Формулу (19) называют формулой Байеса. Формула Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в результате которого появилось событие А.

3. Примеры выполнения задания к практической работе №6

Пример 1. В двух группах занимаются соответственно 20 и 30 студентов. В первой группе 5 отличников, во второй 6. Какова вероятность того, что вызванный наугад студент оказался отличником.

Решение. Пусть событие А состоит в том, что вызванный наугад студент оказался отличником. Пусть события H1, H2 означают гипотезы (предположения), что студент из первой или второй группы.

Вероятность гипотез, что студент соответственно из первой или второй группы:

Р(H1)= р1 =20/50=0,4. Р(H2) = р2 =30/50=0,6. Проверка: р1+ р2=1.

Вероятность того, что выбранный студент – отличник учится в первой или второй группе по условию задачи:

Р(А/H1)= 5/20 = 0,25. Р(А/H2) = 6/30 = 0,2.

Вероятность того, что вызванный наугад студент оказался отличником по формуле полной вероятности (2.13):

Р(А) = Р(H1) Р(А/H1)+Р(H2) Р(А/H2) = 0,4 0,25 + 0,6 0,2 = 0,1 + 0,12 = 0,22.

Пример 2. Условие из примера 1. Событие А уже произошло. Вызванный наугад студент оказался отличником. Найти вероятность того, вызванный наугад студент оказался отличником из первой группы Р(H1/А ).

Решение. Вероятность Р( А / H1 ) события « вызван студент-отличник при условии, что он является отличником из первой группы». Аналогично вероятность Р( А / H2 ) из второй группы. По формуле Байеса получаем:

Р(H1/А) = Р(H1) Р(А / H1)/{Р(H1) Р(А / H1 )+ Р(H2) Р(А / H2)}= 0,4 0,25/0,22≈0,45.

4.Вопросы для самоконтроля по теме «Формулы полной вероятности, Байеса»

1.Определите правильный ответ

С первого станка на сборку поступает 40% деталей, остальные 60% со второго. Вероятность изготовления бракованной детали для первого и второго станка соответственно равна 0.01 и 0.04. Найдите вероятность того, что наудачу поступившая на сборку деталь окажется бракованной.

-:0.032 -:0.024 -:0.028 -:0.022

2. Определите правильный ответ

Число грузовых машин, проезжающих мимо бензоколонки, относится к числу легковых машин, как 3:2. Известно, что в среднем одна из 30 грузовых и одна из 25 легковых машин останавливается для заправки. Найти вероятность того, что проезжающая машина будет заправляться.

-:0.04

30

-:0.33 -:0.036 -:0.5

3. Определите правильный ответ

Теннисист идет на игру. Если ему дорогу перебежит черная кошка, то вероятность победы 0,2; если не перебежит, то – 0,7. Вероятность, что кошка перебежит дорогу – 0,1; что не перебежит – 0,9. Вероятность победы:

-:0,1·0,8+0,9·0,3 -:0,1·0,2·0,9·0,7 -:0,9·0,2+0,1·0,7 -:0,1·0,2+0,9·0,7

4. Определите правильный ответ

На некоторой фабрике машина А производит 40% продукции, а машина B – 60%. В среднем 9 из 1000 единиц продукции, произведенных машиной А, и 1 из 250, произведенных машиной B, оказываются бракованными. Какова вероятность, что случайно выбранная единица продукции окажется бракованной?

-:0.5 -:0.006 -:0.007 -:0.008

5. Определите правильный ответ

Идёт охота на волка. Вероятность выхода волка на 1-го охотника – 0,7; вероятность выхода волка на 2-го охотника – 0,3. Вероятность убийства волка 1-ым охотником, если волк вышел на него, – 0,8; вероятность убийства волка 2-ым охотником, если волк вышел на него, – 0,5.

Вероятность убийства волка равна

-:0,5 -:0,56 -:0,71 -:0,05

6. Определите правильный ответ

Из продаваемого в магазине молока 40% поставляет первый молокозавод, а второй – остальные 60 %. В среднем 9 из 1000 пакетов первого поставщика не выдерживают транспортировки и разгерметизируются, а у второго – 1 из 250. Найти вероятность того, что случайно выбранный пакет оказался разгерметизированным.

-: 0,006 -: 0,003

31