2.2. Уравнения в полных дифференциалах

Уравнение P( x, y )dx + Q( x, y )dy = 0 называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть – полный дифференциал некоторой функции u( x, y ) , т.е.

P( x, y )dx + Q( x, y )dy = du( x, y ) .

Необходимым и достаточным условием полного дифференциала является равенство частных производных .

Общий интеграл уравнения в полных дифференциалах имеет вид u( x, y ) = c , где функция u( x, y ) может быть найдена по одной из формул:

10. Дифференциальное уравнение записано в симметричной форме, где

P( x, y ) = x + sin y ,

Q( x, y ) = x cos y + y 2 .

20. Найдём частные производные:

30. Сравним частные производные. Так как ∂∂Py ≡ ∂∂Qx , то уравнение является уравнением в

полных дифференциалах.

б) ( 2xy − 5 y 2 )dx = ( x 2 − 10xy + 6 y )dy.

10. Дифференциальное уравнение записано в симметричной форме, где

P( x, y ) = 2xy − 5 y 2 ,

Q( x, y ) = x 2 − 10xy + 6 y.

20. Найдём частные производные:

30. Сравним частные производные. Так как ∂∂Py ≡ ∂∂Qx , то уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

14

Пример 2.2.2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

10. Определим тип уравнения (таблица 1): Запишем уравнение в симметричной форме:

(2 y − xe y )dy = e y dx ,

e y dx + (xe y − 2 y)dy = 0 ,

тогда

P( x, y ) = e y ,

Q( x, y ) = xe y − 2 y.

в полных дифференциалах.

20. Запишем формулу общего интеграла:

u( x, y ) = C.

30. Выберем формулу для отыскания функции u( x, y ) :

40. Найдём функцию u( x, y ) :

50. Запишем общий интеграл уравнения:

xe y − y 2 − x0 e y0 + y02 = C1 , xe y − y 2 = C1 + x0 e y0 − y02 ,

C

xe y − y 2 = C.

Пример 2.2.3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

Пример 2.2.4. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения

15

10. Определим тип уравнения (таблица 1):

1.1 Дифференциальное уравнение записано в симметричной форме, где

40. Найдём функцию u( x, y ) :

x ln y − x 2 - y 2 = x0 lny0 − x02 − y02 + C1 ,

C

x ln y − x 2 - y 2 = C .

60. Найдём значение произвольной постоянной. При x = 1, y = 1 получим ln1 − 1 − 1 = C ,

C = −2 .

60. Запишем ответ – частное решение уравнения:

x ln y − x2 − y 2 + 2 = 0.

Пример 2.2.5. Среди уравнений указать то, которое является одновременно и однородным, и в полных дифференциалах:

а) (2x − y)dx + (2 y − x)dy = 0;

16

б) (2x3 − xy 2 )dx + (2 y3 − x2 y)dy = 0;

3. Линейные дифференциальные уравнения Ι порядка. Уравнения

Бернулли

3.1. Линейные дифференциальные уравнения Ι порядка

Линейным дифференциальным уравнением Ι порядка называется уравнение, линейное относительно функции и её производной:

Здесь P(x), Q(y) - заданные функции или константы. При Q = 0 уравнение называется однородным, при Q ≠ 0 - неоднородным.

Пример 3.1.1. Определить тип уравнений:

а) (x2 + 1)y'−xy − x3 − x = 0 - линейное относительно y(x) ; приводится к стандартной форме

Пример 3.1.2. Среди уравнений указать линейные:

Ответ: а) линейное относительно y(x) ; б) не является линейным;

в) линейное относительноV (t) ; г) линейное относительноx(y) .

Однородные линейные уравнения (Q=0) могут быть решены разделением переменных. Неоднородные линейные уравнения можно свести к последовательности двух уравнений с разделяющимися переменными подстановкой

17

y = u( x ) v( x ),

y = u' (x) v(x)+ u(x) v' (x).

Пример 3.1.3. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения

xy'− y − x3 = 0 ,

удовлетворяющее начальным условиям y x=1 = 0 .

10. Определим тип уравнения (таблица 1). Приведём к стандартной форме записи делением на x , получим:

y'− 1x y = x2 - линейное уравнение относительно функции y(x) .

20. Запишем подстановку:

y = u( x ) v( x ),

y = u' (x) v(x)+ u(x) v' (x).

30. Осуществим подстановку в данное уравнение:

u' v + uv' − 1x uv = x2 .

40. Запишем последовательность уравнений относительно функций u(x) и v(x). Подстановка y = uv позволяет одну из функций сомножителей выбрать произвольно. Поступим так: сгруппируем первый и третий (можно второй и третий) члены уравнения

Выберем функцию u(x) так, чтобы она обращала в нуль скобку

u'− 1x u = 0

Тогда функция v(x) должна удовлетворять условию

uv' = x 2 .

Итак, получили последовательность уравнений:

u'− 1x u = 0,

uv' = x2 .

50. Найдём функции u(x) и v(x).

Каждое из уравнений последовательности (пункт 40) является уравнением с разделяющимися переменными:

u'− 1x u = 0,

v = ∫ xdx,

v = x 2 + C. 2

18

60. Запишем общее решение дифференциального уравнения:

70. Найдём значение произвольной постоянной. При x = 1, y = 0 получаем C = −0,5 .

80. Запишем ответ – частное решение уравнения:

y = 0,5x3 − 0,5x .

Пример 3.1.4. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения y' cos x − y sin x − 2x = 0,

удовлетворяющее начальным условиям y x=0 = 1 .

Ответ: y = x2 + 1 . cos x

Пример 3.1.5. Найти общее решение дифференциального уравнения

Ответ: y = 1 − x2 (c + arcsin x).

Пример 3.1.6. Найти общее решение дифференциального уравнения

Ответ: x = y 2 + cy3 .

Пример 3.1.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

y'+ay = bx .

10. Определим тип дифференциального уравнения (таблица 1): y'+ay = bx - уравнение, линейное относительно функции y(x) . 20. Запишем подстановку:

y = u( x ) v( x ),

y = u' (x) v(x)+ u(x) v' (x).

30. Осуществим подстановку в данное уравнение:

u' v + uv' +a uv = bx .

40. Запишем последовательность уравнений относительно функций u(x) и v(x). Сгруппируем первый и третий члены уравнения:

(u'+au) v + uv' = bx. .

Выберем функцию u(x) так, чтобы она обращала в нуль скобку, получим

последовательность уравнений:

u'+a u = 0

u v' = bx.

50. Найдём функции u(x) и v(x).

19