Поскольку числовой ряд в правой части равенства — сходящийся (проверьте самостоятельно), его сумма конечна и мы сейчас её вычислим:

Таким образом, используя разложение какой-либо функции в ряд Фурье, можно вычислять точные суммы сходящихся числовых рядов. Для этого достаточно выбрать точку х0 непрерывности функции в интервале разложимости функции в ряд Фурье, затем использовать условие f(x0) = S(x0).

3.3. Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций

Пусть функция y = f(x) задана на сегменте [−π, π] и удовлетворяет условиям Дирихле. Рассмотрим предварительно поведение чётной и нечётной функций на симметричном

промежутке [−а, а].

1. Пусть y = f(x) — чётная функция, т. е. f(x) = f(−xВычислим определённый интеграл

Геометрически каждый из интегралов в правой части равенства выражает величину площади (между осью ох и графиком функции) S1 и S2, причём, в силу симметрии, S1 = S2. Выполним в первом из интегралов замену: x = −t, dx = −dt, тогда (учитывая f(x) = f(−x))

2. Пусть f(x) — нечётная функция, т. е. f(−x) = − f(x)) Вычислим

Выполняя в первом слагаемом замену x = −t и учитывая равенство f(−x) = − f(x), получим

Итак, на симметричном интервале [−а, а] определённый интеграл от чётной функции равен удвоенному интегралу на [0, а], интеграл от нечётной функции на промежутке [−а, а] равен нулю.

3. Пусть теперь f(x) — чётная функция, удовлетворяющая условиям Дирихле на [−π, π]. Найдём коэффициенты Фурье:

32

(в последнем равенстве подынтегральная функция — чётная, поскольку равна произведению

(подынтегральная функция — нечётная, поскольку является произведением чётной и нечётной функций).

Ряд Фурье для чётной функции (разложение только по косинусам) примет вид

4. Пусть f(x) — нечётная функция, удовлетворяющая условиям Дирихле на [−π, π]. Найдём её ряд Фурье:

произведение двух нечётных функций).

Итак, ряд Фурье для нечётной функции (разложение только по синусам) имеет вид

Формулы носят общее название: неполные тригонометрические ряды.

3.4. Разложение в ряд Фурье функций на сегменте [0, π]

Пусть функция y = f(x) задана на сегменте [0, π] и удовлетворяет там условиям Дирихле. Чтобы разложить такую функцию в ряд Фурье, нужно её доопределить на сегменте [−π, 0]. Тогда будем иметь возможность разложить f(x) в ряд Фурье. Так как реально заданной является только часть функции на сегменте [0, π], то полученный ряд следует рассматривать лишь для переменной х, заданной в промежутке [0, π].

Очевидно, получившийся ряд будет зависеть от того, как именно мы произведём доопределение нашей первоначально заданной функции на [0, π].

Как доопределить функцию? Рассмотрим два варианта.

1. Продолжим функцию f(x) на промежуток [−π, 0] чётным образом т. е. построим новую функцию, обладающую свойством чётности (симметрия графика относительно оси оу) ϕ(x) = ϕ(−x), −π ≤ х ≤ π, которая на отрезке [0, π] совпадает с функцией f(x). Тогда

Если х — точка непрерывности, то S(x) = f(x) для x (0, π).

Вточках конечного разрыва S(x) вычисляем соответственно теореме Дирихле.

2.Доопределим функцию f(x), продолжив её на отрезок [−π, 0] нечётным образом, т. е. построим новую функцию, обладающую свойством нечётности ϕ(−x) = −ϕ(x) (симметрия

33

графика относительно начала координат) которая на отрезке [0, π] совпадает с функцией f(x), а

именно: f(x) = ϕ(x), 0 ≤ х ≤ π.

В этом случае S(x) = f(x) во всех точках непрерывности функции отрезка [0, π].

Пример 2. Разложить функцию f(x) = 2х −2, [0, π] в ряд Фурье, продолжив её чётным образом; нечётным образом.

Рис.

Коэффициенты найдены. Составляем ряд:

Таким образом, полученный ряд сходится к функции f(x) для всех x [0, π], т. е. S(x) = f(x) = 2х − 2, если 0 ≤ х ≤ π.

34

б) Продолжим функцию f(x) на интервал [−π, 0] нечётным образом построив нечётную функцию

3.5. Сдвиг сегмента разложения

Рассмотрим разложение функции f(x) в тригонометрический ряд Фурье на произвольном отрезке [a, b] длиной 2π : [a, a + 2π].

Переход от [−π, π] к [a, a + 2π] можно осуществить сдвигом первоначального сегмента вдоль оси ох на π + а.

Лемма. Если функция ψ(х) — периодическая с периодом Т, т. е. ψ(х) = ψ(х + Т), то при любых а и λ

Вывод: Если функция f(x):

1)задана на отрезке [0, 2π] или [a, a + 2π], где а — произ-вольное число;

2)удовлетворяет условиям Дирихле на этом отрезке,

то разложение такой функции в тригонометрический ряд Фурье имеет тот же вид, что и в случае функции, заданной на отрезке [−π, π], лишь в формулах для коэффициентов следует заменить пределы интегрирования −π, π соответственно на 0, 2π или a, a + 2π.

Так, если функция f(x) задана на отрезке [a, a + 2π], тригонометрический ряд имеет вид

где следует взять а = 0, если функция задана на отрезке [0, 2π] или а = const ≠ 0, если функция задана на отрезке [a, a + 2π].

Замечание 3. При вычислении коэффициентов Фурье 2π-периодичной функции на сегменте [−π, π] мы можем для удобства интегрировать не по этому сегменту, а по любому другому сегменту вида [a, a + 2π], выбрав значения а так, чтобы вычисления стали более простыми.

Пример 4. Разложить в ряд Фурье функцию

35