2.4. Вычисление тройных интегралов в сферических координатах

Связь между сферическими и декартовыми координатами легко устанавливается. Из рис. 32 имеем

Отсюда x = r sinθ cosϕ, y = r cosθ sinϕ, z = r cosθ. (21)

Разобьём область Ω на частичные области νi тремя системами координатных поверхностей: r

= const, ϕ = const, θ = const, которыми будут

Рис.33

соответственно сферы с центром в начале координат, полуплоскости, проходящие, через ось Oz, и конусы с вершиной в начале координат и с осями, совпадающими с одной из полуосей Оz. Частичными областями νi служат «шестигранники» (рис. 33). Отбросив бесконечно малые высших порядков, будем рассматривать шестигранник ΜΝ как прямоугольный параллелепипед с измерениями, равными: dr по направлению полярного радиуса, r dθ по направлению меридиана, r sinθ dϕ по направлению параллели. Для элемента объёма мы получим тогда выражение

dν = r2 sinθ drdϕdθ.

Заменив в тройном интеграле х, y, z пo формулам (21) и взяв элемент объёма равным полученному выражению, будем иметь

∫∫∫f (x, y, z)dν = ∫∫∫f (rsinθ cosϕ,rsinθ sinϕ,r cosθ )r2 sinθ drdϕ dθ .

Ω

Особенно удобно применение сферических координат в случае, когда область интегрирование Ω – шар с центром в начале координат или шаровое кольцо. Например, в последнем случае, если радиус внутреннего шара R1, а внешнего R2, пределы интегрирования следует расставить так:

Если Ω – шар, то нужно положить R1= 0. Пример 14.

Вычислим объём шара радиуса R. В этом случае подынтегральную функцию надо взять равной 1, и мы получим

2.5. Приложение тройных интегралов.

Для вычисления координат центра тяжести тела нужны статические моменты относительно координатных плоскостей Оху, Oxz, Oyz; обозначим их соответственно Mxy, Mxz, Myz. Повторяя

62

рассуждения, получим следующие формулы для координат ξ, η, ζ центра тяжести неоднородного тела, плотность которого задается функцией δ(х, у, z), занимающего область Ω:

Если тело однородно, т.е. δ = const, то формулы упрощаются:

где V – объём тела.

Пример 15. Найдём центр тяжести однородного полушара Ω: x2 + y2 + z2 ≤ R , z ≥ 0 .

Две координаты центра тяжести (ξ и η) равны нулю, ибо полушар симметричен относительно оси Оz (тело вращения с осью Оz).

Интеграл ∫∫∫zdν удобно вычислить, перейдя к сферическим координатам:

Ω

Перейдём к вычислению моментов инерции тела относительно координатных осей. Так как квадраты расстояний от точки Р(х, у, z) до осей Ox, Oy, Oz соответственно равны х2 + у2, х2 +z2, x2 + у2, то полагая для простоты δ = 1, получим следующие формулы:

называются центробежными моментами инерции. Для полярного момента инерции формула имеет вид

I 0 = ∫∫∫ ( x 2 + y 2 + z 2 )d ν .

Ω

Если тело неоднородное, то в каждой формуле под знаком интеграла будет находиться дополнительный множитель δ(x, y, z) – плотность тела в точке Р.

Пример 16. Вычислим полярный момент инерции однородного шара радиуса R. В этом случае очень удобно перейти к сферическим координатам. Будем иметь

63

где М – масса шара.

Так как для сферы моменты инерции относительно осей координат, очевидно, равны между собой, то, учитывая, что Ix + Iy + Iz = 2I0, получим

I x = I y = I z = 52 MR 2 .

Моменты инерции тела относительно оси играют важную роль при вычислении кинетической энергии тела при его вращении около соответствующей оси.

Пусть тело Ω вращается около оси Oz с постоянной угловой скоростью ω. Найдём кинетическую энергию J, тела. Как известно, кинетическая энергия точки измеряется

величиной 12 m ν 2 , где m – масса точки, а ν – величина её скорости. Кинетическая энергия

системы точек определяется как сумма кинетических энергий отдельных точек, а кинетическая энергия тела – как сумма кинетических энергий всех частей, на которые оно разбито. Это обстоятельство позволяет применить для вычисления кинетической энергии интеграл.

Возьмем какую-нибудь окрестность dv точки Р(х, у, z) тела Ω. Величина линейной скорости ν точки Ρ при вращении около оси Оz равна ω x 2 + y 2 , и значит, кинетическая энергия части dv тела Ω выразится так :

12 δ ( P ) d νω 2 ( x 2 + y 2 ) ,

где δ(P) = δ(х, у, z) – плотность тела в точке Р. Для кинетической энергии всего тела Ω получаем

Кинетическая энергия тела, вращающегося около некоторой оси с постоянной угловой скоростью, равна половине квадрата угловой скорости, умноженной на момент инерции тела относительно оси вращения.

64