1.3. Формула Грина

Установим связь криволинейного интеграла по замкнутому контуру L (гладкому или кусочно-гладкому) с двойным интегралом по плоской области D, ограниченной этим контуром.

Теорема 2 (Грина). Если:

1)D — односвязная область плоскости хоу, ограниченная контуром L;

2)гладкий или кусочно-гладкий контур L ориентирован против часовой стрелки, т.е. при

обходе контура область остаётся слева;

3) P(x, y), Q(x, y) — непрерывные функции в D вместе со своими частными производными первого порядка,

то имеет место формула Грина

Доказательство. Пусть D — односвязная область, т.е. прямые, параллельные каждой из осей оу, ох, пересекают область не более чем в двух точках (см. определение правильной области, гл. 12). Заключив область в описанный прямоугольник (см. рис.6), получим две пары крайних точек области:

• точки А и В, которые разобьют контур на две линии: дугу AK B с уравнением y = y1 (x ) и

дугу AEB с уравнением y = y2 (x ) , при этом область проектируем на ось ох, получаем отрезок

[a, b];

•точки К и Е, делящие границу области D на две линии: КАЕ с уравнением x = x1 (y) и КВЕ

суравнением x = x2 (y) , область проектируем на ось оу, получаем отрезок [c, d].

Преобразуем второе слагаемое правой части формулы (12), обозначив I1 и проинтегрировав его по переменной у:

По формуле (11) каждое из слагаемых последнего равенства представим в виде криволинейного интеграла

b

∫ P[x, y2 (x )]dx = ∫ P(x, y)dx ,

74

Аналогично доказываем оставшуюся часть формулы Грина. Проектируем область D на ось оу, записываем двухкратный интеграл

= ∫ Q(x , y)dy − ∫ Q(x , y)dy = ∫ Q(x , y)dy + ∫ Q(x , y)dy = ∫ Q(x , y)dy . Окончательно

KBE KAE KBE EAK L+

I 2 − I 1 = ∫ Pdx + Qdy.

L

Теорема доказана.

Вернёмся к примеру 6. Вычислим криволинейный интеграл

I = ∫(x2 − y )dx + (x + y)dy,

L

применив формулу Грина.

Область D в данном случае — плоскость треугольника ОАВ. Найдём частные производные функций и убедимся в их равенстве:

Отметим, что Р(х, у), Q(x, y) непрерывны и дифференцируемы в области D. Таким образом, все условия теоремы Грина выполнены. Применим теорему

Как видим, ответы совпали и данное решение оказалось намного короче предыдущего.

Замечание. Формула Грина справедлива и в случае неправильной области D. Тогда область необходимо разбить на сумму правильных областей, отвечающих условиям теоремы, например, как на рис 7. Результаты интегрирования сложить.

Таким образом, теорема Грина справедлива для любой плоской области D, ограниченной гладким или кусочно-гладким контуром.

В качестве приложения формулы Грина решим ещё одну задачу: о вычислении площади плоской области D, ограниченной замкнутой линией L. Рассмотрим функции P(x, y) = 0,

или

∫∫dxdy = ∫ xdy .

D L

Но по свойству двойного интеграла

∫∫dxdy = SD ,

D

где SD — площадь области D. Итак,

S = ∫ xdy .

L

Аналогично, полагая в формуле (13.12) P = −y, Q = 0, получим ещё одну формулу вычисления площади:

S = −∫ydx .

L

75

Сложив равенства и поделив результат на 2, получим формулу для вычисления площади области D, ограниченной линией L, с помощью линейного интеграла

S = 21 ∫ xdy − ydx .

L

Пример 9. Найти площадь фигуры, ограниченной линией

где а и b — полуоси эллипса,

c = a2 − b2 – фокусное расстояние, 0 ≤ t ≤ 2π.

Решение. Воспользуемся последней формулой, перейдя к определённому интегралу по переменной t:

1.4. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

Как мы видели, вычисление криволинейного интеграла ∫ P(x, y )dx + Q(x, y)dy

L

непосредственно зависит от самой линии L, отсюда и величина его зависит от вида кривой.

Поставим задачу: выяснить условия, при которых бы криволинейный интеграл не зависел от пути интегрирования, а только от его начальной и конечной точек. Так, с точки зрения механики независимость линейного интеграла от линии интегрирования будет обозначать, что величина работы в силовом поле

F = P(x, y)i + Q(x, y)j

не зависит от формы пути, а только от его начальной и конечной точек.

Лемма. Для того, чтобы криволинейный интеграл

∫ Pdx + Qdy

L

в некоторой области D плоскости хоу не зависел от пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы интеграл по любому замкнутому контуру, лежащему в этой области, был равен нулю.

Доказательство

•Достаточность. Пусть интеграл

∫Pdx + Qdy = 0 ,

L

где L — любой замкнутый контур, принадлежащий области D.

76

дифференциалом некоторой функции u(х, у) тогда и только тогда, когда выполняется условие ∂∂Py = ∂∂Qx .

Доказательство

• Необходимость. Пусть Pdx + Qdy = du(x, y). Тогда справедливо соответствие

P(x, y) = ∂∂ux и Q(x, y) = ∂∂uy .

Продифференцируем каждое из этих равенств:

По свойству смешанных производных правые части последних соотношений равны и, в силу их непрерывности (по условию теоремы), в любой точке области D выполняется равенство

∂P = ∂Q . ∂y ∂x

Необходимость доказана.

• Достаточность. Пусть в области D выполняется тождественное равенство

∂P = ∂Q . ∂y ∂x

Но тогда по теореме 1 линейный интеграл (15) не зависит от пути интегрирования. Установим правило нахождения первообразной функции u(х, у) по её полному дифференциалу, тем самым доказав её существование.

Выберем в области D какую-то фиксированную точку А(х0, у0) и переменную точку М(х, у). Линейный интеграл (13.15) будет функцией верхнего предела

M

∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy = Φ(x, y) = Φ(M ).

A

g Пусть точка М переместилась (см. рис. 13.10) в положение М1(х + х, у). Тогда функция Ф(х, у) получит частное приращение по переменной х

78

Проводя рассуждения, аналогичные предыдущим, приходим к заключению, что

∂Φ∂y (M ) = Q(M ).

Сложив результаты, получаем формулу полного дифференциала некоторой функции Ф(х, у)

Pdx + Qdy = ∂∂Φx dx + ∂∂Φy dy = dΦ.

Интегрируя, находим одну из первообразных линейного интеграла

Сформулируем правило отыскания функции. Поскольку подынтегральное выражение — полный дифференциал некоторой функции, линейный интеграл не зависит от пути интегрирования. Выберем самый удобный путь, соединяющий точки А(х0, у0) и М(х, у), например, ломаную АВМ с отрезками, параллельными осям (см. рис. 11). Исследуем эти отрезки:

Переходим к вычислению интеграла

∫ P(x , y)dx + Q(x , y)dy = ∫ + ∫ =

Теорема доказана. Мы получили метод отыскания функции по её полному дифференциалу, доказав таким образом факт существования такой функции.

Последнюю формулу чаще записывают в виде

Получим ещё один результат, проанализировав формулу каждое слагаемое которой является определённым интегралом с переменным верхним пределом, подынтегральное выражение каждого из них зависит от переменной t. Применим к ним формулу Ньютона-Лейбница, учитывая, что подынтегральное выражение криволинейного интеграла в левой части равенства есть полный дифференциал некоторой функции, т. е.

du = ∂∂ux dx + ∂∂uy = Pdx + Qdy.

Откуда следует, что

79

Следовательно,

Φ(x, y) = u(x, y 0 ) − u(x 0 , y 0 ) + u(x, y ) − u(x, y 0 ); Φ(x, y) = u(x, y ) − u(x0, y0 ),

или

(x, y )

∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy = u(x, y ) − u(x 0 , y 0 ).

(x0 , y0 )

Последнее равенство является формулой Ньютона-Лейбница для криволинейного интеграла,

подтверждающей вывод: интеграл от полного дифференциала не зависит от пути интегрирования, а зависит только от начальной и конечной точек интегрирования.

(3, 2)

Пример 10. Вычислить ∫ 31 x3y3dx + 14 x 4y2dy вдоль любого пути.

(2, −3)

Решение. Проверим, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом. Введём обозначение и сравним частные производные:

Частные производные равны, значит, интеграл не зависит от пути интегрирования.

y

2C(3, 2)

3 B(3, 3) A(2, 3)

Рис. 12

Выберем путь интегрирования, соединив точки А(2, −3) и С(3, 2) ломаной АВС (см. рис. 13.12), где В(3, −3) – промежуточная точка. Тогда

Найдём уравнения участков ломаной и соответствующие дифференциалы:

Пример 11. Найти функцию по её полному дифференциалу

80