112

Глава 8. Получение случайных чисел и букв

Случайные последовательности

Предположим, у нас есть длинная последовательность нулей и единиц, то есть длинная двоичная последовательность. Что мы имеем в виду, когда говорим, что последовательность "случайная"? Первым очевидным критерием случайности будет такой: по-видимому, логично предполагать, что она должна содержать "примерно равное количество" нулей и единиц. Но что означает здесь слово "примерно"?

Если длина последовательности ровно 1000 знаков, это совсем не означает, что мы обязательно требуем, чтобы в ней было ровно по 500 нулей и единиц. Но если в ней оказывается, например, 700 нулей и 300 единиц, то мы, конечно, подумаем, что это не случайная последовательность. Где-то посередине между этими двумя крайностями лежит граница приемлемости того, что мы готовы считать случайным: к примеру, 530 нулей и 470 единиц. Но у другого человека эти границы будут другими. Предположим, однако, что последовательность состоит из 500 нулей, за которыми следуют 500 единиц. Можем ли мы считать ее случайной, поскольку и тех, и других в ней ровно по 500? Конечно же нет, поскольку в случайной последовательности каждый из четырех двузначных наборов , 00, 01, 10 и 11, по нашему мнению, должен встретиться "около 250 раз", а здесь наборы 00 и 11 встречаются по 499 раз, 01 встречается только однажды, а 10 и вовсе отсутствует. Если же последовательность прошла и этот тест, мы поставим следующий вопрос: верно ли, что все восемь трехзначных наборов 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110 и 111 встречаются "примерно по 125 раз", и так далее. Различных требований такого типа можно сформулировать бесконечно много. Существует обширная математическая литература по тестам, применяемым для проверки последовательностей, чтобы можно было обоснованно утверждать, что она "случайная". И наоборот, существует обширная литература, содержащая описание методов получения последовательностей, которые, не являясь в точности "случайными", удовлетворяют разнообразным тестам на случайность, и поскольку считаются достаточно непредсказуемыми, находят применение в определенных ситуациях. Если не вдаваться в подробности математических критериев проверки последовательности на случайность, то для наших целей подойдет следующее определение.

Определение 8.1 Двоичная последовательность считается случайной, если, сколько бы ее

знаков нам ни было известно, вероятность появления нуля вслед за ними равна 0,5.

113

Именно так обстоит дело при многократном бросании "симметричной" монеты: вне зависимости от предыстории вероятность выпадения "орла" при очередном бросании всегда равна 0,5, или, если говорить об отклонении от среднего, "шансы равны".

Ничего особенного в двоичных последовательностях нет, и наше определение случайности можно с минимальными изменениями применить к последовательностям десятичных знаков или букв.

Определение 8.2 Последовательность десятичных знаков считается случайной, если, сколько

бы ее знаков нам ни было известно, вероятность того, что следующий знак примет конкретное значение, равна 0,1.

Определение 8.3 Последовательность букв латинского алфавита считается случайной, если,

сколько бы ее знаков нам ни было известно, вероятность того, что следом встретится конкретная буква, равна 1/26.

Получение случайных последовательностей

Истинно случайная последовательность может быть получена только с помощью истинно случайного процесса, и поэтому, в частности, не может быть выработана с помощью никакой математической формулы, так как знание формулы и достаточного числа начальных значений (т.е. знаков, уже полученных с помощью данной формулы) позволит с уверенностью предсказать следующее значение. Однако существуют формулы, дающие достаточно длинные числовые последовательности, которые удовлетворяют многим критериям случайности, пока они не начнут повторяться; такие последовательности называются "псевдослучайными". Ниже мы расскажем о некоторых из них, но сначала рассмотрим несколько способов получения истинно случайных последовательностей.

Бросание монеты

Если много раз подбрасывать симметричную монету и каждый раз при выпадении "орла" записывать "1", а при выпадении "решетки" записывать "0", мы должны получить двоичную случайную последовательность. На практике же в ней возможны отклонения, например, из-за того, что бросание всегда производится одинаковым образом. К тому же это очень медленный способ выработки случайной последовательности, и пожалуй, его стоит

114

использовать только если нет никакого другого способа. Говорят, что один военнопленный, чтобы чем-нибудь занять себя, произвел много тысяч бросаний монеты и проанализировал полученную последовательность с помощью ряда тестов.

Бросание костей

Менее трудоемкая процедура основана на бросании двух игральных костей. Кости должны отличаться друг от друга; предположим, что одна из костей окрашена в красный цвет, а другая в голубой. Бросаем обе кости и вычислим значение

6 (значение красной кости)+(значение голубой кости)-7.

Затем

(1)отвергаем полученное число, если оно превосходит 29;

иначе

(2)записываем остаток от деления полученного числа на 10.

Полученная последовательность десятичных цифр должна быть случайной.

Такие странные правила нам понадобились, так как грани костей помечены цифрами от 1 до 6, а не от 0 до 5, и так как всего возможно 36 комбинаций. Диапазон возможных значений получается, таким образом, от 0 до 35. Поэтому чтобы гарантировать равенство шансов на появление для всех цифр от 0 до 9, необходимо отбрасывать все числа, большие 29.

Можно использовать больше двух костей; тогда за одно бросание можно получить более одного случайного десятичного знака. Например, для четырех костей существует 1296 возможных исходов, и если мы покрасим кости в красный, голубой, зеленый и белый цвета и вычислим значение

216 красный+36 голубой+6 зеленый+белый-259,

отвергая любое число, большее 999, то можно рассматривать полученное таким образом трехзначное число как следующие три элемента случайной десятичной последовательности.

У такого подхода есть множество возможных вариаций; например, пару костей можно заменить на колесо рулетки, которое имеет 37 секторов, пронумерованных от 0 до 36. Секторы с 30 по 36 необходимо игнорировать, тогда младшая цифра номера "выигравшего" сектора дает следующую случайную десятичную цифру. Это довольно расточительный способ: эффективнее в этом случае было бы игнорировать сектора с 32 по 36 и

115

преобразовывать все остальные номера (от 0 до 31) в двоичные числа, получая, таким образом, пять двоичных знаков за один раз. Двоичные знаки в обиходе также известны как биты; именно так их часто называют. Двоичная гамма широко используется в криптографии. Ее достоинство не только в том, что операция сложения по модулю 2 очень просто устроена, и к тому же совпадает с операцией вычитания по модулю 2, что делает зашифрование и расшифрование одинаковым, но и в том, что двоичную арифметику очень просто реализовать в электронных устройствах, и поэтому она особенно хорошо подходит для шифрмашин и их компьютерных симуляторов.

Извлечение из урны (по типу лотереи)

Возможно использование системы, применяемой для розыгрыша номеров в лотерею (или бинго), с одним изменением: извлеченный номер немедленно возвращается обратно в барабан. Таким образом, в барабане вращаются 100 шаров, пронумерованных от 00 до 99. Шары извлекаются по одному, и номер извлеченного шара записывается, пополняя таблицу случайных чисел двумя десятичными цифрами. Извлеченный шар необходимо вернуть обратно в барабан, иначе его невозможно будет снова извлечь, и в этом случае на каждой странице из 100 двузначных десятичных чисел каждый из номеров будет встречаться один, и только один раз, а тогда последовательность уже не будет случайной. На типичной странице из 100 двузначных случайных чисел несколько номеров должны встретиться по три, или даже по четыре раза, в то время как от 30 до 40 номеров могут не встретиться вовсе. (Объяснение см. в приложении M8.)

Космические лучи

Космические лучи возникают, когда частицы солнечного излучения входят в атмосферу Земли, и в результате соударений рождается каскад новых частиц. Это - "природный" источник (предположительно) случайных событий. Если установить в помещении десять детекторов, таких как счетчики Гейгера, пронумеровав их от 0 до 9, и фиксировать порядок их срабатывания, мы получим подлинно непредсказуемую десятичную последовательность. Необходимо только позаботиться о том, чтобы во время срабатывания одного из детекторов не фиксировалось никакое другое событие до тех пор, пока детектор не вернется в исходное состояние, иначе в результирующей последовательности будет недостаточно "дуплетов", таких как 00, 11, и т.д.