Тольяттинский государственный университет Автомеханический институт

Кафедра «Компьютерные технологии и обработка материалов давлением»

Данюк А.В., Егорова Э.В., Тонких А.П.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к практическим занятиям по дисциплине «Математика и информатика»

для студентов гуманитарных специальностей очной формы обучения

Тольятти 2007

2

3

УДК 51: 004 (075.8)

ББК 22.18+32.81 М54

Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Математика и информатика» для студентов гуманитарных специальностей очной формы обучения. /Сост. Данюк А.В., Егорова Э.В., Тонких А.П. – Тольятти: ТГУ, 2007.

Данные методические указания содержат: название темы каждого занятия, изложены цели работ, содержание теоретических вопросов, рассмотрены примеры по каждой теме. Даны задания для самостоятельной работы. Даны указания по подготовке к работам и их выполнению для студентов гуманитарных специальностей.

Составитель: Данюк А.В., Егорова Э.В., Тонких А.П.

Утверждено редакционно-издательской секцией методического совета института.

© Тольяттинский государственный университет, 2007

4

Модуль 1. Аксиоматический метод в математике. Множества

Задания к практическим занятиям по модулю №1

В приложении №1 выбрать свой вариант индивидуального задания (ИДЗ №1) . Выполнить его, пользуясь данными методическими указаниями.

Оформить работу по образцу приложения №3. Результат предъявить преподавателю.

Ответить на вопросы для самоконтроля к практическим занятиям модуля №1 . Защитить свою выполненную работу по заданию ИДЗ преподавателю.

Практическое занятие №1. Аксиоматический метод. Теория множеств. Способы задания множеств. Алгебра множеств. Отношения между множествами

1. Цель работы

Цель работы – понять способ построения аксиоматической теории. Знать основные требования к системе аксиом, способы задания множеств. Уметь выполнять операции над множествами.

2. Теоретический материал для практического занятия №1

Аксиоматический метод. Теория множеств.

Способы задания множеств. Алгебра множеств. Подмножества и равенство множеств

2.1. Правила аксиоматического построения теории

При аксиоматическом способе построении какой-либо математической теории соблюдаются следующие правила:

1)некоторые понятия теории выбираются в качестве основных и принимаются без определения;

2)формулируются аксиомы-предложения, которые в данной теории принимаются без доказательства; в них раскрываются свойства основных понятий;

3)каждому понятию теории, которое не содержится в списке основных, дается определение, в нем разъясняется его смысл с помощью основных и предшествующих данному понятий;

4)каждое предложение теории, которое не содержится в списке аксиом, должно быть доказано; такие предложения называют теоремами и доказывают их на основе аксиом и теорем, предшествующих рассматриваемой.

Из правил аксиоматического построения теории выделяют четыре шага:

1)Первый шаг: Задается некоторое множество первичных понятий (терминов).

2)Второй шаг: Выделяется некоторое подмножество высказываний (аксиом) о первичных понятиях.

5

3)Третий шаг: При помощи первичных понятий даются определения всех остальных понятий.

4)Четвёртый шаг: Вывод утверждений (теорем) о первичных и определяемых понятиях Таким образом выстраивается алгоритм аксиоматического построения теории: первичные понятия, аксиомы, определения, теоремы.

Соответственно можно на примере рассмотреть какое утверждение в математике относится к одной составляющей из выше приведенного списка.

Примеры.

1)К первичным понятиям аксиоматического построения геометрии на плоскости относятся: точка, прямая, плоскость.

2)Аксиома 1. Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.

3)Аксиома 2. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна

Определение 1: Высказывания, определяющие через первичные неопределяемые понятия и через понятия, смысл которых был определен через некоторые другие понятия называются определениями.

Определение 2: Утверждения, принимаемые без доказательства как верные, называются аксиомами.

Определение 3: Новые утверждения о первичных и определяемых понятиях выведенные чисто логическим путем на основе аксиом, ранее выведенных утверждений и определений называются теоремами.

Определение 4: Простым числом называется такое натуральное число больше единицы, которое имеет только два делителя - единицу и само это число.

Определение 5: множество, имеющее конечное число элементов, называется конечным.

Пример. X = {x1, x2, x3}.

Теорема 1. Если частное натуральных чисел существует, то оно единственно.

Теорема 2. ( x ,y Є N) х +y=y+x;

Теорема 3. ( x ,y ,z Є N) (х +y) z=x z+y z;

Если построение теории осуществляется аксиоматическим методом, по названым выше правилам, то говорят, что теория построена дедуктивно. При аксиоматическом построении теории по существу все утверждения выводятся путем доказательства из аксиом.

Важнейшим требованием к системе аксиом является ее непротиворечивость, которую можно понимать так: сколько бы мы не выводили теорем из этих аксиом, среди них не будет двух теорем, противоречащих друг другу. Кроме того, система аксиом должна быть полной в том смысле, что всякая теорема, имеющая место в рассматриваемой области, из них может быть выведена. Желательно также, чтобы система аксиом была независимой, т.е. чтобы ни одна из них не была логическим следствием остальных.

Аксиоматическая теория основных структур математики является инструментом, с помощью которого раскрывается теоретико –множественный смысл каждого понятия. Изучение аксиоматического метода неразрывно связано с теорией множеств, так как последняя полностью построена на первом.

2.2. Теория множеств. Понятие множества

6

Понятие множества является одним из основных понятий математики. Математический смысл слова множество отличается от того, как оно используется в обыденной речи, где его связывают с большим числом предметов. В математике можно рассматривать множество, состоящее из одного объекта или не содержащее ни одного объекта.

Объекты, из которых составлено множество, называются элементами данного множества. Для обозначения множества используют заглавные буквы латинского алфавита, например X, Y, Z, а в фигурных скобках через запятую выписывают его элементы строчными буквами, например, x,y,z. Пример обозначения множества и его элементов.

X = {x1, x2,…, xn} – множество, состоящее из n-элементов. Если элемент x принадлежит множеству X, то следует записать: x X, иначе элемент x не принадлежит множеству X, что записывается: x Х. Нет никаких ограничений на природу элементов, составляющих множество. Например: множествами являются книги некоторой библиотеки, студенты группы, буквы алфавита, числа и т.д.

Множество, имеющее конечное число элементов, называется конечным. Пример. X = {x1, x2, x3}.Множество называется бесконечным, если оно состоит из бесконечного числа элементов. Например, множество всех вещественных чисел бесконечно.

Пример записи. X = {x1, x2, ...}. Множество, в котором нет ни одного элемента, называют пустым множеством и обозначается символом .

2.3. Способы задания множеств

Можно отметить два способа задания множеств:

1. Задать полный перечень элементов этого множества. Пример. F={3, 5, 7, 9,11}.

2.Указать Р - определенное свойство или правило для определения того, принадлежит или нет рассматриваемому множеству данный объект. В этом случае указывается характеристическое свойство элементов множества.

Характеристическое свойство - это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит. С его помощью можно описывать какие угодно множества в удобном и компактном виде.

Запись в виде: {x X:P(x)} или {x X|P(x)} обозначает: множество элементов х, обладающих свойством Р. Можно еще более точнее объяснить. Запись A={a|P(a)} означает, что a A тогда и только тогда, когда Р(a) истинное утверждение.

Пример. Запись A={x | x N и x<9 } означает, что х A тогда и только тогда, когда х - натуральное число и меньше 9. Пример2. Если обозначить через N={x} множество натуральных чисел, то запись {x N: x2-9 = 0} означает множество корней уравнения x2-9=0, являющихся натуральными числами. В данном случае это множество состоит из одного элемента {x N:x2- 9=0}=3.

Вэтих примерах вначале указывается элемент множества, далее описание или характеристика порождения элемента. Первый способ задания называется перечислением множества, а второй – описанием.

2.4.Подмножества и равенство множеств

Вматематике изучают не только те или иные множества, но и отношения, взаимосвязи между ними (в частности: равенство множеств, включение).

Множество В является подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А. Утверждение, что множество В является подмножеством множества А, записывают так: В А. Такая запись означает, что каждый

7