математика индивид дом задания

− 3

0

a

2a2 − y2

а) ∫ dx

∫

f(x, y) dу;

б) ∫ dy

∫ f(x, y) dx.

−2

−

4− x2

0

ay

2.

Вычислить

а) ∫∫

6y sin 2xy dx dy ,

если D: 1 ≤ x ≤ 3,

π

≤ y ≤ π .

D

4

2

3 Преобразовать к полярным координатам и вычислить

∫∫

(x + y) dx dy ,

если D: x2 + y2 + x ≤ 0,

y +

3 x ≤ 0.

D

4.

Найти массу пластинки D, если плотность μ = x y2, D: x ≥ 0,

x2 + 4y2 = 4.

5.

Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями y =

4x - x2, y = 0.

6.

Вычислить

∫∫∫ 21x z dx dy dz , если V: x = 2, y = 0, z = 0,

y = x, z = x y.

V

7.

Преобразовать к цилиндрическим координатам и вычислить

2

4− x2

4− x2 − y2

∫

dx

∫

dy

∫

(2 + 3x) dz.

0

0

0

8.

Преобразовать к сферическим координатам и вычислить:

∫∫∫

(x2 + y2)2 dx dy dz ,

если V: x2 + y2 + z2 ≥ a2, x2 + y2 + z2 ≤ b2, a ≤ b.

V

9.

Найти объём тела, ограниченного поверхностями:

x2 + y2 + z2 +9 = 0, x2 + z2 = 9,

y ≥ 0.

5

− x2 +6 x−5

4

9− y2

а) ∫ dx

∫

f(x, y) dу;

б) ∫dy

∫ f (x, y)dx .

0

x−5

−3

−3− y

2.

Вычислить

а) ∫∫

y cos 2xy dx dy ,

если D: x = 1, x = 3, y = π

, y =

π .

D

4

2

3 Преобразовать к полярным координатам и вычислить

∫∫ ( x2 + y2)2 dx dy ,

если D: x2 + y2 – x = 0,

y ≤ x.

D

4.

Найти массу пластинки D, если плотность μ =x2y,

D: x y = 3,y = 3x,

x = 3y.

5.

Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями y = 0,

3x2 - 12x - 4y = 0.

6.

Вычислить ∫∫∫

(3x + 4y) dx dy dz , если V: x = 1, y = 0, y = x, z = 0, z = 5(x2 + y2)

V

7.

Преобразовать к цилиндрическим координатам и вычислить

0

4− x2

4− x2 − y2

∫ dx

∫

dy

∫ 3y dz.

−2

0

0

8.

Преобразовать к сферическим координатам и вычислить:

∫∫∫ x2 + y 2 dx dy dz ,

если V: x2 + y2 + z2 = 9, z2 = 3(x2 + y2),

z ≥ 0.

V

(внутри конуса)

9.

Найти объём тела, ограниченного поверхностями:

y2 = 4x,

z = 0, x + z = 4.

Вариант № 15

1.

Построить область интегрирования, изменить порядок интегрирования в интеграле:

0

x+2

4

3+ y

а) ∫ dx ∫

f(x, y) dу ; б) ∫dy ∫ f (x, y)dx .

−1

x2

−3

y2 −9

2.

Вычислить

а)

∫∫

x

dx dy ,

если D: x = 2,

y = x,

y = 2x.

x

2

+ y

2

D

3 Преобразовать к полярным координатам и вычислить

∫∫

x y2 dx dy ,

если D: x2 + y2

≤ 4y,

y ≥ -x.

D

2

2

y2

4.

Найти массу пластинки D, если плотность

μ =7x

y, D: x

+

= 1, y ≥ 0.

25

5.

Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями x2 + y2

= 2x, y ≥ 0,

y ≤

x .

3

6.

Вычислить

∫∫∫ x2 sin( π xy) dx dy dz , если V:

x = 1,

y = 2x, y = 0, z = 0, z = 4 π .

V

7.

Преобразовать к цилиндрическим координатам и вычислить

∫∫∫

xy dx dy dz ,

если V:

4z2 = x2 + y2,

x = 0,

y = 0, z = 1.

V

z

8.

Преобразовать к сферическим координатам и вычислить:

∫∫∫

x2 + y2 dx dy dz , если V: x2 + y2 + z2 = 4, x2 + y2 = 3z2.

V

9.

Найти объём тела, ограниченного поверхностями:

z = 0,

z = x,

y = 0,

y = 4,

x = 25 − y2 .

2.

Вычислить

а) ∫∫

x2y dx dy ,

если D:

y = 0, y =

2ax − x2 .

D

3 Преобразовать к полярным координатам и вычислить

∫∫ ( x2 + y2)2 dx dy ,

если D: x2 + y2 = 4,

y ≥ 0, y ≥ −

3 x.

D

4.

Найти массу пластинки D, если плотность μ =7x2 + 2y,

D: x = 1,

y ≥ 0,

y2 = 4x.

5.

Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями

r =

3(1-cos ϕ ).

6.

Вычислить

∫∫∫ z2 cos xz dx dy dz , если V: x = 0, y = 0, z = 0, x = z, y = 1, z =

π .

V

4

x = 0,

y = 0, z = 0, 25(x2 + y2) = z2,

x2 + y2 = 4.

2.

Вычислить

а) ∫∫

x sin xy dx dy ,

если D: x = 1,

x = 2, y = π

,

y = π .

D

6

2

3 Преобразовать к полярным координатам и вычислить

∫∫

x

2 x

2 dx dy ,

если D:

x2 + (y - 1)2 = 1,

x ≥ 0.

D

+ y

4.

Найти массу пластинки D, если плотность μ = x2y, D:

x2

+

y2

=1,

x ≥ 0, y ≥ 0.

16

4

5.

Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями y =

1

, x = 2y,

x = 0.

x + 1

6.

Вычислить

∫∫∫ (y2 - z cos x) dx dy dz , если V:y = 0,

z = 0, x = 1,

y = 2x, z = 3.

V

7.

Преобразовать к цилиндрическим координатам и вычислить

∫∫∫ xy dx dy dz, если V:z = 6 - x2 - y2,

z2 = x2 + y2.

V

8.

Преобразовать к сферическим координатам и вычислить:

∫∫∫ ( x2 + y2)2 dx dy dz ,

если V:

y =

9 − x2 − z2 ,

y ≥ 0.

V

9.

Найти объём тела, ограниченного поверхностями:

z = 0, z = 4 – x – y , x2 + y2 = 4.

10. Найти массу тела плотностью μ =

5

(x2

+ y2), ограниченного поверхностями:

3

x = 0, y = 0, z = 0, x2 + y2 = 4,

9(x2 + y2) = z2.

4

8− x

π

2− y

2

а) ∫ dx

∫

f(x, y) dу ; б) ∫dy ∫ f (x, y) dx .

0

2 x

0

sin y

2.

Вычислить

а) ∫∫

4ye2xy dx dy ,

если D: x =

1

, x = 1, y = ln 2, y = ln 4.

D

2

3 Преобразовать к полярным координатам и вычислить

∫∫

x2y dx dy , если D: x2 + y2 = 4x, x + y ≥ 0.

D

4.

Найти массу пластинки D, если плотность μ = 3x2y,

D: x2 + 4y2 = 4, y ≥ 0.

5.

Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями y

= 2x ,y = 4 - 2x,

y = 0.

6.

Вычислить

∫∫∫

(3y2 - z sin x) dx dy dz , если V: x = 1, y = 0, y = x, z = 0, z = 2.

V

8.

Преобразовать к сферическим координатам и вычислить:

∫∫∫ x2 + y2 + z2

dx dy dz , если V:

x2 + y2 + z2 = a2, z =

x2 + y2 .

V

3

9.

Найти объём тела, ограниченного поверхностями:

x = 2y2,

x + 2y + z – 4 = 0,

z = 0.

1

x

2

ex

а) ∫ dx

∫ f(x, y) dу ; б) ∫dx ∫ f (x, y) dy .

0

x2 −2

1

ln x

2.

Вычислить

а) ∫∫

3x exy dx dy ,

если D: x + y = 0, y = 0, x = 1.

D

3 . Преобразовать к полярным координатам и вычислить:

a) ∫∫

5 − x2 − y2

dx dy , если D: x2 + y2 = 4, x2 + y2 = 1.

D

4.

Найти массу пластинки D, если плотность μ = 3xy

D:

x2

+

y2

= 1,

x ≥ 0,

y ≥ 0.

100

25

5.

Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями x2 = y

+ 4,

x = 0,

y + 3x = 0.

6.

Вычислить

∫∫∫

(3y + 1) dx dy dz , если V: x = 1, y = 0, z = 0, y = x, z = 3x2 + 2y2.

V

7.

Преобразовать к цилиндрическим координатам и вычислить

∫∫∫

(x - y) dx dy dz , если V: z = 6 - x2 - y2,

z ≥ 0.

V

z = 0, y + z = 2,

x2 + y2 = 4.

0

2+ y

3

x

а) ∫dy ∫ f(x, y) dх ; б) ∫dx ∫ f (x, y) dy .

−2

−

y+2

0

−

x

2

3

2. Вычислить

а) ∫∫

(8xy + 18x2y2) dx dy , если D: x = 1, y = - x2, y = 3 x ;

D

б) ∫∫

y e1/2 x y dx dy ,

если D: y = ln2, y = ln3, x = 2, x = 4.

D

3 Преобразовать к полярным координатам и вычислить

∫∫ sin x2 + y2 dx dy , если D: x2 + y2 ≥ π 2 , x2 + y2 ≤ 4 π 2

D

4. Найти массу пластинки D, если плотность μ = 1,5 x y,

D: y = x3,

x = 0,

y = 2 – x.

6.

Вычислить

∫∫∫ 15(x2 + z2) dx dy dz ,

V

если V:

z = x + y,

x + y = 1,

x = 0,

y = 0, z = 0.

7.

Преобразовать к цилиндрическим координатам и вычислить

∫∫∫

x2

+ y2

dx dy dz , если V: z ≥ 0,

z ≤ 1, 9z2 ≥ x2 + y2.

z

2

V

8.

Преобразовать к сферическим координатам и вычислить:

∫∫∫ x2 + y2

dx dy dz ,

если V:

y ≥ 0, x2 + y2 + z2 = 4z.

V

9.

Найти объём тела, ограниченного поверхностями:

z = 2 - 18(x2 + y2),

z = 2 - 2(x2 + y2).