Каждое из уравнений последовательности (пункт 40) является уравнением с разделяющимися переменными:

u'+au = 0,

∫duu = −a ∫ dx, ln u = −ax,

u= e−ax ;

e−ax v' = bx, v' = bxeax ,

dvdx = bxeax ,

∫dv = b ∫ xeaxdx,

v= ba xeax − ab2 eax + c.

60. Запишем общее решение дифференциального уравнения:

y= uv = ce−ax + ba x − ab2 .

3.2.Уравнения Бернулли

Уравнением Бернулли называется уравнение вида y'+P(x) y = Q(x) yn или x'+P(y) x = Q(y) xn .

Уравнение Бернулли отличается от линейного правой частью и сводится к последовательности уравнений с разделяющимися переменными по той же схеме, что и

линейное, подстановкой y = u(x) v(x),

y' = u' (x) v(x)+ u(x) v' (x);

или

x = u(y) v(y),

x' = u' (y) v(y)+ u(y) v' (y).

Пример 3.2.1. Найти общее решение дифференциального уравнения xy'−4 y − x2 y = 0 .

10. Определим тип дифференциального уравнения (таблица 1):

20. Запишем подстановку:

y = u( x ) v( x ),

y = u' (x) v(x)+ u(x) v' (x).

30. Осуществим подстановку в данное уравнение:

20

40. Запишем последовательность уравнений относительно функций u(x) и v(x). Сгруппируем первый и третий члены уравнения:

Выберем функцию u(x) так, чтобы она обращала в нуль скобку, получим

последовательность уравнений:

u − 4x u = 0,

u v' = x uv .

50. Найдём функции u(x) и v(x). Каждое из уравнений последовательности (пункт 40) является уравнением с разделяющимися переменными:

ln u = ln x4 , u = x4 ;

u v' = x uv , x4 v' = x x4 v ,

2 v = ln x + C, v = (ln x + C)2 .

60. Запишем общее решение дифференциального уравнения: y = u v,

y = x4 (ln x + c)2 .

Пример 3.2.2. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения y'+2 y = y2 ex , удовлетворяющее начальным условиям y x=0 = 1 .

Ответ: y = e− x .

Пример 3.2.4. Среди уравнений указать то, которое одновременно является однородным, в полных дифференциалах и линейным:

а) x2 y + 2xy + x2 = 0 ; б) xy' = − y + x .

Ответ: а); б).

Пример 3.2.5. Среди уравнений указать то, которое одновременно является уравнением с разделяющимися переменными, в полных дифференциалах и линейным:

а) xy'+ y = 0; ;

21

б) xy'− y = 0 .

Ответ: а).

4. Дифференциальные уравнения ΙΙ порядка, допускающие понижение

порядка

4.1. Дифференциальные уравнения ΙΙ порядка. Общие понятия

Обыкновенным дифференциальным уравнением ΙΙ порядка называется уравнение вида

F (x, y, y', y'' )= 0 , связывающее независимую переменную x, искомую функцию y и её производные Ι и ІІ порядков.

Частным решением дифференциального уравнения ΙΙ порядка называется дифференцируемая функция y = ϕ (x), которая, будучи подставленной в уравнение вместе со

своими производными, обращает его в тождество

F[x,ϕ (x),ϕ' (x),ϕ' ' (x) ]≡ 0 .

Дифференциальное уравнение ΙΙ порядка, как и любое дифференциальное уравнение, имеет бесчисленное множество решений. Множество всех решений уравнения ΙΙ порядка называется его общим решением; оно содержит две производные постоянные:

y = ϕ (x ,C1 ,C2 ).

Задача Коши для уравнения ΙΙ порядка есть задача о нахождении частного решения, которое

где x0 , y0 , y '0 - заданные числовые значения.

С геометрической точки зрения задача Коши состоит в том, чтобы среди множества интегральных кривых найти ту, которая проходит через заданную точку

M 0 (x0 , y0 ) в заданном направлении y'(x0 ).

Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Разрешим уравнение F (x, y, y', y'' )= 0 относительно второй производной y' = f (x, y, y' ).

Если функция y' = f (x, y, y' ) и её частные производные ∂∂fy , ∂∂yf' непрерывны в некоторой

области D, то для любой её внутренней точки M 0 (x0 , y0 , y'0 ) существует – и притом единственное – решение y = y(x), удовлетворяющее начальным условиям

y(x0 ) = y0 , y' (x0 ) = y'0 .

Если найдено общее решение y = ϕ (x,C1 ,C2 ). , то для решения задачи Коши постоянные C1 и C2 находятся из системы уравнений

4.2.Уравнения ΙΙ порядка, допускающие понижение порядка

Втаблице 2 приведены типы уравнений ΙΙ порядка, допускающие понижение порядка, которые будут изучаться на занятии.

Пример 4.2.1. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения

22

y ' ' = sin2 2x , удовлетворяющее начальным условиям y x=0 = 0, y′ x=0 = 1 . 10. Определим тип уравнения:

y' ' = sin 2 2x - уравнение, допускающее понижение порядка, 1 типа (таблица. 2). Решается последовательным интегрированием (20, 30).

20. Проинтегрируем обе части уравнения:

y' = ∫ sin 2 2xdx,

y′ = 21 ∫ (1 − cos 4x)dx,

30. Проинтегрируем обе части полученного уравнения:

50. Запишем ответ – частное решение уравнения:

Таблица 2 Типы уравнений ΙΙ порядка, допускающие понижение порядка

23

Пример 4.2.3. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения

xy'' = y' ln yx′ - уравнение, допускающее понижение порядка, ΙΙ типа (таблица 2).

20. Запишем подстановку

y ' = P(x), y '' = P' (x)..

30. Осуществим подстановку в данное уравнение:

x P' = P ln Px .

40. Решим полученное дифференциальное уравнение первого порядка. 4.1. Определим тип уравнения по таблице 1:

P' = Px ln Px - однородное уравнение. 4.2. Запишем подстановку:

4.3. Осуществим подстановку в уравнение:

u' x + u = u ln u .

4.4. Решим полученное уравнение с разделяющимися переменными:

ln lnu − 1 = ln C1 x ; lnu − 1 = C1 x;

u = eC1 x+1 .

4.5.Запишем общее решение:

P= ux = xeC1x+1 ; y' = xec1x+1 .

50. Определим значение произвольной постоянной c1 .

Указание. При решении уравнений ΙΙ и ΙΙΙ типа с начальными условиями рекомендуется определять произвольную постоянную сразу, как она появилась.

При x = 1, y ' = e имеем C1 = 0 , тогда y'= ex .

60. Решим уравнение, полученное в пункте 50:

y ' = ex - уравнение с разделяющимися переменными.

∫ dy = e∫ xdx;

y = e x22 + C2 . .

24

70. Определим значение произвольной постоянной C2 .

При х=1, у=е имеем C2 = 2e .

80. Запишем ответ – частное решение уравнения:

y = 2e (x 2 + 1).

Пример 4.2.4. Найти решение задачи Коши для уравнения

y' ' = y'+ x ,

удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 1, y' (0) = 0 .

Ответ: y = − x2 − x + ex .

2

Пример 4.2.5. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения

2 yy' '−(y' )2 − 1 = 0 ,

удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 1, y' (0) = 0 . 10. Определим тип уравнения:

2 yy' '−(y' )2 − 1 = 0 - уравнение, допускающее понижение, ΙΙΙ типа (таблица 2). 20. Запишем подстановку:

y' = P(y), y' ' = P(y) P' (y).

30. Осуществим подстановку в уравнение:

2 y P P'−P 2 − 1 = 0 .

40.Решим уравнение, полученное в пункте 30.:

2 yPP'−P2 − 1 = 0 - уравнение с разделяющимися переменными.

ln(P 2 + 1)= ln C1 y; P 2 + 1 = C1 y;

P 2 = C1 y − 1; (y' )2 = C1 y − 1; y' = C1 y − 1.

25

2 y − 1 = x + C2 ; y = 41 (x + C2 )2 + 1.

70.Определим значение произвольной постоянной C2 : При x = 0, y = 1 имеем C2 = 0 .

80. Запишем ответ – частное решение уравнения:

y = x2 + 1 . 4

Пример 4.2.6. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения y y ''+(y ' )2 = 0 ,

удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 1, y ' (0) = 1. Ответ: y2 = 2x + 1 .

Согласно ΙΙ закону Ньютона математической моделью прямолинейного (вдоль оси ОХ) движения тела является дифференциальное уравнение

Здесь возможны следующие случаи.

Правая часть уравнения ( ) постоянна или является функцией времени

n

∑ Fk x = F( t),

k =1

тогда имеем дело с уравнением 1 типа (примеры 4.2.7, 4.2.8).

Правая часть уравнения ( ) есть функция скорости

n

∑ Fk x = F(V ),

k =1

то получаем уравнение ΙΙ типа (пример 4.2.9).

Правая часть уравнения ( ) есть функция смещения

n

∑ Fkx = F(x),

k =1

то уравнение является уравнением III типа (пример 4.2.10).

5. Линейные дифференциальные уравнения ΙΙ порядка коэффициентами

5.1. Однородные линейные уравнения ΙΙ порядка с постоянными коэффициентами

Однородное линейное уравнение ΙΙ порядка с постоянными коэффициентами имеет вид y''+ Py'+ gy = 0 , где P, g - заданные числа.

Структура решения уравнения (5.1) определяется следующими теоремами.

26

Теорема 5.1. Всякое линейное однородное уравнение ΙΙ порядка имеет систему двух линейно независимых частных решений.

y = y1 (x), y = y2 (x),

y1 ((x)) ≠ const . y2 x

Эта система носит название фундаментальной системы решений. Теорема 5.2. (о структуре решения)

Общее решение линейного однородного уравнения ΙΙ порядка есть линейная комбинация частных решений его фундаментальной системы: y = c1 y1 + c2 y2 .

Для отыскания фундаментальной системы решений составляют так называемое характеристическое уравнение k 2 + Pk + g = 0 .

В зависимости от вида корней (вещественные различные, вещественные равные,

Пример 5.1.1. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения y''−13y'−30y = 0 , удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 6, y' (0) = 5 10. Определим тип уравнения.

y''−13y'−30y = 0 - линейное, однородное ІІ порядка, с постоянными коэффициентами. 20. Запишем формулу общего решения:

y = c1 y1 + c2 y2

30. Составим и решим характеристическое уравнение: k 2 − 13k − 30 = 0

(корни вещественные, различные)

40. Запишем фундаментальную систему решений:

27