Область интегрирования представляет собой четверть крута, т.е. определяется условиями x 2 + z 2 ≤ a 2 , x ≥ 0, z ≥ 0 .

Следовательно,

2. Тройной интеграл

2.1. Масса неоднородного тела

Рассмотрим тело, занимающее пространственную область Ω (рис. 27), и предположим, что плотность распределения массы в этом теле является непрерывной функцией координат точек тела: = δ(x, y, z).

Единица измерения плотности – кг/м3

Рис.27

Разобьем тело произвольным образом на n частей; объёмы этих частей обозначим ν1, ν2, …, νn. Выберем затем в каждой части по произвольной точке Pi(xi , yi , zi). Полагая, что в каждой частичной области плотность постоянна и равна её значению в точке Pi, мы получим приближённое выражение для массы всего тела в виде суммы

n

Mn = ∑δ (xi yi zi ) ν i i=1

Предел этой суммы при условии, что n → ∞ и каждое частичное тело стягивается в точку (т.е. что его диаметр) стремится к нулю, и даст массу Μ тела

Сумма называется n-й интегральной суммой, а её предел – тройным интегралом от функции δ(x, y, z) по пространственной области Ω.

К вычислению тройного интеграла, помимо определения массы тела, приводят и другие задачи. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать тройной интеграл

где f(x, y, z) – произвольная непрерывная в области Ω функция.

57

Терминология для тройных интегралов совпадает с соответствующей терминологией для двойных интегралов. Точно так же формулируется и теорема существования тройного интеграла.

Свойства двойных интегралов, полностью переносятся на тройные интегралы. Заметим только, что если подынтегральная функция f(x, y, z) тождественно равна 1, то тройной интеграл

выражает объем V области Ω: ∫∫∫dν = V .

Ω

Поэтому свойства сформулированы следующим образом.

Свойство 6. Если функция f(x, y, z) во всех точках области интегрирования Ω удовлетворяет неравенствам

m≤ f (x, y, z) ≤ M

то

mV < ∫∫∫ f (x, y, z)dν ≤ MV ,

Ω

где V – объём области Ω.

Свойство 7. Тройной интеграл равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой точке области интегрирования на объём области интегрирования, т.е.

∫∫∫ f (x, y, z)dν = f (ξ ,η,ς )V .

Ω

2.2. Вычисление тройных интегралов в декартовых координатах.

Вычисление тройного интеграла ∫∫∫ f (x, y, z)dν , может быть осуществлено посредством

Ω

ряда последовательных интегрирований. Мы ограничимся описанием соответствующих правил. Пусть дан тройной интеграл от функции f(x, y, z)

I = ∫∫∫ f (x, y, z)dν ,

Ω

причем область Ω отнесена к системе декартовых координат Oxyz, Разобьём область интегрирования плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Тогда частичными областями будут параллелепипеды с гранями, параллельными плоскостям Оху, Oxz, Oуz. Элемент объёма будет равен, произведению дифференциалов переменных интегрирования dv = dx dy dz.

В соответствии с этим будем писать

I = ∫∫∫ f (x, y, z) dx dy dz.

Ω

Установим теперь правило для вычисления такого интеграла.

Будем считать, что область интегрирования Ω имеет вид, изображенный на рис. 27.

Опишем цилиндрическую поверхность с образующей, перпендикулярной к плоскости Оху. Она касается области Ω вдоль некоторой линии L, которая делит поверхность, ограничивающую область, на две части: верхнюю и нижнюю. Уравнением нижней поверхности пусть будет z ·= z1(x, y), уравнением верхней z = z2 (x, y).

Построенная цилиндрическая поверхность высекает из плоскости Оху плоскую область D, которая является ортогональной проекцией пространственной области Ω на плоскость Оху, при этом линия L проектируется в границу области D.

Будем производить интегрирование сначала по направлению оси Oz. Для этого функция f(x, y, z) интегрируется по заключенному в Ω отрезку прямой, параллельной оси Oz и проходящей

58

через некоторую точку Р (х, у) области D (на рис. 27 отрезок α β ). При данных x и у переменная интегрирования z будет изменяться от z1 (x, у) – аппликаты точки «входа» (α) прямой в область Ω, до z2(x, y) – аппликаты точки «выхода» (β) прямой из области Ω.

Результат интегрирования представляет собой величину, зависящую от точки Ρ (x, у); обозначим её через F(x, у):

z2 ( x, y)

F(x, y) = ∫ f (x, y, z)dz.

z1 ( x, y)

При интегрировании х и у рассматриваются здесь как постоянные. Мы получим значение искомого тройного интеграла, если возьмём интеграл от функции F(x, y) при условии, что точка Ρ (x, у) изменяется по области D, т.е. если возьмём двойной интеграл

∫∫ F(x, y)dxdy.

D

Таким образом, тройной интеграл I может быть представлен в виде

I = ∫∫(∫ f (x, y, z)dz)dx dy.

D

Приводя, далее, двойной интеграл по области D к повторному и интегрируя сначала по у, а затем по х, получим

где у1(х) и y2(х) – ординаты точек «входа» в область D и «выхода» из неё прямой х = const (в плоскости Оху), а а и b – абсциссы конечных точек интервала оси Ох, на который проектируется область D.

Мы видим, что вычисление тройного интеграла по области Ω производится, посредством трёх последовательных интегрирований.

Формула (19) сохраняется и для областей, имеющих цилиндрическую форму, т.е. ограниченных цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz, а снизу и сверху поверхностями, уравнения которых соответственно z = z1 (х, у) и z = z2 (х, у) (рис. 28).

Рис.28

Если областью интегрирования служит внутренность параллелепипеда с гранями, параллельными координатным плоскостям (рис. 29), то пределы интегрирования постоянны во всех трёх интегралах :

b d l

∫∫∫f (x, y, z)dxdydz= ∫dx∫dy∫ f (x, y, z)dz.

В этом случае интегрирование можно производить в любом порядке, пределы интегрирования будут при этом сохраняться.

59

Если же в общем случае менять порядок интегрирования (т.е., скажем, интегрировать сначала по направлению оси Оу, а затем по области плоскости Oxz), то это приведёт к изменению порядка интегрирования в тройном интеграле и к изменению пределов интегрирования по каждой переменной.

Рис.29 Рис.30 Пример 13. Вычислим тройной интеграл

I = ∫∫∫(x + y + z)dxdydz,

Ω

где Ω – область, ограниченная координатными плоскостями x = 0, y = 0, z = 0 и плоскостью x + у + z = 1 (пирамида, изображённая на рис.30). Интегрирование по z совершается от z = 0 до z = 1 - x - у. Поэтому, обозначая проекцию области Ω на плоскость Оху через D, получим

2.3. Вычисления тройных интегралов в цилиндрических координатах.

Отнесём область Ω к системе цилиндрических координат (r, ϕ, z), в которой положение точки Μ в пространстве определяется полярными координатами (r, ϕ) её проекции Ρ на плоскость Оху и её аппликатой (z). Выбирая взаимное расположение осей координат, как указано на рис. 31, установим связь, между декартовыми и цилиндрическими координатами точки М, а именно:

x = rcosϕ, y = rsinϕ, z = z

60