194

Малая теорема Ферма

Вот несколько элементарных упражнений. Каков будет остаток, если (1)24 разделить на 5?

(2)34 разделить на 5? (3)36 разделить на 7? (4)56 разделить на 7? (5)310 разделить на 11? (6)810 разделить на 11? (7)5996 разделить на 97?

Решения

(1)24=16=3 5+1. Остаток равен 1. (2)34=81=16 5+1. Остаток равен 1. (3)36=729=104 7+1. Остаток равен 1. (4)56=15625=2232 7+1. Остаток равен 1. (5)310=59049=5368 11+1. Остаток равен 1.

(6) В данном случае можно избежать вычислений с большими числами, если использовать модульную арифметику, как описано в главе

1:

8=23,

поэтому

810=230=(25)6=326.

Поскольку

32 -1(mod 11),

то

326 (-1)6=1(mod 11),

иследовательно, остаток равен 1.

(7)Остаток снова равен 1. Поскольку 5996 - это очень большое число, запись которого состоит из 171 цифры, то использование модульной арифметики здесь просто необходимо. В деталях метод подсчета можно найти в M22.

195

Всегда ли остаток равен 1, когда слева показатель степени на единицу меньше значения модуля справа? Нет, это не так. Рассмотрим выражение

214=16384=1092 15+4.

В данном случае остаток равен 4, а не 1. Почему это так? Ответ заключается в том, что 15=3 5, то есть это число не является простым. Малая теорема Ферма справедлива только для случая, когда модуль - простое число, такое как 5,7,11 или 97, как в приведенных выше примерах. Эйлер показал, как изменится формулировка теоремы, если модуль не является простым. В своем первоначальном виде теорема формулируется так:

Малая теорема Ферма

Если p - простое число, а m - любое число, которое не делится на p, то

mp-1 1(mod p),

то есть число mp-1 при делении на p дает остаток 1.

Доказательство этой теоремы совсем несложное, и его довольно легко обобщить, чтобы получить доказательство теоремы Ферма-Эйлера (оно приведено в М23).

Обобщение, сформулированное и доказанное Эйлером, справедливо для любого модуля, но в системе RSA используется частный случай, когда модуль является произведением только двух различных простых чисел.

Поэтому стоит привести формулировку теоремы для этого случая:

Теорема Ферма-Эйлера (для случая системы RSA)

Если p и q - два различных простых числа, а m - любое число, которое не делится на p и q, то

m(p-1)(q-1) 1(mod pq).

В приведенном выше примере мы имели p=3, q=5 и m=2, и согласно данной теореме,

22 4 1(mod 15).

И действительно, 28=256=17 15+1.

196

Ключи зашифрования и расшифрования в системе RSA

Чтобы зашифровать текст с помощью метода RSA, нам потребуется:

(1)большое число n(=pq), являющееся произведением только двух различных простых чисел p и q. Вопрос, как именно отыскивать очень большие простые числа, весьма уместен. Мы уже сталкивались с этой проблемой раньше, в связи с системой рассылки ключей ДиффиХеллмана. В общем случае потребуется значительный объем

вычислений. Поскольку используемые простые числа в данном случае не могут иметь специального вида, такого как 2p-1, то никаких действительно быстрых методов не найдено. Правда, существует метод нахождения предположительно простых чисел, в котором вероятность простоты числа может быть сделана сколь угодно близкой к единице, т.е. число будет простым почти наверное. (Детали можно найти в М24);

(2)целое число e, называемое ключом зашифрования, не имеющее общих делителей с (p-1)(q-1) и с самим числом n;

Для расшифрования текста, зашифрованного по методу RSA, далее нам понадобится

(3) целое число d, называемое ключом расшифрования, которое удовлетворяет условию

ed 1(mod (p-1)(q-1)).

Теперь стоит отметить, что числа e и d симметричны друг относительно друга. Это говорит о том, что если d - ключ расшифрования для e, то e - ключ расшифрования для d. Значение этого факта станет ясно, когда мы будем рассматривать то, каким образом "хозяин" ключа расшифрования d может отвечать своим корреспондентам.

После того, как выбраны n и e, необходимо вычислить число d. Если p и q известны, существует метод нахождения d; но если p и q неизвестны, найти d невозможно. Именно этот факт обеспечивает стойкость системы RSA. Если p и q очень велики (например, более 10200), то найти их за приемлемое время (то есть факторизовать число n) не под силу даже наибыстрейшим компьютерам.

Прежде чем перейти к описанию самого процесса зашифрования, рассмотрим два примера, которые показывают, как найти d по известным значениям p, q и e. В первом примере все величины маленькие; второй пример оперирует несколько большими величинами, хотя они все равно гораздо меньше тех, что подходят для использования в алгоритме шифрования RSA.

197

Пример 13.1

Найти ключ расшифрования d, если n=91, а ключ зашифрования e=29.

Решение

В качестве первого шага отметим, что 91=7 13, поэтому, положив p=7 и q=13, получим

(p-1)(q-1)=6 12=72,

и поскольку число 29 на имеет общих делителей ни с 91, ни с 72, то оно годится в качестве ключа зашифрования по методу RSA. Чтобы найти соответствующий ключ расшифрования d, применяем алгоритм Евклида (он разъяснён в М25). Метод нахождения можно проиллюстрировать следующими шагами:

72=2 29+14, 29=2 14+1,

поэтому

1=29-2 14,

но, как мы видим из первого равенства, 14=72-2 29, и поэтому

1=29-2 (72-2 29)=5 29-2 72, то есть 5 29=2 72+1,

откуда

5 29 1(mod 72)

(т.е. 145=144+1), и следовательно, ключ расшифрования d=5.

Это может показаться странным, но метод состоит в том, чтобы с помощью алгоритма Евклида найти наибольший общий делитель ключа зашифрования e и числа (p-1)(q-1). Поскольку e и (p-1)(q-1) не имеют общих делителей, то их наибольший общий делитель равен единице. Если теперь мы "вернемся назад" по шагам алгоритма Евклида от последней строчки к первой, заменяя каждый раз последнее число справа его выражением через оставшиеся числа, то в конце концов получим ключ расшифрования d, определяемый приведенным выше сравнением из пункта (3). Формальное описание метода и альтернативный подход даны в М25.