Пример 7. Абитуриент подал заявления в два разных вуза по результатам ЕГЭ (на бюджетной основе). Обозначим вероятность попасть в первый вуз р= 0,5, во второй р=0,3.

Какова вероятность быть зачисленным абитуриенту хотя бы в один из вузов. Выбираем формулу (15).

Р(А+В) = Р(А)+Р(В) - Р(А) Р(В) =0,5+0,3-0,5 0,3=0,65;

Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий, например, в случае трех совместных событий она имеет вид:

Р(А+В+С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) - Р(АВ)-Р(АС)-Р(ВС) + Р(АВС) .

3. Примеры выполнения задания к практической работе №5

Пример 1. Три стрелка стреляют в цель независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,6, для второго 0,7 и для третьего 0,75.

Найти вероятность хотя бы одного попадания в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу.

Найти вероятность того, что будет одно и только одно попадание в цель. Найти вероятность того, что будет только два попадания в цель.

Найти вероятность того, что попадут в цель все стрелки одновременно. Найти вероятность промаха всех стрелков одновременно.

Решение. Пусть А, В, С – события, состоящие в том, что соответственно в цель попал первый, второй, третий стрелок. Из условия задачи следует, что:

1) Вероятность хотя бы одного попадания в цель равна: Р(А + В + С).

Событие ( А B C ) – все промахнулись.

Событие (А+В+С) – хотя бы одно попадание в цель. Вероятность хотя бы одного попадания в цель:

P(A + B +C) =1 − P(A) P(B) P(C ) .

P(A+B+C)=1– (1– 0,6 ) (1– 0,7 ) (1 – 0,75 )=1– 0,4 0,3 0,25 = 0,97. 2) Вероятность только одного попадания в цель.

Пусть D–событие, состоящее в том, что в цель попал только один стрелок. События «хотя бы одно попадание» и «одно попадание» – разные события. В задаче одно и только одно

попадание – это событие D, состоящее из суммы событий: D = A B C + B A C +C A B .

Его вероятность из-за независимости стрельбы и несовместности слагаемых событий может быть определена по формулам (7), (10):

P(D) = P(A) P(B ) P(C ) + P(B) P(A) P(C ) + P(C) P( A) P(B ) .

Р(D)=0,6 (1–0,7) (1–0,75)+0,7 (1–0,6 ) (1–0,75)+0,75 (1–0,6 ) (1– 0,7) = 0,205.

25

3) Вероятность того, что попадут в цель только два стрелка. Пусть X – событие, состоящее в том, что в цель попали только два стрелка. X = A B C + B A C +C A B .

P(X ) = P(A) P(B) P(C) + P(A) P(B) P(C) + P(A) P(B) P(C ) .

P(X)=(1– 0,6) 0,7 0,75+0,6 (1– 0,7) 0,75+0,6 0,7 (1– 0,75)=0,21+0,135+0,105 =0,45.

4) Вероятность того, что попадут в цель все стрелки одновременно. Событие ABC – все попали в цель.

P(ABC) = P(A) P(B) P(C) = 0,6 0,7 0,75 = 0,315.

5) Вероятность промаха всех стрелков одновременно Р( А B C ).

Событие А B C – все промахнулись.

Р ( А B C ) = 0,4 0,3 0,25 = 0,03.

Для проверки правильности решения используют формулу для полной группы событий:

Р(А1 ) + (А2 ) +…+ Р(Аk ) = 1.

Р(D) + P(X) + P(ABC) + Р( А B C ) = 0,205 + 0,45 + 0,315 + 0,03 = 1.

4. Вопросы для самоконтроля по теме «Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность»

1. В урне находятся 6 шаров: 3 белых и 3 чёрных. Событие A заключается в том, что вынули белый шар. Событие B – вынули чёрный шар. Опыт состоит в выборе только одного шара. Тогда для этих событий неверным будет утверждение:

- «События A и B равновероятны»

1

-«Вероятность события B равна 2 »

-«События A и B несовместны»

-«Событие A невозможно»

2.В ящике 5 качественных и 5 бракованных изделий. Опыт состоит в выборе только одного изделия. Событие A – «Вынули качественное изделие». Событие B – «Вынули бракованное изделие». Тогда для этих событий верным будет утверждение:

-«Событие A достоверно»

-«События A и B равновероятны»

-«Событие A невозможно»

-«Событие B невозможно»

3.В урне 2 белых и 4 чёрных шара. Опыт состоит в выборе только одного шара. Событие A

–«Вынули белый шар». Событие B – «Вынули чёрный шар». Тогда для этих событий неверным будет утверждение:

-«Вероятность события B больше вероятности события A»

-«События A и B равновероятны»

2

-«Вероятность события B равна 3 »

-«События A и B несовместны»

4.В ящике 10 качественных и 5 бракованных деталей. Опыт состоит в выборе только одной детали. Событие A – «Вынули качественную деталь». Событие B – «Вынули бракованную деталь». Тогда для этих событий верным будет утверждение:

26

-«Событие A невозможно»

-«События A и B несовместны»

-«События A и B равновероятны»

-«Событие B невозможно»

5.В ящике 10 качественных ламп. Опыт состоит в выборе только одной лампы. Событие A – «Вынули качественную лампу». Событие B – «Вынули бракованную лампу». Тогда для этих событий верным будет утверждение:

-«События A и B равновероятны»

-«Событие A достоверно»

-«Вероятность события B больше вероятности события A»

-«Событие A невозможно»

6.Вероятность наступления некоторого события не может быть равна…

-1

-2

1

-2

-0

7.Вероятность наступления некоторого события не может быть равна …

-0,5

-1,5

-0,3

-0

8.Вероятность наступления некоторого события не может быть равна …

-0,4

-1,6

-1

-0,6

9.Вероятность наступления некоторого события не может быть равна …

-0,5

-0

-2

-1

10.Вероятность наступления некоторого события не может быть равна …

-0,2

-2

-1

-0,5

11.Вероятность наступления некоторого события не может быть равна …

-1,7

-0,3

-1

-0,7

12.Определите правильный ответ:

В урне 200 билетов. Из них 10 выигрышных. Вероятность того, что первый вынутый билет окажется выигрышным, равна:

27

a) 0,02; b) 0,05; c) 0,2; d) 0,01.

13. Определите правильный ответ:

В урне 50 билетов. Из них 10 выигрышных. Вероятность того, что первый вынутый билет окажется выигрышным, равна:

a) 0,3; b) 0,4; c) 0,2; d) 0,1.

14. Определите правильный ответ:

В книжной лотерее разыгрывается 5 книг. Всего в урне имеется 30 билетов. Первый подошедший к урне вынимает билет. Определить вероятность того, что билет окажется выигрышным.

5 1 1

a)30 ; b) 30 ; c) 5 ; d) 0,1.

15.Определите правильный ответ:

При наборе телефонного номера абонент забыл последнюю цифру и набрал ее наудачу, помня только, что эта цифра нечётная. Найти вероятность того, что номер набран правильно.

a) 1/9; b) 1/7; c) 1/5; d) /3.

16. Определите правильный ответ:

Стрелок попадает в цель в среднем в 8 случаях из 10. Какова вероятность, что, сделав три выстрела он хотя бы раз попадёт в цель?

a) 0,999; b) 0,992; с) 0,92; d) 0,8.

17.Определите правильный ответ:

Для посева берут семена из двух пакетов. Вероятность прорастания семян в первом пакете равна 0,4, а во втором 0,5. Взяли по одному семени из каждого пакета, тогда вероятность того, что оба они прорастут, равна :

a) 0,9; b) 0,45; c) ,3; d) 0,2.

18. Определите правильный ответ:

Вероятность того, что студент сдаст на «отлично» первый экзамен равна 0,5, второй – 0,7. Тогда вероятность того, что студент сдаст на «отлично» оба экзамена, равна:

a) 0,6; b) 0,2; c) 0,35; d) 0,1.

19. Определите правильный ответ:

Вероятность вытащить бракованную деталь из первого ящика равна 0,2, а из второго – 0,3. Из каждого ящика взяли по одной детали. Тогда вероятность того, что обе они бракованные, равна:

a) 0,06; b) 0,5; c) 0,25; d) 0,1.

20. Определите правильный ответ:

Вероятность выиграть в первом игровом автомате равна 0,6, а во втором – 0,3. Тогда вероятность выиграть одновременно в обоих автоматах равна:

a) 0,45; b) 0,9; c) 0,21; d) 0,18.

21. Определите правильный ответ:

Вероятность того, что в этом году будет хороший урожай апельсинов, равна 0,9, а лимонов – 0,7. Тогда вероятность того, что уродятся и апельсины и лимоны, равна:

a) 0,8; b) 0,3; c) 0,63; d)0,5.

22. Определите правильный ответ:

Бросаются 2 монеты. Вероятность того, что выпадут и герб, и решка, равна: a) 0,3; b) 0,5; c) 0,25; d) 0,4.

23. Определите правильный ответ:

28