2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Решение:

1.1. Этот ряд является геометрической прогрессией со знаменателем q = x. Прогрессия будет убывающей, если |q| = |x| < 1, и в этом случае можно вычислить её сумму. Напомним:

где (−1, 1) – интервал сходимости ряда, на концах интервала и вне его ряд расходится, хотя функция 1 −1x разрывна только в точке х = 1

1.2. Составим частичную сумму и раскроем скобки:

Sn = x + x (x − 1) + x 2 (x − 1) + + x n − 1 (x − 1) = = x + x 2 − x + x 3 − x 2 + + x n − x n − 1 = x n .

Если отбросить первое слагаемое х в исходном ряде, то остаток R(x) представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем q = x, которая сходится при |q| = |x| < 1:

R(x ) = x(x − 1) + x 2 (x − 1) + = (x − 1)(x + x 2 + x 3 + + x n + ),

причём левая часть равенства (а следовательно, и правая) обращается в нуль при х = 1, т.е. сумма остатка ряда в точке х = 1 существует и равна нулю.

Сумма ряда разрывна в точке х = 1, хотя члены ряда – непрерывные функции.

1.3. Составим частичную сумму ряда и преобразуем её:

есть непрерывные функции при всех положительных значениях аргумента, т. е. х (0, ∞), значит, S(x) = f(x) только при х (0, ∞).

14

2.2. Равномерная сходимость функционального ряда.

Признак Вейерштрасса Рассмотрим подробнее вопрос о сходимости функционального ряда.

∞

Пусть ряд u1 (x ) + u2 (x ) + + un (x ) + = ∑ un (x )

n =1

сходится в интервале (a, b). Это значит, что для любого х = х0 из (a, b) существует сумма

ряда S(x 0 ) = lim Sn (x 0 ), где Sп(x0) – частичная сумма ряда в точке x0.

n → ∞

По основной теореме математического анализа о существовании предела функции (или последовательности) разность, называемая остатком ряда,

S(x 0 ) − Sn (x 0 ) = Rn (x 0 )является бесконечно малой величиной, т.е. lim Rn (x 0 ) = 0.

n → ∞

Последнее равенство обозначает, что для всякого ε > 0 найдётся такой номер N(ε, x0), что при всех n > N выполняется неравенство

Rn (x 0 ) < ε.

Очевидно, в общем случае номер N будет разным для каждого x (a, b), т. е. быстрота стремления Rп(x0) к нулю (или Sп(x0) к S(x0)) будет разной.

Если удаётся для какого-то ряда найти число N = N(ε), не зависящее от выбора x0, т.е. единое для всех х из интервала сходимости, то говорят, что этот ряд сходится равномерно.

Определение 4. Функциональный ряд u1(x ) + u2 (x ) + + un (x ) называется равномерно

сходящимся в интервале (a, b), если для любого как угодно малого ε > 0 найдётся такой номер N, что при всех n ≥ N будет выполняться неравенство S(x ) − Sn (x ) < ε одновременно для всех х

из (a, b); S(x) – сумма функционального ряда, Sn (x ) = u1(x ) + u2 (x ) + + un (x ) — его частичная сумма.

Данное определение проиллюстрируем геометрически. Рассмотрим график функции y = S(x ) (см. рис 1).

Теорема 1 (признак равномерной сходимости Вейерштрасса).

функцией, определённой на интервале (a, b), сходится равномерно на этом интервале, если

На практике применение признака Вейерштрасса сводится, таким образом, к нахождению мажорантного ряда.

15

Пример 2. Функциональный ряд

∞

в качестве мажорирующего имеет числовой сходящийся ряд ∑ 1 в силу неравенства

n =1 n 2

sin α ≤ 1.

Вывод: функциональный ряд сходится равномерно для всех вещественных х, потому что при всех х и п справедливо неравенство

n=1

—непрерывные функции на [a, b], то этот ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке

Решение. Продифференцируем данный ряд почленно:

исходному ряду, выполнив обратную процедеру: проинтегрируем последний ряд почленно на отрезке [0, х], где |х| < 1:

16