245

Решения задач

Глава 2

2.1 (Простая замена)

После расстановки "пробелов" на месте букв Z получаем открытый текст:

A SOLEMN LITTLE REMINDER FROM AN ANCIENT POET THE MOVING FINGER WRITES AND HAVING WRIT MOVES ON NOR ALL THY PIETY NOR WIT SHALL LURE IT

BACK TO CANCEL HALF A LINE NOR ALL THY TEARS WASH OUT A WORD OF IT

Это четверостишие из книги "Рубаи" Омара Хайяма в переводе на английский Эдварда Фитцджеральда.

Глава 3

3.1 (Три сообщения, зашифрованные по Вижанэру)

Поскольку открытые тексты сообщений одинаковые, то при выравнивании сообщений относительно друг друга мы получим совпадение букв шифрованного текста только в том случае, если соответствующие буквы ключевых слов также совпадают. Криптоаналитик обязательно заметит, что если записать тексты в строки по восемь знаков, в шифрованных сообщениях

(1) и (2) имеется довольно много совпадений, и все они попадают в три столбца. То же самое, но в меньшей степени, справедливо для шифрованных сообщений (2) и(3), где все совпадения попадают в один столбец; однако между шифрованными сообщениями (1) и(3) совпадений нет вообще. Это происходит из-за того, что все ключевые слова имеют длину 8, и

–в словах RHAPSODY и SYMPHONY одинаковые буквы стоят на 4-м, 6-м и 8-м местах;

–в словах SYMPHONY и SCHUBERT совпадают только начальные буквы;

–в словах RHAPSODY и SCHUBERT нет одинаковых букв на одних и тех же местах.

Если шифрованные тексты, получившиеся в результате зашифрования сообщения с использованием данных трех ключевых слов, выписать в три строки друг под другом блоками из восьми букв, то получим:

EVWMAGARáYLXIAAHVáWVRMSZOVáXVOSPAHL

FMIMPGKRáZCJIPARVáXMDMHZYVáYMASEARL

246

FQDRJWOMáZGENJQVQáXQYRBPCQáYQVXYQVG

OAOMUCPCáOAOMLVHVáRPDMGTARáYLXESFWW

PRAMJCZCáPRAMAVRVáSGPMVTKRáZCJEHFGW

PVVRDSDXáPVVRULVQáSKKRPJOMáZGEJBVKR

Сообщения (1) и (2), а также (2) и (3) являются частично одноключевыми. Такое наблюдение быстро приведет нас к решению задачи.

3.2 (Вскрытие шифра Вижанэра)

Анализ шифрованного текста выявляет несколько диграфов, которые повторяются не менее четырех раз; среди них есть такие, которые допускают расширение до повторения трех или четырех букв, в том числе: ZMUI, который встречается на 15-м и 135-м местах; ZMUE - на 67-м и 163-м местах; и KRD - на 4-м, 8-м, 172-м и 176-м местах. Все интервалы между этими повторениями кратны 4. Поэтому мы заключаем, что ключ имеет длину 4.

Проанализировав четыре получившихся распределения частот встречаемости знаков шифрованного текста, мы находим, что в первом алфавите в шифрованном тексте "пробелу" почти наверняка соответствует буква M; в третьем алфавите - буква Z; в четвертом - буква S; по второму алфавиту у нас меньше информации, однако с некоторой долей вероятности можно предположить, что "пробел" обозначен буквой D. Благодаря этому можно сделать вывод, что ключ, скорее всего, равен 13-4-0-19, что эквивалентно ключевому слову NEAT.

Это подтверждается расшифрованием нескольких слов. Заменяя Z на "пробел", получаем открытый текст:

THERE ARE SOME THEOREMS WITH A PROOF WHICH IS SO SHORT AND ELEGANT THAT IT SEEMS UNLIKELY THAT A BETTER ONE WILL EVER BE FOUND SUCH IS THE CASE WITH EUCLIDS PROOF THAT THERE ARE AN INFINITE NUMBER OF PRIMES THE PROOF IS IN THE APPENDIX IN THIS BOOK*).

Глава 4

4.1 (Простая перестановка)

Если длина ключа равна 6, то каждый столбец перестановочной таблицы

*) Перевод открытого текста: "Для некоторых теорем найдены столь короткие и красивые доказательства, что, скорее всего, лучшего доказательства никогда на удастся найти. Именно таково доказательство бесконечности ряда простых чисел, предложенное Евклидом. Это доказательство приведено в приложении к этой книге." (см. приложение М4).

247

содержит пять букв; поэтому впишем шифрованный текст по столбцам в таблицу P.1.

Таблица P.1

По-видимому, третья строка может содержать триграф THE. Это подсказывает нам, что столбец 5 или столбец 6 должен стоять сразу же слева от столбца 4. Изучение других диграфов в парах столбцов 5-4 и 6-4 указывает на то, что более вероятной является пара 5-4. Если мы правильно угадали взаимное расположение столбцов 5-4, и слово THE там действительно присутствует, то столбец 4 должен стоять перед одним из столбцов 1, 2 или 3. На данный момент это не очень нам помогает. Поэтому перейдем к анализу других вариантов, в надежде обнаружить столбец, стоящий перед столбцом 5. Мы отметим, что единственным вероятным диграфом в строке 1 является SH, что означает, что столбец 2 должен стоять непосредственно слева от столбца 5. В результате получим частично определенный вероятный порядок столбцов 2-5-4. Если выписать эти три столбца в указанном порядке, то получается таблица P.2.

Таблица P.2

Теперь получить решение довольно легко. Ключ равен 2á5á4á1á3á6, а открытый текст, после расстановки пробелов, будет иметь вид:

SHALLáIáCOMPAREáTHEEáTOáAáSUMMERSáDAY.

4.2(Число возможных перестановочных таблиц)

Вданном конкретном случае, когда девять букв располагаются в трех столбцах, получаются следующие варианты:

248

7, 1, 1; 1, 7, 1; 1, 1, 7; 6, 2, 1; 6, 1, 2; 2, 6, 1; 2, 1, 6; 1, 6, 2; 1, 2, 6;

5, 3, 1; 5, 1, 3; 3, 5, 1; 3, 1, 5; 1, 5, 3; 1, 3, 5; 5, 2, 2; 2, 5, 2; 2, 2, 5; 4, 4, 1; 4, 1, 4; 1, 4, 4;

4, 3, 2; 4, 2, 3; 3, 4, 2; 3, 2, 4; 2, 4, 3; 2, 3, 4; 3, 3, 3.

Всего их 28 (так как никакой столбец в таблице не может иметь 0 букв). Это является частным случаем более общей задачи:

Сколько существует способов представления числа n в виде суммы k натуральных чисел, если учитывается порядок расположения слагаемых?

Можно показать (см. приложение М18), что это число равно

(n 1)! . (k 1)!(n k)!

Подставляя значения n=9 и k=3, получаем

Если n=35, а k=5, то соответствующее число равно (34 33 32 31)/24=46376.

4.3 (Запись в перестановочную таблицу по системе Bousrophedon) Каждый второй вертикальный диграф в первом и в последнем столбце попадет в шифрованный текст без изменения.

Глава 5

5.1. (МДПМ)

Шифрованный текст имеет следующий вид:

CFIGS FLTBC XKEEA EBHTB GLDPI.

Перестановочная таблица 5 5 показана в таблице Р.3.

Таблица Р.3

249

Расшифрование начнем с преобразования монографов обратно в диграфы:

BDCAC DCBAC CAAEB BABBD ECCEB CBCAA BCABC CBBAB CBAEB EDCCD

Таблица Р.4

Перестановка равна 3-1-5-2-4. Поэтому впишем этот текст по вертикали в прямоугольник из пяти столбцов, порядок которых задается перестановкой, см. таблицу Р.4. И наконец, восстановим открытый текст, считывая его из таблицы построчно и преобразуя диграфы обратно в монографы по той же самой таблице 5 5 (см. таблицу Р.3). В результате получаем текст:

WHENSHALLWETHREEMEETAGAIN.

После расстановки пробелов получаем первую строку из трагедии Шекспира "Макбет":

WHEN SHALL WE THREE MEET AGAIN.

5.2. (Шифр Плейфера)

При ключевом слове RHAPSODY таблица зашифрования для шифра Плейфера будет такой, как показано в таблице Р.5.

Таблица Р.5