ции y = f(x), определяющей кривую, согласно следующей формуле:

f00(x)

k= (1 + (f0(x))2)3/2 .

8.Максимумы и минимумы. Чтобы найти наибольшие и наименьшие значения заданной функции f(x), мы прежде всего должны составить ее производную f0(x), найти затем те значения x, при которых эта производная обращается в нуль, и наконец, исследовать, в каких точках из числа найденных функция имеет максимум и в каких — минимум. Последний из этих вопросов может быть решен с помощью второй производной f00(x), знак которой указывает на выпуклость или вогнутость графика кривой; если же вторая производная обращается в нуль, то обыкновенно это указывает на то, что мы имеем дело с точкой перегиба, и тогда экстремума нет. Принимая во внимание знаки первой

ивторой производных, можно не только найти экстремумы функции, но и определить вид ее графика. Указанный способ позволяет нам выделить те значения x, при которых функция имеет экстремум; для того чтобы найти соответствующие значения самой функции y = f(x), нужно сделать подстановку найденных значений x в выражение f(x).

В качестве примера рассмотрим многочлен

f(x) = 2x3 − 9x2 + 12x + 1;

его производные выражаются формулами

f0(x) = 6x2 − 18x + 12, f00(x) = 12x − 18.

Квадратное уравнение f0(x) = 0 имеет корни x1 = 1, x2 = 2, и в этих точках значения второй производной равны f00(x1) = −6 < 0, f00(x2) = 6 > 0.

Следовательно, функция f(x) имеет максимум f(x1) = 6 и минимум f(x2) = 5.

иq положительными. Имеют ли максимум эти функции?

4)Найдите максимум и минимум функций sin x и sin(x2).

§ 3. Техника дифференцирования

До сих пор наши усилия были направлены на то, чтобы продифференцировать целый ряд отдельных функций, причем мы предварительно придавали надлежащий вид разностному отношению. Важным шагом вперед в работах Ньютона, Лейбница и их последователей была замена этих разрозненных индивидуальных приемов мощными общими

методами. С помощью этих методов можно почти автоматически дифференцировать любую функцию из числа тех, с которыми обыкновенно приходится иметь дело в математике; нужно только запастись небольшим числом простых правил и уметь их применять. Совокупность этих приемов приобрела характер вычислительного «алгоритма».

Мы не можем вникать в подробности этой техники. Укажем только немногие наиболее простые правила.

а) Дифференцирование суммы. Если a и b — постоянные, и функция k(x) задана формулой

k(x) = af(x) + bg(x),

то, как это легко докажет сам читатель, справедливо следующее:

k0(x) = af0(x) + bg0(x).

Аналогичное правило имеет место при любом числе слагаемых.

б) Дифференцирование произведения. Производная произведения

p(x) = f(x) g(x)

выражается формулой

p0(x) = f(x) g0(x) + f0(x) g(x).

Это легко доказывается следующим приемом: прибавим и отнимем от p(x + h) − p(x) одно и то же выражение, а именно f(x + h) g(x):

p(x + h) − p(x) = f(x + h) g(x + h) − f(x) g(x) =

= f(x + h) g(x + h) − f(x + h) g(x) + f(x + h) g(x) − f(x) g(x).

Объединяя первые два и последние два члена, мы получим

Заставим теперь h стремиться к нулю; поскольку f(x + h) при этом стремится к f(x), наше утверждение доказывается немедленно.

Упражнение. Пользуясь этим правилом, докажите, что производная функции p(x) = xn есть p0(x) = nxn−1. (Указание: примите во внимание, что xn = x · xn−1, и примените математическую индукцию.)

С помощью правил а) и б) можно дифференцировать любой полином

f(x) = a0 + a1x + . . . + anxn:

его производная равна выражению

f0(x) = a1 + 2a2x + 3a3x2 + . . . + nanxn−1.

В качестве одного из применений можно доказать биномиальную теорему (см. стр. 35). Согласно этой теореме, степень бинома (1 + x)n разлагается в полином следующего вида:

458 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII

где коэффициент ak дается формулой

Мы уже видели (упражнение на стр. 444), что дифференцирование левой части формулы (1) дает n(1 + x)n−1. На основании предыдущего пункта

Если теперь в этой формуле положить x = 0, то получим n = a1, что соответствует формуле (2) при k = 1. Снова продифференцируем формулу (3) и тогда будем иметь

n(n − 1)(1 + x)n−2 = 2a2 + 3 · 2a3x + . . . + n(n − 1)anxn−2.

Подстановка в эту формулу нуля вместо x дает n(n − 1) = 2a2, в соответствии с формулой (2) при k = 2.

Упражнение. Докажите формулу (2) при k = 3 и при любом k (с помощью математической индукции).

в) Дифференцирование частного. Если

q(x) = f(x) , g(x)

то

q0(x) = g(x) f0(x) − f(x) g0(x) .

(g(x))2

Доказательство предоставляется в виде упражнения читателю. Очевидно, нужно предполагать, что g(x) 6= 0.

Упражнение. С помощью последнего правила выведите производные от tg x и ctg x, зная производные от sin x и cos x. Докажите, что производными

Мы умеем теперь дифференцировать любую функцию, являющуюся отношением двух многочленов. Например,

Упражнение. Продифференцируйте функцию

f(x) = x1m = x−m,

предполагая m целым положительным. Результат:

f0(x) = −mx−m−1.

§ 3 ТЕХНИКА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 459

г) Дифференцирование обратных функций. Если функции

y = f(x) и x = g(y)

√

взаимно обратны (например, y = x2 и x = y), то производная одной из них является обратной величиной по отношению к производной другой.

Именно,

g0(y) = f01(x) .

Это утверждение легко доказать, если обратиться ко взаимно обрат-

рической интерпретации обратных функций, приведенной на стр. 302, если отнести наклон касательной к оси y, а не к оси x.

В качестве примера продифференцируем функцию

√

y = f(x) = m x = x1/m,

обратную по отношению к функции x = ym (см. также более полное рассуждение, относящееся к случаю m = 12 , на стр. 444). Поскольку функция x = ym имеет своей производной выражение mym−1, то мы

откуда, делая подстановки y = x1/m и y−m = x−1, получим: f0(x) = m1 x1/m−1.

В качестве следующего примера продифференцируем обратную тригонометрическую функцию (см. стр. 302)

y = arctg x (что равносильно x = tg y).

Для того чтобы обеспечить однозначное определение функции y, предположим, что переменная y, обозначающая меру угла в радианах,

Таким же точно путем читатель сможет вывести следующие формулы:

460 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII

Наконец, мы приходим к следующему важному правилу:

д) Дифференцирование сложных функций. Сложные функции со-

z = sin(x2) — из функций z = sin y и y = x2; функция z = sin x1 — из

где y1 = f(x1) и z1 = g(y1) = k(x1); при стремлении x1 к x левая часть стремится к k0(x), а два множителя в правой части стремятся соответственно к g0(y) и к f0(x), чем и доказывается формула (4).

В этом доказательстве было необходимо условие y1 − y 6= 0. В самом деле, мы делили на y = y1 − y; поэтому нужно было считать исключенными те значения x1, при которых y1 − y = 0. Однако формула (4) остается в силе даже в том случае, если y равно нулю в проме-

емом случае.

4) Продифференцируйте функцию

pp

u = c1 (x − x1)2 + y12 + c2 (x − x2)2 + y22

и докажите минимальные свойства отраженного и преломленного луча, установленные в главе VII (стр. 352 и стр. 403). Предполагается, что отражение и преломление происходят в точке на оси x и что данные начальная и конечная точки заданы координатами (x1, y1) и (x2, y2).

(Примечание. Производная от этой функции обращается в нуль только в одной точке, и поскольку в этой точке неизбежно имеется минимум, а не максимум, нет необходимости исследовать вторую производную.)

Дальнейшие задачи на максимум и минимум

5) Найдите экстремумы следующих функций, наметьте их графики, определите промежутки возрастания, убывания, выпуклости и вогнутости:

6)Изучите максимумы и минимумы функции x3 + 3ax + 1 в зависимости от значения параметра a.

7)Которая из точек гиперболы 2y2 − x2 = 2 — самая близкая к точке x = 0,

y = 3?

8)Из всех прямоугольников данной площади найдите прямоугольник с самой короткой диагональю.

9)Впишите прямоугольник наибольшей площади в эллипс

x2 + y2 = 1. a2 b2

10) Из всех круговых цилиндров данного объема найдите цилиндр с наименьшей поверхностью.