Следовательно, при x = e − 1 исходный ряд расходится. При x = −e − 1 получаем знакочередующийся ряд

В итоге ряд сходится при x (− e − 1, e − 1) (область сходимости совпала с интервалом сходимости).

2.4. Разложение функций в степенные ряды

Сумма всякого сходящегося степенного ряда является некоторой функцией, определённой внутри интервала сходимости этого ряда (возможно ещё и на его концах). В связи с этим возникают две задачи. Во-первых, можно по заданному ряду искать функцию, равную сумме ряда в интервале его сходимости. Эта задача называется суммированием сходящегося ряда. Вовторых, можно по заданной функции искать сходящийся ряд, сумма которого в интервале сходимости равнялась бы заданной функции. Эта задача называется разложением функции в ряд. Решением последней задачи мы и займёмся в этом параграфе. Наряду со степенными

Ясно, что подстановкой у = х − с второй из этих рядов превращается в первый. Поэтому если

Не всякую функцию, даже если она неограниченное число раз дифференцируема, можно разложить в ряд Тейлора. Однако, если разложение функции в какой-либо степенной ряд вообще возможно, то оно является разложением именно в ряд Тейлора.

Правила разложения функции в ряд Тейлора:

1)найти все производные функции, найдя выражения для п-ой производной;

2)вычислить все производные в рассматриваемой точке х = с;

3)подставить значения производных в формулу (10.17);

4)найти все значения х, при которых полученный ряд сходится;

5) оценить остаточный член, проверив выполнение условия lim Rn = 0,

n →∞

Пример 9. Разложить функцию у = lnx в окрестности точки с = 1 (без оценки остаточного члена).

Решение. Найдём значение функции и её производных при х = 1:

21

Подставив эти значения в формулу (10.17), получим разложение функции y = lnx по степеням (х – 1):

т.е. ряд сходится при −1 < x − 1 < 1 или 0 < x < 2 .

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости. При х = 0 получим положительный числовой ряд

который расходится, т.к. является гармоническим рядом, умноженным на (−1). При х = 2 имеем знакочередующийся числовой ряд

который сходится условно (по теореме Лейбница). Таким образом, исходный ряд сходится к функции y = lnx при x (0, 2].

Пример 10. Разложить в ряд Маклорена: 10.1. у = ех; 10.2. у = sinx; 10.3. y = cosx.

Решение. Необходимо получить ряд вида

10.1. Найдём все производные функции f(x) = ex:

f ′ = ex , f ′′ = ex , …, f (n) = ex .

Вычислим функцию и производные при х = 0:

Подставим эти значения в формулу

22

Определим интервал сходимости по признаку Даламбера:

дробь мы оценили в предыдущем примере.

Итак, lim Rn = 0.

n → ∞

10.3. Разложение функции f(x) = cosx можно получить, используя алгоритм предыдущих пунктов, но рациональнее воспользоваться операцией дифференцирования, поскольку

cosx = (sin x )′.

Почленно дифференцируем ряд

Полученный ряд сходится при х (−∞, ∞). Замечание. Считается 0! = 1.

Очевидно (по аналогии с предыдущим примером),

Пример 11. Разложить функцию f (x ) = sin π4x в окрестности точки с = 2.

23

Решение. Преобразуем исходную функцию к виду

Полученный ряд сходится к функции e2x , если −∞ < 2(x + 1) < +∞ , т.е. при x (−∞,+∞) .

Получим ряд Маклорена для функции y = (1 + x )m , bvttv

который сходится в интервале (−1, 1).

2.5. Приложения рядов к приближённым вычислениям

Прежде, чем решать задачи, перечислим эталонные ряды, полученные в предыдущих пунктах:

−1 < x < 1;

Пример 14. Вычислить ln3 с точностью до 10−3. Решение. Предварительно заметим, что представление

ln 3 = ln( 1 + x ) = ln( 1 + 2)

24