ n1α , α = 2 > 1 ):

n = 1

(n+1)n

n )

lim

(

= {∞

} =

≠ 0 .

n → ∞

+ 3

n → ∞

∞

Каждая из дробей n1 , n3 стремится к нулю при п → ∞, значит, данный ряд сходится.

∞

Замечание. Поясним, почему для сравнения выбран ряд ∑ 12 . Общий член исходного ряда

n=1 n

содержит константы: единицу в числителе и тройку в знаменателе, мало влияющие на его величину при п достаточно больших, и мы их отбросили.

1.3.2. Достаточные признаки Даламбера и Коши сходимости знакоположительных рядов

		∞
Теорема 8 (признак Даламбера). Пусть для знакоположительного ряда ∑ an существует
	an + 1	n = 1
предел lim	an + 1	= l .
предел lim		= l .
n → ∞	an

Тогда:

•если l < 1 , ряд сходится;

•если l > 1 , ряд расходится;

•если l = 1 , вопрос о сходимости ряда остаётся открытым.

∞		n + 1
Пример 6. Исследовать на сходимость ряд ∑			.
		n
n = 2	2	(n − 1)!

Решение. Применим признак Даламбера:

an =	n + 1	,
	2n (n − 1)!

где n ! = 1 2 3

lim	an + 1	= lim
	an
n → ∞		n → ∞

an + 1

n + 2

2n + 1 n!

(n − 1) n,

(n − 1)! = 1 2 3

(n − 1);

(n + 2)2n (n − 1)!

n + 2

n(1 +

)

= lim

lim

= 0,

0 < 1, ряд сходится.

2n(n +

)

n + 1

n! (n + 1)

n → ∞

∞

Теорема 9 (признак Коши). Пусть для знакоположительного ряда ∑an существует предел

n=1

lim n an = l.

n → ∞

Тогда:

•если l < 1, ряд сходится;

•если l > 1, ряд расходится;

•если l = 1, вопрос о сходимости ряда остаётся открытым. Посмотрим применение теоремы на примерах.

Пример 7. Исследовать на сходимость ряды:

∞

3n +

1 n

7.1. ∑

)

;

7.2.

∑

n = 1

2n +

Решение. Используем признак Коши.

7.1. lim

n an

= lim

n (1 + 1 )n2

= lim

(1 +

1 )n

1 =

< 1 ,

n → ∞

→ ∞

ряд сходится. При вычислении применили второй замечательный предел

lim

(1 +

= e ≈ 2,7.

n → ∞

n(3 +

)

7.2. lim

3n + 1 n

3n + 1

, ряд расходится.

lim

= =

lim

> 1

n → ∞

2n + 3

n → ∞ 2n

+ 3

n → ∞ n(2 +

)

∞

Теорема 10 (интегральный признак Коши). Пусть имеем знакоположительный ряд ∑ an ,

n = 1

члены которого стремятся к нулю, монотонно убывая, т. е. lim an = 0 , an > an + 1 .

n → ∞

Пусть далее, на промежутке [1, ∞), функция f(x) удовлетворяет следующим условиям:

1)f(x) ≥ 0,

2)f(x) непрерывна,

3)f(x) монотонно убывает,

4)f(n) = an, для целочисленных значений аргумента х = n = 1, 2, 3, …

Тогда:

∞

• если несобственный интеграл ∫ f (x )dx сходится, то и ряд сходится;

∞

• если несобственный интеграл ∫ f (x )dx расходится, то и ряд расходится.

∞

Пример 8. Исследовать на сходимость ряд ∑ 1 .

n = 1 nα

∞

Решение. Заметим сразу, что при α = 1 имеем гармонический ряд ∑ 1 , расходимость

n = 1 n

которого уже доказана. Проверим его расходимость ещё раз, применив теорему Коши:

	1		∞
f (x ) =		,	∫	1	dx	= lim ln x	b	= ∞.
				1

	x			x		b→ ∞	1
	x			x		b→ ∞	1
			1

Интеграл и ряд расходятся.

Пусть α ≠ 1, an =

. Составим функцию f (x ) =

и соответствующий несобственный

nα

x α

интеграл

∞

− α

x 1 −α

∫

= lim

∫ x

lim

− 1

−

α − 1

b→ ∞

b→ ∞ (1 − α )

α b→ ∞ b

конечному

числу,

еслиα > 1

(α - 1 > 0),

если α < 1.

∞,

Таким образом, мы подробно исследовали ряд и теперь на полном основании можем

использовать его как эталонный:

∞

сходится, если α > 1;

ряд ∑

расходится, если α ≤ 1.

n = 1 n

∞

Пример 9. Исследовать на сходимость ряд ∑ n .

n = 1 n 2 + 2

Решение. Применим интегральный признак Коши. Проверим выполнение условий теоремы Коши:

lim an = lim

= 0,

члены ряда an =

монотонно убывают. Покажем это, оценив

2 + 2

n → ∞

n → ∞ n

n 2 + 2

разность

an + 1 − an

n + 1

−

(n 2 + 2)(n + 1) − n(n + 1)2 − 2n

(n + 1)2

+ 2

n 2 + 2

(n 2

+ 2)[(n + 1)2 + 2]

Знаменатель дроби — величина положительная. Проверим знак числителя:

n 3 + n 2 + 2n + 2 − n 3 − 2n 2 − n − 2n = 2 − n − n 2 ≤ 0,

причём равенство нулю возможно только при п = 1, т.е. an+1 − an < 0 для всех n > 1, или

an+1 < an (последующий член меньше предыдущего).

Вывод: f(x) при x [1, ∞) удовлетворяет условиям:

1) f(x) ≥ 0,

2) f(x) непрерывна,

3) f(x) монотонно убывает,

4) f (n) =

, если х = п.

n 2 + 2

Все условия теоремы выполнены. Вычисляем несобственный интеграл

∞

1 lim (ln (A 2

+ 2)− ln 3) = ∞.

lim

xdx

= lim 1 ln (x 2

+ 2)

∫ x 2

+ 2

A → ∞ ∫ x 2

+ 2

A → ∞ 2

2 n → ∞

Вывод: интеграл, а следовательно, и ряд, расходятся.

Замечание. 1) кроме рассмотренных признаков для знакоположительных рядов есть ещё много других признаков: Бертрана, Гаусса, Ермакова, Раабе;

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
26.07.2016399.9 Кб87высшая математика пособие для академических консультантов часть 3.pdf
#
26.07.2016277.65 Кб55высшая математика пособие для преподавателя часть 3.pdf
#
26.07.2016478.99 Кб75высшая математика пособие для студентов часть 3.pdf
#
26.07.2016835.31 Кб2553высшая математика руководство к решению задач часть 3.pdf
#
26.07.2016564.19 Кб139высшая математика Ряды-1.pdf
#
26.07.2016564.19 Кб93высшая математика Ряды.pdf
#
26.07.2016178.67 Кб17высшая математика структура дисциплины часть 3.pdf
#
26.07.2016113.73 Кб17высшая математика структура дисциплины часть 4.pdf
#
26.07.20161.43 Mб98высшая математика теоретический материал часть 3.pdf
#
26.07.2016158.98 Кб33высшая математика установочные лекции часть 3.pdf