du = 31 x 3y 3dx + 14 x 4y 2dy.

Решение. В том, что данное выражение есть полный дифференциал, мы убедились при решении предыдущего примера, поэтому сразу перейдём к отысканию функции по формуле

(22):

u(x, y) = 121 x 4y 3 + c.

Проверим с помощью найденной функции ответ предыдущего примера, вычислив разность u(x, y) − u(x0, y0) = u(C) − u(A):

C

∫ 31 x 3y 3dx + 14 x 4y 2dy = u(C) − u(A ),

A

Ответы совпали.

1.5. Связь между криволинейными интегралами первого и второго типов

Это выражение — угловой коэффициент касательной к графику функции у = f(х) в точке М(х, у). Пусть дуга АВ линии L задана функцией у = f(х) и в точке М к ней проведены касательная МТ и секущая ММ1 (см. рис. 13). Тогда

Запишем уравнение линии в параметрическом виде

x = x(t ),

L : y = f [x(t )] = y(t ).

Производная функции, заданной параметрически, вычисляется по формуле

81

Длина дуги MM 1 равна l .

Рассмотрим предел отношения длины хорды ММ1 к длине дуги, когда точка М1 стремится к точке М:

результате получаем дифференциал дуги (по любому параметру)

Теперь можно записать связь между двумя типами криволинейных интегралов: ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy = ∫ (P cos α + Q sin α)dl ,

L L

где L — дуга АВ и sinα = sin(90 − β) = cosβ, где β − угол между касательной и осью оу. Тогда

∫ Pdx + Qdy = ∫ (P cos α + Q cos β)dl .

L L

Подчеркнём, что угол α связан с тем направлением касательной, которое отвечает выбранному направлению дуги АВ. Если изменить направление, криволинейный интеграл слева, а значит, и справа изменит знак на противоположный.

Для трёхмерного пространства запишем аналогичную формулу

∫ Pdx + Qdy + Rdz = ∫ (P cos α + Q cos β + R cos γ )dl ,

L L

где cosα, cosβ, cosγ — направляющие косинусы касательной в предположении, что её направление совпадает с направлением интегрирования.

1.6. Приложения криволинейного интеграла первого рода к решению некоторых задач механики

• Если μ = μ(х, у) — линейная плотность плоской материальной кривой АВ, то численное значение массы кривой АВ равно интегралу

m = ∫ μ (x, y) dl .

AB

В случае пространственной кривой АВ соответственно

m = ∫ μ (x, y, z) dl .

AB

• Координаты центра тяжести (х0, у0) плоской кривой вычисляются по формулам

• Статические моменты материальной кривой относительно оси ох и оси оу соответственно определяются интегралами

82

• Моменты инерции относительно координатных осей вычисляются по формулам

где rx, ry, rz — расстояния от точки до соответствующих осей координат.

Пример 12. Вычислить массу отрезка прямой, заключённого между точками А(0, −2) и

В(4, 0), если плотность μ = 1 .

x − y

Решение. Запишем уравнение пути интегрирования как прямой, проходящей через две точки:

(x ≥ 0, y ≥ 0) относительно осей координат.

Решение. Дуга астроиды однородна, следовательно, плотность в каждой точке постоянна. Пусть μ = μ0. Запишем уравнение астроиды в параметрическом виде

x = acos3 t ,y = asin 3t ,

где х ≥ 0, у ≥ 0, 0 ≤ t ≤ 2π ;

83