2. Однородные дифференциальные уравнения. Уравнения в полных дифференциалах

2.1. Однородные дифференциальные уравнения I порядка

Функция y = f ( x1 , x2 , …, xn ) называется однородной функцией k – го порядка однородности относительно переменных x1 , x2 , ..., xn , если при любом t ≠ 0 справедливо равенство

f ( tx1 , tx2 , …, txn ) = tk f ( x1 , x2 , …, xn ) .

Пример 2.1.1. Определить порядок однородности функций:

в) f ( x, y ) = xy2 + x3 - функция третьего порядка однородности, т.к.

f ( tx, ty ) = tx ( ty )2 + ( tx )3 = t 3 xy 2 + t 3 x3 = = t 3 (xy 2 + x3 )= t 3 f ( x, y );

или

10

Дифференциальное уравнение Ι порядка y' = f ( x, y ) называется однородным дифференциальным уравнением, если его правая часть – однородная функция нулевого порядка,

Уравнение, записанное в симметричной форме P( x, y )dx + Q( x, y )dy = 0 , является однородным уравнением, если функции P( x, y ) и Q( x, y ) - однородные функции одинакового порядка.

Пример 2.1.3. Среди данных уравнений указать однородные дифференциальные уравнения:

Решим первое уравнение:

а) xy' = y(ln y − ln x ) .

10. Преобразуем дифференциальное уравнение. Разделим обе части уравнения на x ; для выражения в скобках применим свойство логарифмов: разность логарифмов равна логарифму от частного, получим:

y' = xy ln xy .

20. Правая часть преобразованного дифференциального уравнения

f (x, y) = xy ln xy

является функцией нулевого порядка однородности, так как

f (tx,ty) = tytx ln tytx = xy ln xy = f (x, y),

то дифференциальное уравнение является однородным.

б) xy'− y − xctg xy = 0 .

10. Преобразуем дифференциальное уравнение. Разделим обе части уравнения на x ; выразим y′ , получим:

y' = xy + ctg xy .

20. Правая часть преобразованного дифференциального уравнения

f (x, y) = xy + ctg xy

является функцией нулевого порядка однородности, так как

f (tx,ty) = tytx + ctg tytx = xy + ctg xy = f (x, y),

то дифференциальное уравнение является однородным.

в) ( x 2 + y 2 + xy )dx = x 2 dy .

11

10. Преобразуем дифференциальное уравнение. Разделим обе части уравнения на x 2 dx ; выразим y′ , получим:

20. Правая часть преобразованного дифференциального уравнения

является функцией нулевого порядка однородности, так как

то дифференциальное уравнение является однородным.

г) ( x + y )dx + ( x + y + 2 )dy = 0 .

10. Преобразуем дифференциальное уравнение. Разделим обе части уравнения на ( x + y + 2 )dx ; выразим y′ , получим:

1 + y y' = x

1 + xy + 2x

20. Правая часть преобразованного дифференциального уравнения

не является однородной функцией, так как

то дифференциальное уравнение не является однородным.

Любое однородное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными

Пример 2.1.4. Среди интегральных кривых уравнения

xy' = y(ln y − ln x )

найти ту, которая проходит через точку М(1,1). 10. Определим тип уравнения (таблица 1):

1.1. Преобразуем дифференциальное уравнение, получим:

y' = xy ln xy .

12

1.2. Правая часть преобразованного дифференциального уравнения

30. Осуществим подстановку в уравнение: u' x + u = u ln u .

40. Решим полученное уравнение с разделяющимися переменными. 4.1. Разделим переменные:

u' x = u(ln u − 1 ),

4.2. Проинтегрируем обе части равенства:

ln ln u − 1 = ln cx .

4.3. Упростим результат интегрирования: ln u − 1 = cx,

u = ecx+1 .

50. Запишем общее решение (общий интеграл) уравнения:

xy = ecx+1 , y = xecx+1 .

60. Найдём значение произвольной постоянной: при x=1, y=1 получаем

ec+1 = 1, C + 1 = 0, C = −1 .

70. Запишем ответ – частное решение уравнения:

y = xe1− x .

Пример 2.1.5. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения

xy'− y − xctg xy = 0 ,

удовлетворяющее начальным условиям x = 1, y = 0 .

Ответ: y = x arccos 1x .

Пример 2.1.6. Найти общее решение дифференциального уравнения

( x 2 + y 2 + xy )dx = x 2 dy .

13