Интегрируем по частям: в первом интеграле и = х + 2π, во втором интеграле и = х,

∞

S(x ) = π + 2∑ sinnnx ,

n = 1

3.6. Изменение длины сегмента разложения

Задача. Разложить функцию у = f(x) в тригонометрический ряд Фурье на сегменте [a, a + 2l],

причём 2l ≠ 2π (l > 0) (см. формулу (11.4)).

Решение. Положим x = πl t (т. е. изменим масштаб на оси ох).

Так как изменение масштаба не влияет ни на кусочную монотонность, ни на кусочную непрерывность, то условия Дирихле сохраняются:

36

− l

Может оказаться, что функция f(x) является чётной или нечётной на отрезке [−l, l]. Тогда её разложение и формулы коэффициентов принимают следующий вид:

f(x) — чётная:

Пример 5. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = 3 − х , [−3, 3]. С помощью полученного

Запишем ряд Фурье для чётной функции, используя формулы (11.20) при l = 3:

a ∞ π

S(x ) = 20 + ∑ ancos xn3 .

n =1

Найдём коэффициенты Фурье:

37

Коэффициенты найдены, составляем ряд:

S(x) = f(x) = 3 − x для всех x [−3, 3].

Теперь выполним второе задание: вычислим сумму числового ряда. Точка х = 0 принадлежит отрезку [−3, 3]. Подставим её в выражение суммы ряда

отсюда искомая сумма

3.7. Интеграл Фурье (как предельный случай ряда Фурье)

Всякую функцию f(x), удовлетворяющую условиям Дирихле, можно разложить на интервале (−е, е) в тригонометрический ряд по формуле

Полученное разложение будет справедливо на всей оси ох, если функция f(x) = f(х + 2е), т. е. 2е-периодична.

Рассмотрим предельный случай, когда е → ∞, т. е. непериодической функции, заданной для всех х (−∞, ∞).

Предположим, что:

•на всяком конечном отрезке оси ох функция f(x) удовлетворяет условиям Дирихле;

•сходится несобственный интеграл

∞

∫ f (x ) dx = c, c = const

− ∞

(функция в этом случае называется абсолютно интегрируемой). Сначала преобразуем формулу подставив в неё формулы коэффициентов:

38

затем используем свойство определённого интеграла (от суммы функций) и тригонометрическую формулу

cos(α − β ) = cosα cos β + sin α sin β ,

Оценим первое слагаемое выражения (11.22) при условии, что е → ∞, используя сходимость несобственного интеграла:

Для оценки второго слагаемого из при е → ∞, введём новую переменную и, которая принимает значения членов арифметической прогрессии:

e

где F (un ) = ∫ f (t ) cosun (x − t )dt .

−e

Переходя к пределу при е → ∞, учитывая, что ∑ F (un ) un напоминает интегральную сумму, получим

∞ ∞

f (x ) = π1 ∫ du ∫ f (t ) cosu(x − t )dt .

0 − ∞

∞∞

Правая часть формулы f (x ) = π1 ∫ du ∫ f (t ) cosu(x − t )dt . называется двойным интегралом

0 − ∞

Фурье.

Нетрудно убедиться, что в формуле внутренний интеграл является чётной функцией переменной и, поэтому, используя свойства определённого интеграла, можно записать ещё один вид интеграла Фурье:

∞∞

− ∞ − ∞

Перейдём к другой форме записи интеграла Фурье в виде однократного интеграла. Воспользуемся той же тригонометрической формулой и преобразуем формулу (11.23):

39

∞

f (x ) = ∫[A (u) cosux + B(u) sin ux ]du,

0

Пример 6. Представить интегралом Фурье функцию f(x) = e−x, 0 < x < ∞, продолжив её на промежуток (−∞. 0): а) чётным образом, б) нечётным образом.

Используя полученные формулы, вычислить интегралы

Решение. Функция удовлетворяет условиям Дирихле и абсолютно интегрируема на интервале (0, ∞):

а) Продолжим функцию на интервал (−∞. 0) чётным образом Новая функция также отвечает условиям Дирихле и абсолютно интегрируема на каждом конечном отрезке [x1, x2] оси ох, т. е. выполняются условия теоремы 2:

Последний интеграл является циклическим, интегрируя дважды по частям, получим ответ. Можно воспользоваться готовой формулой (см. [3])

Подставляем найденный коэффициент А(и) в первую из формул (11.26)

∞

f (x ) = ∫ A (u) cos uxdx , где f(x) = e−x по условию.

0

Записываем интеграл Фурье

40

б) Продолжим функцию e−x нечётным образом (см. рис. 11.18). Функция нечётная, поэтому воспользуемся формулами (11.28). Найдём синус-преобразование Фурье: