2.2. Понятие двухсторонней поверхности. Ориентация поверхности

Рассмотрим поверхность σ (незамкнутую) (см. рис. 8). Построим к ней нормаль в произвольно выбранной точке M(x,y,z). Очевидно, можно говорить о двух сторонах поверхности так же, как о двух направлениях нормали.

Например, с осью z нормаль N1 образует острый угол, и эту сторону поверхности обычно называют верхней. Нормаль N2 = − N1 образует с осью oz тупой угол (cos γ < 0), сторону поверхности, к которой построена нормаль N2 , назовём нижней. Если поверхность замкнута, то можно говорить о её внешней и внутренней сторонах.

Существуют и односторонние поверхности, классическим примером которых служит так называемый лист Мёбиуса (рис. 9), если, выбрав точку М, построить в ней нормаль и двигать

Мы будем иметь дело только с двухсторонними (ориентированными) поверхностями.

Введём понятие ориентированной поверхности.

Вспомните определение векторного произведения. Векторное произведение вектора a на вектор b — это третий вектор c , направленный перпендикулярно плоскости перемножаемых векторов так, что с его конца поворот от вектора a к вектору b видится против часовой стрелки. Такое расположение трёх векторов соответствует расположению осей правой системы координат (см. рис. 10)

Пусть σ — незамкнутая гладкая двухсторонняя поверхность, ограниченная гладким контуром L. Припишем контуру L определённое направление обхода. Будем считать контур L положительно ориентированным, если при взгляде с конца вектора n (см. рис. 11) обход контура происходит против часовой стрелки, т. е. сама поверхность остаётся слева от кривой L. При этом условии выбранной стороне поверхности приписывается нормаль, направляющие косинусы которой берутся со знаком плюс, и поверхность называют положительно ориентированной.

89

Если рассмотреть другую сторону поверхности, то нормали в выбранных точках изменят своё направление на противоположное, изменится и направление обхода контура L, поверхность изменит свою ориентацию. Таким образом, если придерживаться

установленного правила, выбор стороны поверхности и определяет её ориентацию. Теперь вычислим массу полусферы

Выбор положительного направления обхода контура (границы) поверхности однозначно определяет её сторону. На рис. 11 нормаль n {cos α, cos β, cos γ} образует острый угол с осью oz

(cosγ > 0), что соответствует обходу контура L в положительном направлении, т. е. против часовой стрелки.

2.3. Поверхностный интеграл второго типа (по проекциям)

Пусть в каждой точке двухсторонней поверхности σ задана непрерывная функция f(x, y, z). Выберем на поверхности определённую сторону, разобьём её сетью произвольных кривых на п участков , на каждом из которых произвольно выберем точку

M i (x i , y i , zi ) σ i , где i = 1, 2, …, n .

Вычислим значения функции fi = f(Mi), где i = 1, 2, …, n.

На каждом из участков σi в выбранной точке Mi построим к выбранной стороне поверхности нормаль N i .

Спроектируем каждый из участков σi на плоскость xoy, обозначив Si площадь проекции i– го участка. Составим произведения fi Si, причём, если нормаль Ni образует острый угол с осью

oz, берём произведение со знаком плюс, если нормаль образует тупой угол с осью oz, берём произведение со знаком минус. Суммируем все произведения:

n

Sn = ∑ fi Si .

i = 1

Обратите внимание: слагаемые суммы в отличие от предыдущих интегральных сумм, распространяют на весь участок σi не только значение функции f(Mi), но и направление нормали, построенной в точке Mi.

Теорема. Если существует конечный предел интегральной суммы при стремлении к нулю диаметров всех частей σi (или maxdi → 0), не зависящий от типа разбиения и выбора точек Mi, то его называют поверхностным интегралом второго типа, распространённым на выбранную сторону поверхности, и обозначают

причём для выбора знака проекции служит угол нормали с осью оу и ох соответственно.

Наиболее общим видом поверхностного интеграла второго типа является составной интеграл

∫∫ P(x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dxdz + R(x, y, z)dxdy ,

σ

где Р, Q, R — функции трёх переменных, определённые и непрерывные на поверхности σ.

90

Поверхностный интеграл обладает всеми свойствами поверхностного интеграла первого типа, за исключением одного: при изменении стороны поверхности интеграл меняет знак на противоположный.

Рассмотрим сначала третье слагаемое формулы и поставим задачу о вычислении данного интеграла.

Пусть поверхность σ задана уравнением z = f(x, y) и она однозначно проектируется в область Dxy плоскости xoy. Тогда

выбранной стороне поверхности σ, и знак (−) берётся, если cosγ < 0.

Аналогично рассуждая, получим формулы для вычисления оставшихся слагаемых составного интеграла.

Пусть поверхность σ задана уравнением y = ϕ(x, z) и она однозначно проектируется на плоскость xoz в область Dxz. Тогда

∫∫ Q(x, y, z) dxdz = ± ∫∫ Q[x; ϕ(x, z); z]dxdz .

берём, если cosβ < 0.

Первое слагаемое формулы (14.7) вычисляется с помощью двойного интеграла

∫∫ P(x, y, z)dydz = ± ∫∫ P[ψ(y, z); y, z]dydz ,

σ Dyz

где x = ψ(y,z) — уравнение поверхности σ;

Dyz — проекция поверхности σ на плоскость yoz.

где σ1 — ближняя к нам половина параболоида (см. рис. 12), её уравнение: x = 4 − z − y 2 ,

Вычислим второе слагаемое составного интеграла:

91

где σ3 — правая половинка параболоида (см. рис. 14.12), её уравнение: y = 4 − z − x 2 ,

Чтобы избавиться от иррациональности, выполняем подстановку:

x = 2 sin t, dx = 2 cos tdt , 4 − x 2 = 2 cos t.

где σ5 — внешняя сторона параболоида z = 4 − x 2 − y 2, нормаль к которой образует с осью z острый угол, cosγ > 0,

σ6 — это плоскость z = 0, внешняя нормаль n3 образует с осью z угол γ = 180°, cosγ < 0 (см.

рис. 12).

Обе поверхности σ5, σ6 проектируются в один и тот же круг х2 + у2 ≤ 4 плоскости хоу (см.

рис12).

Переводим поверхностный интеграл в двойной:

92