4.Вопросы для самоконтроля по теме комбинаторика

1.Количество перестановок букв в слове «WORD» равно: a) 20; b) 24; c) 16; d) 8.

2.Количество перестановок букв в слове «число» равно: a) 120; b) 24; c) 5; d) 20.

3.Сколько различных трёхбуквенных комбинаций можно составить из букв слова «студент», если все буквы в комбинации различны?

a) 210; b) 240; c) 148; d) 32.

4. Сколько различных комбинаций можно составить из букв слова «победа», если все буквы в комбинации различны?

a) 30; b) 720; c) 120; d) 360.

5.Сколько различных трёхбуквенных комбинаций можно составить из букв слова «победа», если все буквы в комбинации различны?

a)720; b) 360; c) 120; d) 30.

6.Количество перестановок букв в слове «TIME» равно:

a)44; b) 26; c) 2; d) 24.

7.Сколько различных чисел можно составить из пяти цифр: 9, 7, 8, 1, 6, если все цифры в числе разные?

a)120; b) 60; c) 24; d) 0.

8.Сколько различных двузначных чисел можно составить из пяти цифр: 5, 7, 8, 4, 1, если все цифры в числе разные?

a)24; b) 20; c) 120; d) 60.

9.Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из шести цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, если все цифры в числе различны?

a)360; b) 120; c) 60; d) 240.

10.Сколько различных трёхбуквенных комбинаций можно составить из букв слова

«ГРОМ», если все буквы в комбинации различны? a) 6; b) 24; c) 4; d) 12.

11. Сколько различных двухбуквенных комбинаций можно составить из букв слова «ЗАЧЁТ», если все буквы в комбинации различны?

a) 4; b) 120; c) 60; d) 20.

12. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из пяти цифр: 7, 5, 3, 4,1, если все цифры в числе разные?

a) 4; b) 120; c) 60; d) 20.

Практическое занятие №5. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность

1. Цель работы

Цель работы – усвоить основные теоремы вероятностей случайных событий. Научиться применять формулы вычисления вероятностей случайных событий. Выработать навыки вычисления вероятностей событий.

2. Теоретический материал для практического занятия №5

2.1. Сложение вероятностей несовместных событий

22

Суммой двух событий А + В называется событие, состоящее в появлении события А или В,

Запись в виде Р(А)+Р(В) можно представить в виде: Р(А) Р(В). Символ (объединение) взят из теории множеств.

Теорема 2. Сумма вероятностей всех событий, образующих полную группу, равна единице.

Запись в виде Р(А) Р(В) можно представить в виде Р(А) ∩ Р(В). Символ ∩ (пересечение) взят из теории множеств.

Пример 3. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,75, для второго – 0,8, для третьего – 0,9. Определить вероятность того, что все три стрелка одновременно попадут в цель.

Решение. Пусть событие А – попал первый стрелок, событие В – попал второй стрелок. По теореме умножения для независимых событий

Р(А В С) = Р(А) Р(В) Р(С) = 0,75 0,8 0,9 = 0,54.

Пример 4. Студент сдает два экзамена в сессию. Вероятность сдать первый экзамен р1=0,8. Вероятность сдать второй экзамен р1 =0,7. Оба события независимы. Вероятность сдать два экзамена -р.

р= Р(А*В)=Р(А)*Р(В)=р1 р2 =0,7*0,8=0,56;

23

Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий.

2.3. Вероятность появления хотя бы одного события

Теорема 5. Вероятность появления хотя бы одного из событий (А1 ,А2 ,…,Аk), независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий.

Пример 5. Студент сдает два экзамена в сессию. Вероятность сдать первый экзамен р1=0,8. Вероятность сдать второй экзамен р1 =0,7. Оба события независимы. Вероятность не сдать первый экзамен q1 =1- р1 =1-0,8=0,2. Вероятность не сдать второй экзамен q2 =1- р2 =1-0,7=0,3. Найти вероятность события Р(А), где А – студент сдаст хотя бы один экзамен. По формуле (12):

Р(А)= 1-q1*q2 =1-0,2*0,3=1 0,06=0,94.

2.4. Умножение вероятностей зависимых событий. Условная вероятность

Условной вероятностью РA(В) или Р(В/А) называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже произошло.

Теорема 6. Вероятность совместного появления двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго вычисленную в

Пример 6. Студент из 20 билетов подготовил к экзамену 12. Студент взял билет, к которому он не подготовился. Обозначим это событие p(A). Преподаватель в виде исключения разрешил взять второй билет. Какова вероятность того, что студенту достанется один из подготовленных билетов. Обозначим это событие pA(B). Обозначим событие (А*В) – вероятность взять первый билет, к которому он не подготовился и второй из подготовленных билетов.

p(A)=8/20=2/5=0,4; pA(B)=12/19=0,63; Р(А*В)=Р(А)* РА(В) =2/5*12/19=24/95=0,2.

Условная вероятность события Аk ,определенная в предположении, что осуществились события А1, А 2 , . . . , А k-1 ,обозначается

Р(А k / А1 А2 ... Аk-1).

Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:

Р(А1 А 2 ... Аk) = Р(А1) Р(А2/А1) Р(А3/А1А2)... Р(Аk/А1А2...Аk).

2.5. Сложение вероятностей совместных событий

Теорема 7. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

24