Итак, исходный ряд равномерно сходится на интервале (−1, 1) и его сумма равна

x

S(x ) = ∫ 1 +dxx 2 = ar ctg x 0x = arctg x .

0

Таким образом, зная сумму эталонного ряда, можно находить суммы других рядов, интегрируя или дифференцируя либо эталонный ряд, либо исходный, иногда эти операции приходится выполнять по несколько раз.

2.3. Степенные ряды

Определение 5. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

∞

∑ an x n = a0 + a1x + a2x 2 + + an x n + ,

n = 0

где a0, a1, a2, …an , … — постоянные числа, называемые коэффициентами ряда, которые вычисляются по формуле ап = ϕ(п).

Областью сходимости степенного ряда всегда является некоторый интервал, который, в частности, может вырождаться в точку.

Теорема 2 (Абеля). Если степенный ряд сходится при некотором значении x0 , не равном нулю, то он абсолютно сходится при всяком значении х, для которого x < x0 .

Если ряд расходится при некотором значении x1 , то он расходится при всяком х, для которого x > x1 (см. рис..2).

Ряд расходится

Рис. 2

Определение 6. Если на оси ох существует точка х = R > 0 (см. рис. 10.3), такая, что:

•ряд сходится для всех х : |х| < R ,

•ряд расходится для всех х : |х| > R,

то интервал (−R, R) называется интервалом сходимости ряда (10.3), а число R называется радиусом сходимости ряда. Точка х = 0 при этом называется центром сходимости.

На концах промежутка в точках |х| = |R| ряд может как сходиться, так и расходиться.

Для определения радиуса, а значит, и интервала сходимости используют уже известные нам признаки Даламбера и Коши. Покажем это.

∞

Рассмотрим ряд a0 + a1x + a2x 2 + + an x n + = ∑ an x n

n = 0

и ряд, составленный из абсолютных величин, т. е. ряд с положительными членами

Применим к последнему признак Даламбера:

17

Пусть z |x| < 1. Тогда ряд (10.9), а с ним (по теореме сравнения) и ряд сходится для всех

Для нахождения радиуса сходимости можно использовать и признак Коши, применявшийся ранее для знакоположительных числовых рядов:

В нашей ситуации

Отметим частные случаи:

1)R = 0, степенной ряд сходится в единственной точке х = 0 и расходится на обеих полуосях оси ох;

2)R = ∞, ряд сходится в любой точке оси ох: х (−∞, ∞);

3)центром сходимости является какая-либо точка х = х0. Тогда имеем степенной ряд

−R < x − x 0 < R, −R + x 0 < x < R + x 0 .

В этом случае, выполняя обычную процедуру исследования по теореме Даламбера, получаем интервал сходимости (x0 – R, x0 + R), смещённый относительно начала координат. Исследование сходимости ряда в конечных точках x = ±R интервала сходимости (−R, R), если это требуется по условию задачи, проводится отдельно. Подставляя значения х1 = −R, x2 = R в исходный ряд, исследуем сходимость соответствующих числовых рядов, предварительно классифицируя их, т. к. выбор метода исследования зависит от того, какой ряд будет получен: знакоположительный либо знакочередующийся. И если к знакоположительным рядам можно применить несколько различных методов исследования на сходимость, то знакочередующийся ряд исследуется только с помощью теоремы Лейбница.

18

Пример 4. Найти радиус и интервал сходимости степенных рядов. Выяснить сходимость на концах интервала сходимости:

Следовательно, данный ряд сходится при x (− 2, 2). Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.

Значит, точка х = 2 принадлежит области сходимости степенного ряда. Окончательно: ряд сходится для всех х [−2, 2).

4.2. Применим признак Коши:

Радиус сходимости R = e, интервал сходимости 0 < x < 2e.

Исследуем сходимость в точках х = 0, х = 2е. Подставляя в исходный ряд х = 0, получим знакочередующийся числовой ряд

19

Исследуем его по признаку Лейбница:

Ряд расходится.

Подставив в исходный ряд значение х = 2е, получим числовой знакоположительный ряд с общим членом

Его предел мы уже вычислили:

lim an = 1 ≠ 0,

n → ∞

т.е. необходимый признак сходимости не выполняется, числовой ряд расходится. Степенной ряд сходится только во внутренних точках интервала (0, 2e).

∞

4.3. ∑n! x n . Используем признак Даламбера:

n =1

т.е. наш ряд расходится при всех значениях х, кроме х = 0.

Решение. Найдём радиус сходимости, применив признак Даламбера:

Следовательно, данный ряд сходится при −e < x + 1 < e , или −e − 1 < x < e − 1. Исследуем исходный ряд на сходимость в конечных точках интервала сходимости. При х = е − 1 имеем числовой положительный ряд

Для данного ряда не выполняется необходимый признак:

20