Содержание

Модуль №9. Дифференциальные уравнения

..............................................................................4

Модуль №10.

Кратные интегралы.............................................................................................

29

Модуль №11.

Криволинейные интегралы................................................................................

54

1.

y'+ sin 2 x cos2 y = 0 ;

9. (x3 − 6 xy + y9 )dx + (9xy8 − 3x2 + y9 )dy = 0 ;

2. y'(1+ x

2

)arctg4 y = arctgx ;

x

3

10.

(yex + yx2 )dx + e x +

dy = 0

;

3. (x2 + 2x + 3)y'− y = 0 ;

3

4.

(2 − x)2 y'− y + 1 = 0 ;

11.

y'+ ytgx = sin x ;

5.

y'− yx2 = 0, y(0) = 1;

12.

xy'+ y = xe− x ;

13.

y'+3y = y 2 e−3x ;

6.

(4x − y)y' = 3x + 4 y ;

7.

(xy'− y)sin3

y

= x ;

14.

(esin y + xtgy)y'= 1;

15.

y'−3xy = 3 y x .

x

8.

xy'= y + x2 + 16y 2 ;

Определить тип уравнения:

16. (2 + y 2 )dx + 2xydy = 0 .

Решить дифференциальные уравнения 2-го порядка:

17.

y'''= x cos x ;

24. y''+4 y'+68 y = 0,

18.

xy''− y'= x2 cos 2x ;

y(0) = y' (0) = 1 ;

19.

y''−2x(y')2 = 0 ;

25.

y''−2 y'+ y = e x ln x ;

20.

y''tgy − 2(y')2 = 0 ,

1

26.

y''+4 y =

;

y(0) =

π

; y' (0) = 1;

sin 2x

27.

y''+16 y = − x

2

− x ;

2

21.

6 y''+ y'= 0 ;

28.

16y''+ y = sin

x

;

22.

y''−4 y'+3y = 0 ;

4

23.

4 y''−4 y'+ y = 0 ;

29.

y''+6 y' = 3x + 6 − 2e−6 x .

2

9.

2

2

2 2

2

3

;

1.

y'− sin x cos

y

= 0 ;

(x

+ y

− x y )dx + 2xy −

x y dy = 0

3

2.

y' x ln y − y 2 ln x = 0 ;

10.

(e

y

+ xy)dx +

y

x2

;

3. (x

2

+ 2x + 5)y' = y

2

xe

+

dy = 0

;

2

4.

(x − 6)y'+6 −

y = 0 ;

11.

y'+ yctgx = sin 4 x ;

5.

y'− yx3 = 0, y(0) = 1 ;

12.

xy'+ y = x ln x ;

6.

(3 x − 2 y )y' = 2 x + 3 y ;

13.

(y3 + 3x)y'= y ;

−

y2

14.

y'−2 y = y 2 e2 x ;

7.

xyy'= y 2 + x2 e

x2

;

15.

y'−5xy = 3

y x .

8.

xy'= y + 9x2 + y 2 ;

Определить тип уравнения:

16.

y 2 dx = (y 2 − 2xy)dy .

Решить дифференциальные уравнения 2-го порядка:

17.

y'''= cos 2x cos 4x ;

24.

y''−6 y'+25 y = 0, y(0) = y'(0) = 1;

18.

xy''−2 y' = x3e− x ;

25.

y''−2 y'+ y =

ex

;

19.

y''−3y'ctgx = 0 ;

x2

− 9

20.

y''(1 + y)+ 4(y')2

= 0 ,

26.

y''− y'= cos x ;

y(0) = 0, y' (0) = 1 ;

27.

y''−9 y'= 2x2

− 10 ;

21.

11y''− y'= 0 ;

28.

16 y''+ y = sin 4x ;

22.

y''−5y'+6 y = 0 ;

29.

y''−10y'+25y = 5x + 1− e−5x .

23.

y''−18y'+81y = 0 ;

1.

y' cos2 x − sin y = 0 ;

9. (x4 + 4xy − y2 )dx + (2xy2 − 2 yx + y3 )dy = 0 ;

2.

y' xy ln y = ln x ;

10. (y ln x + y + x )dx + (x ln x + y )dy = 0 ;

3.

(x2 + 2x + 10)y'− y3 = 0 ;

11.

(y'+ y)(1 + e2 x )= 1;

4.

(x + 5)y'− y − 5 = 0 ;

12.

xy'+2 y = ex ;

5.

y'− y x = 0, y(0) = 1;

13.

(1 + y 2 )2 y'+2xyy'= 1 + y 2 ;

6.

(x − 2 y )y ' = 2 x + 3 y ;

14.

y'+3y = 3 ye−3x ;

y

15.

xy'+ y = xy2 .

7.

xy'− y − x cos x = 0 ;

1.

y'sin 2 x − cos y = 0

;

9. (8x2 + 6xy − y 4 )dx + (3x2 − 4xy3 + y )dy = 0 ;

2.

y'(1 + x2 )arctgy = arctgx ;

10.

(sin x cos2 y + x)dx + (cos x sin 2 y + y)dy = 0 ;

3.

(x2 + 2x + 17)y'− y''= 0 ;

11.

y'+ y =

1

;

1

− e2 x

(x + 4)y'− y − 4 = 0 ;

4.

12.

xy'+ y = x sin x ;

5.

y'− yx x = 0, y(0) = 1 ;

13. (1 − y 2 )2 y'−2xyy'= 1 − y 2 ;

6.

(3x − 2 y)y'= x + 3y ;

14.

y'+2 y = 3 ye−2 x ;

7.

xy'= y − x cos

y

;

15.

y'−4 y = y 2 cos x .

x

8.

xyy' y 2 = y x2

− 4 y 2

;

Определить тип уравнения:

16. (x − y)dx − xdy = 0 .

Решить дифференциальные уравнения 2-го порядка:

1

17.

y'''=

;

24.

y''+10 y'+34 y = 0 ;

(1 − x)3

18.

xy''− y'= x2 arctgx ;

25.

y''−10 y'+25y =

e5x

;

25 + x2

19.

y''+2 y'ctgx = 0 ;

26.

y''− y' = sin x ;

20.

y'' y3 + 1 = 0, y(0) = 1, y'(0) = 1;

27. 16 y''− y'= 3x2

+ 5x − 1 ;

21.

11y''+12 y' = 0 ;

28.

y''+16 y = 5sin 4x ;

22.

y''+3y'−4 y = 0 ;

29.

y''+3y'−4 y = 6x − 2e x .

23.

y' '−4 y'+4 y = 0, y(0) = y' (0) = 1 ;

Решить дифференциальные уравнения 1-го порядка:

1.

y'(1 + x2 )tgy = 0 ;

9. (3x2 + 8xy − 2 y3 )dx + (4x2 − 3x y + y5 )dy = 0 ;

2.

y' 1 − x2 arcsin y = arcsin x ;

10. (sin 2x cos y + x)dx + (cos2 x sin y + y)dy = 0 ;

3.

(x2 + 2x + 26)y'− y5 = 0 ;

11. (y'+ y) 1 − e2 x = 1;

4.

(x + 3)y'− y − 3 = 0 ;

12. xy'+2 y = cos x ;

5.

y'− y cos x = 0, y(0) = 1;

13. (1 + y)2 y'+ xy'= 1 + y ;

6.

(x − 3y)y' = 4x + y ;

14.

y'+ y = 3 ye− x ;

7.

xy'− y − x sin

y

= 0 ;

15.

y'+2 y = y 2 sin x .

x

8.

xyy'− y 2 = x

4x2 + y 2 ;

Определить тип уравнения:

16.

(x + y)dx + xdy = 0 .

Решить дифференциальные уравнения 2-го порядка:

17.

y'''= cos(ωt + ϕ 0 );

24.

y''+8y'+20 y = 0 ;

18.

xy''− y'= x3e x ;

25.

y''−2 y'+ y = e x arccos x ;

19.

y''+2 y'tgx = 0 ;

26.

y''+ y = tg 2 x ;

20.

y''+2 y(y')3 = 0, y(0) = 0, y'(0) = 1

27. 9 y''− y' = −3x2 + 52x + 17 ;

21.

2 y''−3y' = 0 ;

28.

y''+25y = 2sin 5x ;

22.

y''+2 y'−3y = 0 ;

29.

y''−7 y'+12 y = 12x + 5 − e3x .

23.

y''−6 y'+9 y = 0, y(0) = y'(0) = 1 ;

1.

y'− xtg 2 y = 0 ;

9. (5x2 + 10xy − 2

y5 )dx + (5x2 − 5x y3

+ y9 )dy = 0 ;

2.

y' ye y2 = xe−2 x ;

10. (2xyex2

+ y)dx + (e x2

+ x + y)dy = 0 ;

3.

(x2 + 2x + 37)y'− y6 = 0 ;

11.

(y'+ y)

1 + e2 x − 1 = 0 ;

4.

(x + 2)y'− y + 2 = 0 ;

12. xy'+2 y = sin x ;

5.

y'− y sin x = 0, x = 0, y = e ;

13.

(1 − y)2 y'− xy'= 1 − y ;

6.

(x − 3y)y'= 3x + y ;

14.

y'−3y =

ye3x ;

7.

xy'= y − x sin

y

;

15.

y'− y = y 2 sin x .

x

8.

xyy'− y 2 = x

x2

+ 4 y 2 ;

Определить тип уравнения:

16.

(x2 + 2xy)dx + x2 dy = 0 .

Решить дифференциальные уравнения 2-го порядка

17.

S''' = S0 + sin ωt ;

24.

y''−6 y'+90 y = 0 ;

18.

xy''− y'= x2 sin x ;

25.

y''−2 y'+ y =

e x

;

1 − x2

19.

3x(y')2 y''= 1 + (y')3 ;

26.

y''+ y =

1

;

cos x

20.

y'' = y'cos y, y(0) = π , y'(0) = 1 ;

27. 4 y''− y'= −3x2

+ 25x ;

2

21.

3y''+ y'= 0 ;

28.

y''+25y = − cos5x ;

22.

y''+ y'−2 y = 0

29.

y''−5y'+6y = 12x + 6 − 3e2 x .

23.

y''−8y'+16 y = 0, y(0) = y'(0) = 1;

1.

xtg 2 yy'−1 = 0 ;

9. (x2 − xy 2 + y3 )dx + (y3 − x2 y + 3xy2 )dy = 0 ;

2.

y' ye y2 = xe2 x ;

10.

3

1

2

1

2

;

(x cos y + xy)dx + y

+

x

−

x

sin y

dy

= 0

2

2

(x2 + 2x + 50)y'− y7 = 0 ;

3.

11.

y'+ ytgx = cos3 x ;

4.

(x + 1)y'− y − 1 = 0 ;

12.

xy'+ y = arccos x ;

5.

y'−(y + 2)(x − 2) = 0, y(0) = −1;

13. (esin y + x cos y)y'= 1 ;

6.

(x − 2 y)y'= 5x + y ;

14.

y'+2 y = y 2 e−2 x ;

7.

(xy'− y)ctg 2

y

= x ;

15.

y'+9 y = ytgx .

x

8.

xy'− y + x2 + y 2 = 0 ;3

Определить тип уравнения:

16. (5 − y 2 )dx − 2xydy = 0 .

Решить дифференциальные уравнения 2-го порядка

17.

y'''= xex ;

24.

y''+4 y'+53y = 0, y(0) = y'(0) = 1;

18.

xy''−2 y'= x

3

sin x ;

25.

y''−2 y'+ y =

e x

;

1

− x2

19. 2xy''= y' ;

26.

y''+ y =

1

;

cos2 x

20. y''−2(y')2 tgy = 0, y(0) = 0, y'(0) = 1;

27. y''+9 y = 27x2

+ 24x + 2 ;

21. 2 y''+2 y'= 0 ;

28. 9 y''+ y = 3cos

x

+ sin

x

;

3

3

22.

y''−3y'+2 y = 0 ;

29.

y''−9 y' = 18x − 11 + 18e2 x .

23. 9 y''−6 y'+ y = 0 ;