216

случаев наш предполагаемый список всех простых чисел оказывается неполным. Поэтому множество простых чисел бесконечно.

Например, если бы кто-нибудь стал утверждать, что простыми являются только числа 2, 3 и 5, то он получит N=31, это простое число. Если затем он добавит число 31 к списку простых чисел, то

N= 2 3 5 31+1 = 931 =7 7 19,

ион получит простые числа 7 и 19, не входящие в список, и так далее до бесконечности.

Глава 6

М5. Последовательность чисел Фибоначчи

Через Un обозначим n-й элемент последовательности. Тогда последовательность порождается линейной рекуррентой

U(n+1) = Un + U(n-1), где U0 = 0 и U1 = 1.

Стандартный метод нахождения общего решения любой линейной рекурренты (такой, как эта) заключается в том, чтобы искать это решение в виде

Un A n B n ,

где A, B, и являются константами. Подставим это выражение в данную рекурренту. Чтобы общий член последовательности имел такой вид, необходимо, чтобы и являлись корнями квадратного уравнения

X2 - X - 1 = 0.

Если в качестве взять положительный корень уравнения, то имеем:

или, в десятичной записи, = 1.6180... и =-0.6180...

Значения A и B находим, налагая начальные условия Un = 0 и U1 = 1, откуда получаем: