Добавил:

ota Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тольяттинский государственный университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

высшая математика теоретический материал часть 3.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.07.2016

Размер:

1.43 Mб

Скачать

☆

1 / 201 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ТОЛЬЯТТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Высшая математика и математическое моделирование»

Ахметжанова Г.В., Павлова Е.С., Кошелева Н.Н.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

по высшей математике

часть III

Тольятти 2007

УДК 51(075.8) ББК 22.1я.73 Т 93

Научный редактор д.т.н., профессор П.Ф.Зибров

Т-93 Теоретический материал по высшей математике: учебно-методическое пособие для студента. Часть III. Сост.: Ахметжанова Г.В., Кошелева Н.Н., Павлова Е.С., - Тольятти: ТГУ, 2007 стр.

Утверждено научно-методическим советом факультета математики и информатики Тольяттинского государственного университета.

УДК 51(075.8) ББК 22.1я173

♥Тольяттинский Государственный Университет

Содержание
Модуль 9. Дифференциальные уравнения................................................................................................................		4
1.	Дифференциальные уравнения I порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..........................	4
	1.1. Дифференциальные уравнения I порядка. Общие понятия..................................................................	4
	1.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными......................................................	6
2.	Однородные дифференциальные уравнения. Уравнения в полных дифференциалах..............................	10
	2.1. Однородные дифференциальные уравнения I порядка.......................................................................	10
	2.2. Уравнения в полных дифференциалах .................................................................................................	14
3.	Линейные дифференциальные уравнения Ι порядка. Уравнения Бернулли..............................................	17
	3.1. Линейные дифференциальные уравнения Ι порядка...........................................................................	17
	3.2. Уравнения Бернулли...............................................................................................................................	20
4.	Дифференциальные уравнения ΙΙ порядка, допускающие понижение порядка........................................	22
	4.1. Дифференциальные уравнения ΙΙ порядка. Общие понятия...............................................................	22
	4.2. Уравнения ΙΙ порядка, допускающие понижение порядка..................................................................	22
5.	Линейные дифференциальные уравнения ΙΙ порядка коэффициентами....................................................	26
	5.1. Однородные линейные уравнения ΙΙ порядка с постоянными коэффициентами .............................	26
	5.2. Неоднородные линейные уравнения ІІ порядка с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера
	вариации произвольных постоянных...........................................................................................................	29
6.	Линейные неоднородные уравнения ІІ порядка с постоянными коэффициентами. Метод Лагранжа
неопределенных коэффициентов.......................................................................................................................		31
7.	Системы дифференциальных уравнений......................................................................................................	37
	7.1 Нормальная система дифференциальных уравнений...........................................................................	37
Модуль 10. Кратные интегралы...............................................................................................................................		40
1.	Двойной интеграл............................................................................................................................................	40
	1.1. Объём цилиндрического тела................................................................................................................	40
	1.2. Вычисление двойных интегралов в декартовых координатах............................................................	42
	1.3. Вычисление двойных интегралов в полярных координатах...............................................................	49
	1.4. Приложения двойных интегралов к задачам механики ......................................................................	51
	1.5. Вычисление площадей и объёмов с помощью двойных интегралов. ................................................	53
	1.6. Вычисление площади поверхности.......................................................................................................	54
2.	Тройной интеграл............................................................................................................................................	57
	2.1. Масса неоднородного тела.....................................................................................................................	57
	2.2. Вычисление тройных интегралов в декартовых координатах............................................................	58
	2.3. Вычисления тройных интегралов в цилиндрических координатах. ..................................................	60
	2.4. Вычисление тройных интегралов в сферических координатах..........................................................	61
	2.5. Приложение тройных интегралов. ........................................................................................................	62
Модуль 11. Криволинейные и поверхностные интегралы....................................................................................		65
1.	Криволинейные интегралы.............................................................................................................................	65
	1.1. Криволинейный интеграл первого типа (по длине дуги)....................................................................	65
	1.2. Криволинейный интеграл второго типа (по координатам).................................................................	68
	1.3. Формула Грина........................................................................................................................................	74
	1.4. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.................................	76
	1.5. Связь между криволинейными интегралами первого и второго типов.............................................	81
2.	Поверхностные интегралы .............................................................................................................................	84
	2.1. Поверхностные интегралы первого типа..............................................................................................	84
	2.2. Понятие двухсторонней поверхности. Ориентация поверхности......................................................	89
	2.3. Поверхностный интеграл второго типа (по проекциям) .....................................................................	90
	2.4. Связь поверхностных интегралов I и II типов......................................................................................	93
	2.5. Формула Остроградского.......................................................................................................................	96
3.	Основные понятия теории поля...................................................................................................................	100
Список литературы.................................................................................................................................................		116

Модуль 9. Дифференциальные уравнения

1. Дифференциальные уравнения I порядка. Уравнения с разделяющимися переменными

1.1. Дифференциальные уравнения I порядка. Общие понятия

Обыкновенным дифференциальным уравнением 1 порядка называется уравнение вида

F(x, y, y') = 0 ,

(1.1)

связывающее независимую переменную x, искомую функцию y = f (x) и её производную y'(x) .

При изложении теории дифференциальных уравнений чаще всего рассматриваются уравнения, разрешенные относительно производной y'(x) :

y'= f (x, y)

(1.2)

или уравнения в так называемой симметричной форме:

Р(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 .

(1.3)

Пример 1.1.1. Среди данных уравнений указать обыкновенные дифференциальные уравнения I порядка.

а) a

∂u

+ b

∂u

= f (x, y,u) ;

∂y

∂x

б)

∂y

+ y 2

= x3 + 1 ;

∂x

в)

∂y 2

+ b

∂y

+ cy = f (x) ;

∂x

г)

d 2 y

+ 3y

= sin x ;

∂x2

д) (x + y)dx + (x2 + y 2 )dy = 0 ; е) y' = xy ln xy .

Ответ: б); в); д); е).

Частным решением дифференциального уравнения называется любая функция y = ϕ (x) ,

которая, будучи подставленной вместе со своей производной в уравнение, обращает его в тождество

F[x,ϕ (x),ϕ '(x)] ≡ 0.

Любое дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений.

Множество всех частных решений дифференциального уравнения называется его общим решением.

Общее решение дифференциального уравнения I порядка является функцией, зависящей от одной произвольной постоянной

y = ϕ (x, c).

Если решение найдено в неявной форме

Φ(x, y) = c,

то его называют общим интегралом дифференциального уравнения.

Пример 1.1.2. Дано уравнение y'= 2x и функции

а)	y = x2 ;	б) y = 2 ;
в)	y = x2 + c ;	г) y = (x + c)2 .

Какая из функций является частным решением уравнения? Какая из функций является общим решением уравнения?

Ответ: а); в).

Задача Коши для уравнений I порядка: найти решение, которое удовлетворяло бы начальным условиям

y x=x0 = y0 ,

где x0 , y0 - заданные числа.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Если функция f (x, y)

уравнения (1.2) непрерывна в области D и имеет в ней непрерывную частную производную ddyϕ ,

то для любой внутренней точки M (x0 , y0 ) области D задача Коши имеет единственное решение, удовлетворяющее условиям y x=x0 = y0 , .

С геометрической точки зрения:

общее решение y = ϕ (x,c) в декартовой системе координат при различных значениях

произвольной постоянной c изображает множество кривых, которые называют интегральными кривыми;

задача Коши состоит в отыскании той интегральной кривой, которая проходит через заданную точку M 0 (x0 , y0 ) ;

дифференциальное уравнение y' = f (x, y) в каждой точке области D определяет угловой

коэффициент касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку, т.е. задает на плоскости поле направлений.

С механической точки зрения:

дифференциальное уравнение S' = f (s;t) - математическая модель изменения скорости движения некоторого физического тела;

общее решение S = ϕ (t,c) определяет общие законы движения тела;

начальные условия t = t0 , s = s0 содержат информацию о начальном состоянии тела в определенный момент времени;

частное решение S = ϕ (t) определяет такой закон движения, из которого можно получить конкретные качественные результаты о состоянии тела в любой момент времени.

В таблице 1 помещены типы дифференциальных уравнений I порядка, которые будут изучаться на занятиях.

1.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение I порядка y' = f (x, y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если его правая часть есть произведение функций, одна из

которых зависит от переменной x , другая – от y: y' = f1(x) f2 ( y) .

Уравнение, записанное в симметричной форме Р(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 является уравнением с разделяющимися переменными, если множители P(x, y) и Q(x, y) представляют собой

произведение функций, из которых одна зависит только от переменной x , другая – от переменной y : ϕ1(x) ϕ 2 ( y) dx +ψ 1(x) ψ 2 ( y) dy = 0 .

Пример 1.2.1. Среди данных уравнений указать уравнения с разделяющимися переменными:

а) (sin x ln y + sin x )dx + ( xy + y )dy = 0; б) dN = kNdt;

в) y'+ay = b;

г) ay'+bxy = С, С ≠ 0;

д) m dVdt = mg − kV 2 .

Ответ: а); б); в); д).

Разделить переменные – значит преобразовать уравнение так, чтобы каждая переменная содержалась только в том слагаемом, которое содержит её дифференциал.

Для этого достаточно уравнение привести к форме dydx = f1( x ) f2 ( y )

и умножить обе его части на функцию				dx	, в результате чего получится
и умножить обе его части на функцию				f 2 ( y )	, в результате чего получится
				f 2 ( y )
	dy	= f1	(x)dx .
	f2 ( y)	= f1	(x)dx .
	f2 ( y)

Таблица 1

Типы дифференциальных уравнений I порядка

Тип

уравнения

Стандартная форма записи

Особенности

Метод решения

разделяющимисяС

переменными

ϕ1( x )ϕ2( y )dx +

При дифференциалах –

от x, другая – от y

ϕ1(x)

ϕ2 ( y)

произведения функций,

+ ϕ1( x )ϕ2( y )dy = 0

зависящих одна

∫ ϕ1(x

dx +

ϕ2 ( y) dy = c

от x, другая – от y

y' = f1( x ) f2( y )

Правая часть – произведение

функций, зависящих одна

∫

= ∫ f1(x)dx + c

f2 ( y)

Однородное

Правая часть – однородная

y' = f

= u( x )

функции одинакового порядка

+ Q( x, y ) dy = 0

функция нулевого порядка

P( x, y ) dx +

P(x, y),Q(x, y) - однородные

y = u x,

y' = u' x + u

полныхВ дифференциа лах

P( x, y ) dx +

∂P

≡

∂Q

∫ P(x, y0 )dx + ∫ Q(x, y)dy = C

+ Q( x, y ) dy = 0

∂y

∂x

∫ P(x, y)dx

+ ∫ Q(x0 , y)dy = C

y'+ P( x )y = Q( x )

Первой степени относительно

y = u( x ) v( x ),

Линейное

y и yx'

y' = u' v + u v'

x'+ P( y )x = Q( y )

Первой степени относительно

x = u( y ) v( y ),

x' = u' v + u v′

x и xy'

Бернулли

y'+ P( x ) y = Q( x ) yn

Отличается от линейного

Аналогично

правой частью

линейным

Полученное равенство можно проинтегрировать:

∫

= ∫ f1(x)dx + с

f2 ( y)

Уравнение необходимо разделить почленно на выражение ψ1(x)ϕ 2 (x) . Получаем равенство

ϕ1(x)

ψ 2 ( y)

dx +

dy = 0 ,

ψ 1 (x)

ϕ 2 ( y)

которое можно проинтегрировать:

∫

ϕ1(x)

dx + ∫ ψ 2 ( y)dy = c .

ψ1(x)

ϕ 2 ( y)

Пример 1.2.2. Найти решение задачи Коши для уравнения y'+аy = b , удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 0 .

10. Определим тип уравнения (таблица 1):

y' = b − ay - уравнение с разделяющимися переменными, так как его правая часть зависит только от переменной y.

20. Разделим переменные:

dy = b − ay;
dx
dy	= dx.
b − ay

30. Проинтегрируем полученное равенство:

−1 ∫ d(b − ay) = ∫ dx; a b − ay

−a1 ln b − ay = x + c1 .

40. Упростим результат интегрирования и запишем общее решение (общий интеграл) уравнения:

ln b − ay = −ax − ac1 , b − ay = e−ax−ac1 ,

y =	b	−		1		e−ac1 e−ax ,
	a
				a
пусть			1		e−ac1		= c,

			a
y =	b	+ ce−ax
	a

50. Найдём значение произвольной постоянной: подставляя начальные условия x=0, y=0 в

общее решение, находим c = − b			a	.

60. Запишем ответ – частное решение уравнения:
y =	b	(1− e−ax ).

	a

Пример 1.2.3. Найти решение задачи Коши для уравнения ( x2 − 1 )y'−2xy = 0 , удовлетворяющее начальным условиям y(0)=1.

10. Определим тип уравнения:

y' =

y - уравнение с разделяющимися переменными,

x2 − 1

где

f1 (x) =

, f 2 ( y) = y .

x 2 − 1

20. Разделим переменные:

x2 −

dx.

x2 −

30. Проинтегрируем обе части равенства:

∫ dyy = ∫ x22x− 1 dx, .

ln y = ln x2 − 1 + ln C1

Для удобства преобразований постоянная выбрана в логарифмической форме. 40. Упростим результат интегрирования:

y	=	c1 (x2	− 1)	,
y = ±c (x2			− 1),		где ± c = c, то
1					1

y = c(x2 − 1).

50. Подставим начальные условия. При x=0, y=1 получаем с= − 1 . 60. Запишем ответ: y = 1 − x2 .

Пример 1.2.4. Среди интегральных кривых, удовлетворяющих уравнению

y'sin x = y ln y,

найти ту, которая проходит через точку	M 0	π
			2	, l

tg π

Ответ: y = e 2 .

Пример 1.2.5. Найти общее решение дифференциального уравнения

y'+	1 − y 2		= 0.
y'+	1	− x2	= 0.
	1	− x2
Указание: применить формулу
				1 + β	2	+ β	1 − α	2
arcsinα + arcsin β = arcsin α				1 + β		+ β	1 − α		.

Ответ: x 1 − y 2 + y 1 − x2 = c .

1 / 201 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
26.07.2016835.31 Кб2553высшая математика руководство к решению задач часть 3.pdf
#
26.07.2016564.19 Кб138высшая математика Ряды-1.pdf
#
26.07.2016564.19 Кб92высшая математика Ряды.pdf
#
26.07.2016178.67 Кб17высшая математика структура дисциплины часть 3.pdf
#
26.07.2016113.73 Кб17высшая математика структура дисциплины часть 4.pdf
#
26.07.20161.43 Mб98высшая математика теоретический материал часть 3.pdf
#
26.07.2016158.98 Кб33высшая математика установочные лекции часть 3.pdf
#
26.07.201691.65 Кб12высшая математика характеристика дисциплины.pdf
#
26.07.2016505.36 Кб109высшая математика часть 2.pdf
#
26.07.2016500.27 Кб177математика и информатика курс лекций.pdf
#
26.07.20161.17 Mб253математика и информатика метод указания.pdf