2) при вычислении пределов в ходе исследования сходимости ряда можно использовать формулу Стирлинга, справедливую для больших п:
n! ≈ (ne )n 2πn.
1.4. Ряды с произвольными членами
Рассмотрим знакопеременные ряды, т. е. ряды, у которых бесконечно много как положительных, так и отрицательных членов.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
Наряду со знакопеременным рядом ∑U n будем рассматривать ряд, составленный из |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
абсолютных величин ∑ |
|
U n |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
n = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Теорема 11. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда. Если сходится ряд |
||||||||||||||||||
∞ |
∞ |
|
|
|
|
|
||||||||||||
∑ |
|
U n |
|
, то сходится и ряд |
∑U n , причём абсолютно. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n = 1 |
n = 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Определение. Ряд ∑U n с произвольными членами называется абсолютно сходящимся, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
∞ |
|
|
∞ |
∞ |
||||||||||
если сходится ряд ∑ |
|
U n |
|
. Если же ряд ∑U n сходится, а ряд |
∑ |
|
U n |
|
расходится, то говорят, что |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
n = 1 |
|
|
n = 1 |
n = 1 |
||||||||||
∞
ряд ∑U n сходится условно.
n = 1
Рассмотрим частный случай знакопеременных рядов — знакочередующиеся ряды.
1.5. Знакочередующиеся ряды
Определение. Ряд называется знакочередующимся, если его положительные и отрицательные члены строго чередуются.
Не нарушая общности, будем считать, что первый член ряда — положительный. Тогда знакочередующийся ряд можно записать в виде
∞ |
|
a1 − a2 + a3 − a4 + + (−1)n − 1 an + = ∑ (−1)n − 1 an , |
|
n = |
1 |
где ап > 0, п = 1, 2,….
Теорема Лейбница (признак сходимости знакочередующихся рядов). Если члены
знакочередующегося ряда начиная с некоторого номера, |
|
1) монотонно убывают по абсолютной величине ап > ап+1 |
и 2) lim an = 0 , |
|
n → ∞ |
то ряд сходится, причём его сумма меньше первого члена ряда.
Следствие из признака Лейбница. Остаток ряда лейбницевского типа имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величине.
Это утверждение (легко доказываемое) используется для оценки погрешности в приближённых вычислениях суммы сходящегося ряда, когда сумму ряда заменяем его частичной суммой:
∞
Sn ≈ S, S − Sn = Rn < un + 1 , где остаток ряда Rn = ∑ uk , uk = (− 1)k ak .
k = n + 1
Пример 11. Исследовать на сходимость ряды:
11
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
11.1. 1 |
− 21 + 31 − 14 + |
= ∑ (− 1)n − 1 |
; |
|||||||
n |
||||||||||
|
|
|
|
n = 1 |
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
∞ |
(−1) |
n − 1 |
|
|
||
11.2. 1 |
− 21 + 51 − |
+ |
∑ |
|
. |
|
|
|||
10 |
2 |
+ 1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
n = 1 |
n |
|
|
|
||
Решение 11.1. Проверим выполнение условий теоремы Лейбница:
1) lim |
a |
n |
= lim |
1 |
= 0, |
|
|||||
n → ∞ |
|
n → ∞ n |
|
||
2) an > an + 1 , т. к. n1 > n 1+ 1 (при равных числителях знаменатель правой дроби больше).
Условия теоремы выполняются, следовательно, ряд сходится по признаку Лейбница. Установим вид сходимости. Составим ряд из абсолютных величин:
∞ |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
∑ |
|
an |
|
= ∑ |
1 |
. |
||
|
|
|||||||
n |
||||||||
|
|
|
||||||
n = 1 |
|
|
|
n = |
1 |
|
|
|
Получили гармонический ряд, который расходится, следовательно, данный знакочередующийся ряд абсолютно расходится, но сходится условно.
11.2. Проверим выполнение условий Лейбница:
1) lim |
a |
n |
|
|
= lim |
|
|
|
1 |
|
= 0; |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
n → ∞ |
|
|
|
|
n → ∞ n2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
Ряд сходится по признаку Лейбница. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2) an = |
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
= an + 1 |
|
|
|||||||||
|
n |
2 |
+1 |
|
(n + 1) |
2 |
+ 1 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Установим вид сходимости. Исследуем сходимость знакоположительного ряда |
|||||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
∑ n2 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
an |
|
= |
|
|
|
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n = 1 |
|
n = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
||
Сравним его с рядом ∑ |
, который сходится как обобщённый гармонический ряд (α = 2 < |
||||||||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 1 |
n |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
||||
1). Но |
|
|
|
|
|
< |
|
|
, следовательно, и ряд ∑ |
|
с меньшими членами сходится по признаку |
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|||||||||||||||
|
n |
|
|
+ 1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 1 n |
+1 |
|
||||
сравнения. Значит, данный знакочередующийся ряд сходится абсолютно.
Пример 12. Дан ряд − 1 + |
1 |
− |
1 |
+ |
+ |
(−1)n |
+ . Оценить ошибку, допускаемую при замене |
|
2! |
3! |
n! |
||||||
|
|
|
|
|
суммы этого ряда суммой первых четырёх членов. Что можно сказать о знаке ошибки?
Решение. Прежде всего докажем, что данный ряд сходится и, стало быть, его сумма — конечное число, которое можно найти с любой степенью точности. Проверяем выполнение условий теоремы Лейбница:
1) |
|
lim |
a |
n |
= lim |
1 |
= 0, |
||||
|
|||||||||||
|
n → ∞ |
|
|
|
n → ∞ n! |
|
|||||
2) |
|
1 |
> |
|
|
|
1 |
|
, |
|
|
|
|
(n + |
1) ! |
|
|
||||||
|
|
n! |
|
|
|
|
|||||
т. е. an > an+1 — условия теоремы выполняются, ряд сходится.
Ошибку вычисления составляют члены ряда, отброшенные при вычислении суммы, т. е.
= u5 + u6 + …= R4.
Оценим эту ошибку, используя следствие признака Лейбница
= |
|
R |
4 |
|
< |
|
u |
5 |
|
= |
1 |
= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
5! |
120 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12