|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
5 |
|
|
x |
9 |
|
x |
13 |
|
x |
17 |
|
|
2 |
− 1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
= |
|
|
− |
|
|
+ |
|
− |
|
+ |
|
= |
+ |
|
− |
+ . |
||||||||
|
|
|
2 ! |
|
4 ! |
|
6 ! |
5 |
13 |
12 |
17 360 |
|||||||||||||
|
|
5 |
|
9 |
|
13 |
|
17 |
|
|
|
9 |
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученный числовой ряд – знакочередующийся, следовательно, для достижения требуемой точности, по следствию теоремы Лейбница, достаточно оценить первое отброшенное слагаемое; т.к.
1 |
= |
1 |
< |
1 |
, |
17 360 |
6120 |
1000 |
то достаточно взять первые три члена разложения:
1 |
3 |
|
|
2 |
|
1 |
|
1 |
|
|
∫ x |
2 cosxdx |
≈ |
− |
+ |
= 0,4 − 0,1111 + 0,0064 ≈ 0,295. |
|||||
|
5 |
9 |
156 |
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.6. Решение задачи Коши с помощью степенных рядов
Напомним формулировку теоремы Коши о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка: y′ = f (x, y).
Если функция f(x, y) непрерывна в некоторой области D плоскости хоу и имеет там
ограниченную производную |
|
∂f |
|
, то в каждой внутренней точке |
(x |
0 |
, y |
0 |
) D |
существует функция |
||||||||||||||
|
∂y |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и условию y 0 = y(x 0 ), |
|||||
y = ϕ (x ) , и притом единственная, удовлетворяющая уравнению y′ = f (x, y) |
||||||||||||||||||||||||
т.е. y ′ = f [x, ϕ (x )], где ϕ (x0 ) = y0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Функция ϕ(х), удовлетворяющая начальным условиям y 0 = y(x 0 ), |
называется частным |
|||||||||||||||||||||||
решением дифференциального уравнения первого порядка. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Метод основан на последовательном дифференцировании исходного уравнения и |
||||||||||||||||||||||||
применении ряда Тейлора: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
′ |
y′′(0)x 2 |
|
|
y′′′(0)x 3 |
|
y (n) (0) |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y = y(0) + y (0)x + |
2 ! |
+ |
|
|
|
|
3 ! |
|
|
+ + |
n ! |
x |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
при условии, что х0 = 0 и у0 = у(0) или |
|
|
|
|
|
(x 0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
′ |
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
2 |
|
|
y |
(n) |
|
n |
|
|
|
|
|
||||
|
|
y (x 0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
y = y(x 0 ) + y (x 0 )(x − x 0 ) + |
|
|
|
|
|
(x |
− x 0 ) |
+ + |
|
|
|
|
|
|
(x − x 0 ) |
|
+ , |
|
||||||
2 ! |
|
|
|
n ! |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
если х = х0 и у0 = у(х0), причём полученное разложение как решение задачи Коши существует, и единственно.
Ищем коэффициенты ряда Тейлора: у(х0) = у0 по условию. Подставив у0 в уравнение (10.27),
найдём у′(х0) = f(х0, у0).
Следующий коэффициент ряда у′′(х0) найдём, дифференцируя уравнение (10.27) как функцию двух переменных
y′′ = dxd (y′) = ∂∂xf + ∂∂yf dydx и т. д.
Пример 17. Решить уравнения. Найти первые пять членов разложения:
17.1. y′ = e−x − y, y(0) = 0; |
|
17.2. y′ = 2x cosx + y 2, y(0) = 1. |
||
Решение. Ищем решение задачи Коши в виде ряда |
||||
y(x ) = y(0) + y′(0)x + |
y′′(0)x 2 |
+ |
y′′′(0)x 3 |
+ . |
|
3 ! |
|||
2 ! |
|
|
||
17.1. Коэффициент у(0) = 0 по условию. Подставляя начальные условия в дифференциальное уравнение, имеем
27