50. Запишем общее решение уравнения:

y = c1e−2 x cos 3x + c2e−2 x sin 3x, y = e− 2 x (c1 cos 3x + c2 sin 3x).

70. Запишем ответ – частное решение уравнения: y = e−2 x (6cos3x + 4sin 3x).

Пример 5.1.4. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

5.2. Неоднородные линейные уравнения ІІ порядка с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера вариации произвольных постоянных

Неоднородное линейное уравнение ІІ порядка с постоянными коэффициентами имеет вид y''+ py'+ gy = f (x), где f (x) ≠ 0 .

Теорема 5.2. (о структуре решения).

Общее решение линейного неоднородного уравнения ІІ порядка равно сумме общего решения (y) соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения (y ) данного неоднородного уравнения:

y = y + y .

Рассмотрим метод Эйлера. Он является общим, универсальным методом в том смысле, что может применяться для уравнений с произвольной правой частью. Суть его в следующем.

Сначала записывают общее решение (y) соответствующего однородного уравнения y''+ py'+ gy = 0 :

y = c1 y1 + c2 y2 .

29

Затем конструируют функцию y* = c1 (x)y1 + c2 (x)y2 ,

где c1 (x), c2 (x) - теперь уже функции переменной х.

Доказано, что функция y * является решением уравнения (5.2), если функция c1 (x) и c2 (x) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений

y = c1 + c2e− x .

40. Сконструируем формулу частного решения уравнения – у*: y* = c1 (x)+ c2 (x)e− x .

30