элемент множества В является элементом множества А и множество В включено во множество А.

Пример. Пусть В {2,4,6}– множество четных чисел, А{1,2,3,4,5,6,7} – множество целых чисел. Следовательно множество В включено во множество А, что записывается так: В А, но множество А не включено во множество В, что записывается так: А В. Например, множества {4,8} и {6} являются подмножествами множества {2,4,6,8}а числа 2, 4, 6, 8 - его элементы. Свойства включения множеств:

Пустое множество является подмножеством любого множества: А.

Любое множество является подмножеством самого себя, т. е. для любого множества А справедливо включение А А..

Два множества равны, если каждое из них является подмножеством другого

(A = B (A B и В А)). Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными. При этом порядок перечисления элементов множества значения не имеет.

Например: равны множества {9, 3, 6}, {6, 9, 3} и {3, 6, 9). Если множество X равно множеству Y ,то можно записать X = Y. В противном случае X≠ Y. Другой пример. Даны множества: Z={3, 5, 7},Y={7, 5, 3, 5, 7}. Они равны Z=Y, так как они состоят из одних и тех же элементов. Множество Z={3, 5, 7}, X={{7,5},{3,5,7}} не равны Z≠X, так как элементами второго множества являются множества. Таким образом, данные множества состоят из элементов различной природы и не могут быть равны.

3. Примеры выполнения задания к практической работе №1. «Алгебра множеств. Подмножества и равенство множеств»

Пример 1. Универсальное множество состоит из 33 строчных букв русского алфавита Задать три множества A, B, C . Сравнить их между собой.

Решение.

Задаем три множества A, B, C . Множество А={а, б, с, д} В={а, б, с, д, к, м}

С={а, б, с, д, с, м, б, а, к}. Множество А является подмножеством B. Множество С равно множеству B, так как состоит из одних элементов.

Пример 2. Универсальное множество состоит из 10 цифр. Задать три множества X,Y, Z . Сравнить их между собой. Решение.

Задаем три множества X,Y, Z . Множество X{9,1,5} Y={2 , 5 , 1, 7, 9}

Z={1, 2, 9, 1, 5, 2, 7, 5, 7}. Множество X является подмножеством Y, так как все элементы множества X входят в множество Y. Множество Z равно множеству B, так как они состоят из одних элементов.

4. Вопросы для самоконтроля к практическому занятию №1

4.1.Тема «аксиоматический метод»

1.Выбрать из списка правильное соответствие между математическим утверждением и его формулировкой:

1)Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны;

2)Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну;

3)В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов;

8

-Определение.

-Аксиома.

-Теорема.

2. К неопределяемым понятиям аксиоматического построения геометрии на плоскости относятся:

-точка, прямая, плоскость;

-луч, треугольник, плоскость;

-точка, отрезок, плоскость;

-фигура, плоскость, луч.

3. Установить правильное соответствие между математическим утверждением и его формулировкой.

1)В любой треугольник можно вписать окружность;

2)Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник;

3)Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна;

-Теорема.

-Определение.

-Аксиома.

4. Установить правильное соответствие между математическим утверждением и его формулировкой:

1)Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны;

2)Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые;

3)Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна;

-Теорема.

-Аксиома.

-Определение.

5. Установить правильное соответствие между математическим утверждением и его формулировкой:

1)Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости;

2)Диагонали у прямоугольника равны;

3)Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны;

-Определение.

-Теорема.

-Аксиома.

6. Установить правильное соответствие между математическим утверждением и его формулировкой:

1)Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника;

2)Около любого треугольника можно описать окружность;

3)Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости; - Теорема.

9

-Определение.

-Аксиома.

7. К неопределяемым понятиям аксиоматического построения геометрии на плоскости относятся:

-точка, прямая, плоскость

-луч, треугольник, плоскость

-точка, отрезок, плоскость

-фигура, плоскость, луч

8.Первый шаг из перечисленных при построении аксиоматической теории: -: Задается некоторое множество первичных понятий (терминов).

-: Выделяется некоторое подмножество высказываний (аксиом) о первичных понятиях. -: При помощи первичных понятий даются определения всех остальных понятий.

-: Вывод утверждений (теорем) о первичных и определяемых понятиях.

9.Второй шаг из перечисленных при построении аксиоматической теории:

-: Выделяется некоторое подмножество высказываний (аксиом) о первичных понятиях. -: Задается некоторое множество первичных понятий (терминов).

-: При помощи первичных понятий даются определения всех остальных понятий. -: Вывод утверждений (теорем) о первичных и определяемых понятиях.

10. Третий шаг из перечисленных при построении аксиоматической теории: -:При помощи первичных понятий даются определения всех остальных понятий.

-:Выделяется некоторое подмножество высказываний (аксиом) о первичных понятиях. -:Задается некоторое множество первичных понятий (терминов).

-:Вывод утверждений (теорем) о первичных и определяемых понятиях.

11.Четвёртый (последний) шаг из перечисленных при построении аксиоматической теории: -:Вывод утверждений (теорем) о первичных и определяемых понятиях.

-:При помощи первичных понятий даются определения всех остальных понятий. -:Выделяется некоторое подмножество высказываний (аксиом) о первичных понятиях. -:Задается некоторое множество первичных понятий (терминов).

12.Утверждения, принимаемые без доказательства как верные, называются:

-:аксиомами; -:определениями; -:теоремами.

13. Высказывания, определяющие через первичные неопределяемые понятия и через понятия, смысл которых был определен раньше, некоторые другие понятия называются:

-:аксиомами; -:определениями; -:теоремами.

10

14. Новые утверждения о первичных и определяемых понятиях выведенные чисто логическим путем на основе аксиом, ранее выведенных утверждений и определений называются:

-:аксиомами; -:определениями; -:теоремами.

4.2. Вопросы для самоконтроля к практическому занятию №1 по теме: «Теория множеств. Алгебра множеств. Подмножества и равенство множеств»

1.X={5,7,3} и Z={7,2,3,4,5}, тогда для них верным утверждением будет: -:«Множества X и Z равны»;

-:«Множества X и Z не имеют общих элементов»; -:«Множество X включает в себя множество Z»; -:«Множество X есть подмножество множества Z»;

2.Заданы множества M={9,3,1,5} и N={9,1}, тогда для них верным утверждением будет: -:«Множество M есть подмножество множества N»;

-:«Множества M и N не имеют общих элементов»; -:«Множества M и N равны»;

-:«Множества M включает в себя множество N»;

3.Заданы множества A={1,2,3} и M={0,2,3,6,1}, тогда для них верным утверждением будет: -:«Множества M включает в себя множество A»;

-:«Множества A и M равны»;

-:«Множество M есть подмножество множества A»; -:«Множество A есть подмножество множества M»;

4.Заданы множества A={2,4,3,1} и B={4,2,1,3}, тогда для них неверным утверждением будет:

-:«Множества A и B равны»;

-:«Множества A и B не имеют общих элементов»; -:«Множество A включает в себя множество B»; -:«Множество A есть подмножество множества B»;

5.Заданы множества C={1,2,3} и D={3,2,1}, тогда для них неверным утверждением будет: -:«Множество D есть подмножество множества C»;

-:«Множество C есть подмножество множества D»; -:«Множества C и D равны»;

-:«Множество C не равно множеству D»;

6.Заданы множества C={1,2,3} и D={3,2,1}, тогда для них верным утверждением будет:

-:«Множество D не является подмножеством множества C»; -:«Множество C не является подмножеством множества D»; -:«Множества C и D равны»;

-:«Множество C не равно множеству D»;

11