235

Глава 13

M21. (Порядок роста количества простых чисел)

Теорема о законе распределения простых чисел (см. [12.1]) утверждает, что с ростом числа N количество простых чисел, меньших N (которое традиционно обозначается (N)), можно асимптотически аппроксимировать величиной

(N ) ~ N . log(N )

Здесь логарифм берется по основанию e.

Отсюда следует, что с ростом N постепенно уменьшается доля простых чисел среди всех натуральных чисел, меньших N. Гаусс сформулировал теорему о законе распределения простых чисел в 1793 году, в результате изучения таблиц простых чисел, меньших 1000, 10000 и 100000; однако он не смог доказать ее. Соответствующие цифры представлены в таблице А.2.

Таблица А.2

Если числа из правого столбца последовательно вычесть друг из друга, мы получим:

8.14- 5.95 = 2.19,

10.43 - 8.14 = 2.29,

12.74 -10.43 = 2.31.

Гаусс предположил, что данная разность должна с ростом N быть относительно постоянной и приблизительно равной 2.3. Поскольку log(10) приблизительно равен 2.3, то отсюда следует, что при увеличении N в десять раз соответствующая доля простых чисел среди всех натуральных чисел, меньших N, должна вырасти в log(10) раз. Это утверждение эквивалентно формулировке теоремы о законе распределения простых чисел. Предположение Гаусса оказалось верным, однако прошло более ста лет, прежде чем теорема о законе распределения простых чисел была, наконец,

236

доказана. См. об этом также [12.1].

M22. Вычисление остатка с использованием модульной арифметики

(1) То, что запись числа (59)96 содержит 171 цифру, следует из того факта, что

96log10(59)=96 (1.77085...)=170.0018...

Отсюда вытекает, что число (59)96 заключено между величинами 10170 и 10171, и следовательно, его запись содержит 171 цифру.

(2) При использовании модульной арифметики бывает выгодно вычесть из показателя степени максимально возможную степень двойки, затем возвести число в степень (нечетного) остатка, и наконец, последовательно возводя его в квадрат, найти требуемое значение. Так, например, поскольку 96=3 32, то если мы вычислим (59)3(mod 97) и последовательно возведем это значение в квадрат пять раз, на каждом этапе приводя результат по модулю 97, то в результате получим нужное нам число. В деталях это выглядит так:

59 59=3481=35 97+86,

следовательно,

(59)3 86 59=5074=52 97+30 30(mod 97),

поэтому

(59)6 (30)2=900=9 97+27 27(mod 97),

поэтому

(59)12 (27)2=729=7 97+50 50(mod 97),

следовательно,

(59)24 (50)2=2500=25 97+75 75(mod 97),

следовательно,

(59)48 (75)2=5625=57 97+96 96(mod 97) -1(mod 97),

237

и наконец,

(59)96 (-1)2=1(mod 97),

то есть, как и утверждалось, (59)96 дает при делении на 97 остаток 1.

М23. Доказательство теоремы Ферма-Эйлера

Полезно будет начать с доказательства малой теоремы Ферма; в этом случае обобщение на случай теоремы Ферма-Эйлера остановится почти очевидным.

Малая теорема Ферма утверждает, что

Если p - простое число, то для любого целого числа M, которое не делится на p, справедливо

M(p-1) 1(mod p).

Доказательство

Полное множество вычетов ("остатков") по модулю p для чисел, которые не делятся на p, есть

1, 2, 3, ..., (p-1).

Умножим каждое из этих чисел на M:

M, 2M, 3M, ..., (p-1)M.

Никакая пара из этого множества чисел не дает по модулю p одного и того же вычета, так как если бы, например, выполнялось

aM bM(mod p),

то в этом случае число M(a-b) делилось бы на p. Однако M не делится на p, а числа a и b оба меньше p. Поэтому все (p-1) этих чисел будет различны по модулю p. Следовательно, это то же самое множество чисел

1, 2, 3, ..., (p-1),

только переставленное в некотором порядке. Поэтому

M 2M 3M ... ((p-1)M) 1 2 3 ... (p-1)(mod p)=(p-1)!(mod p).

238

Поскольку число (p-1)! не имеет общих делителей с p, то его можно исключить из обеих частей последнего сравнения, после чего получаем:

M(p-1) 1(mod p),

что и доказывает Малую теорему Ферма.

Доказательство теоремы Ферма-Эйлера

Теперь мы имеем дело с составным модулем N. Доказательство выполняется аналогично предыдущему, но теперь вместо использования всех вычетов по модулю p мы должны рассмотреть только те из них, которые не имеют с N общих делителей. Если обозначить их через

a1, a2,..., ak,

где k= (N), а (N) - это функция Эйлера, определенная в М11. Если каждый из этих вычетов умножить на M, то они, как и ранее, все останутся различными, так как если бы выполнялось

Mar Mas (mod N),

то M(ar-as) делилось бы на N. Но это невозможно, так как M не имеет с N общих делителей, а (ar-as) меньше N. Итак, мы доказали, что

если M не имеет с N общих делителей, то

M (N) 1(mod N),

итеорема Ферма-Эйлера доказана.

Всистеме шифрования RSA нам понадобится только частный случай,

когда N=pq, где p и q - два различных простых числа. В этом случае (N)=(p- 1)(q-1).

М24. Нахождение чисел, "предположительно" являющихся простыми

С помощью "решета Эратосфена" можно найти все простые числа, меньшие заданного числа N. Это - стандартный метод, если необходимо найти именно список всех простых чисел. Если же, однако, нам нужно только проверить,

является ли конкретное число простым, то составлять список всех простых чисел вовсе не обязательно. К тому же, если число очень велико, то это потребует солидных затрат времени. К сожалению, в общем случае не