Существование предела (6a) не требует доказательства, если мы допустим как само собой разумеющееся понятие «площади под кривой», а также и возможность приближения этой площади с помощью прямоугольников. И все же, как это выяснится из дальнейших рассуждений (стр. 489), более глубокий анализ показывает, что для того, чтобы определение интеграла было логически совершенным, желательно и даже необходимо доказать существование этого предела независимо от первоначального геометрического представления о площади и притом какова бы ни была непрерывная функция f(x).

Рис. 262. Произвольность разбиения области определения функции при общем определении интеграла

4. Примеры интегрирования. Интегрирование функции xr.

До сих пор наши рассуждения об интеграле были чисто теоретическими. Возникает основной вопрос по поводу рассмотренного построения сумм Sn по общей установленной схеме и последующего перехода к пределу: ведет ли эта процедура к каким-либо осязаемым результатам в отдельных конкретных случаях? Конечно, решение этого вопроса потребует некоторых дополнительных рассуждений, приспособленных к тем специальным функциям f(x), от которых нужно найти интеграл.

Когда Архимед две тысячи лет назад вычислил площадь параболического сегмента, он выполнил то, что мы теперь называем интегрированием функции f(x) = x2, притом чрезвычайно остроумным способом; в XVII столетии предшественники Ньютона и Лейбница успешно решили проблему интегрирования таких простых функций, как xn, опять-таки с помощью специальных приемов. Только после рассмотрения большого числа конкретных примеров был найден общий подход к проблеме интегрирования на основе систематического метода, и таким образом область разрешимых задач была сильно расширена. В настоящей главе мы рассмотрим небольшое число отдельных конструктивных задач, принадлежащих к эпохе «праанализа», так как для операции интегрирования, понимаемой как предельный процесс, лучшей иллюстрации не

436 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII

придумаешь.

а) Начнем с совершенно тривиального примера. Если y = f(x) явля-

b

R

ется константой, например, f(x) = 2, то, очевидно, интеграл 2 dx, по-

a

нимаемый как площадь, равен 2(b − a), поскольку площадь прямоугольника равна произведению основания на высоту. Сравним этот результат с определенным интегралом. Если в формуле (5) мы подставим f(xj) = 2 для всех значений j, то при любом значении n найдем, что

n

X

x = (x1 − x0) + (x2 − x1) + . . . + (xn − xn−1) = xn − x0 = b − a.

j=1

б) Почти так же просто проинтегрировать функцию f(x) = x. В этом

b

R

примере интеграл xdx является площадью трапеции (рис. 263), следо-

a

вательно, согласно элементарной геометрии выразится формулой

(b − a) b + a = b2 − a2 .

2 2

Этот же результат получается и из определения интеграла (6), в чем можно убедиться фактическим переходом к пределу без обращения к геометрическому представлению: если мы в формуле (5) положим f(x) = x, то сумма Sn примет вид

nn

XX

Sn = xj x = (a + j x)Δx =

Применяя формулу для суммы арифметической прогрессии 1 + 2 + 3 +

. . . + n, выведенную на стр. 31, формула (1), мы получим

Sn = na x + n(n + 1) (Δx)2.

2

И так как

x = b −n a,

то отсюда следует

Sn = a(b − a) + 12 (b − a)2 + 21n(b − a)2.

Пусть теперь n стремится к бесконечности; тогда переход к пределу даст результат

в полном соответствии с геометрической интерпретацией интеграла как площади.

(b, b)

в) Менее тривиальным является интегрирование функции f(x) = x2. Архимед употребил геометрический метод при решении эквивалентной задачи — нахождении площади сегмента параболы y = x2. Здесь мы будем действовать аналитически, базируясь на определении (6a). Чтобы упростить формальные выкладки, в качестве «нижнего предела» интеграла a выберем 0; тогда x = nb . Так как xj = j · x и f(xj) = j2(Δx)2, то для суммы Sn мы получим выражение

n

X

Sn = (j x)2 x = [12 · (Δx)2 + 22 · (Δx)2 + . . . + n2 · (Δx)2] · x =

j=1

= (12 + 22 + . . . + n2) · (Δx)3.

Теперь можно фактически вычислить предел. Применяя формулу

Это предварительное преобразование облегчает предельный переход: при неограниченном возрастании n обратная величина n1 стремится к

следовательно, окончательный результат имеет вид

b

Z

x2 dx = b3 .

3

0

Применяя этот результат к площади от 0 до a, получим

a

Z

x2 dx = a3 ;

3

0

наконец, вычитание площадей дает

b

Z

x2 dx = b3 − a3 .

3

a

Упражнение. Тем же способом, употребляя формулу (5) со стр. 33, до-

кажите, что

b

Z

x3 dx = b4 − a4 .

4

a

Применяя общие формулы для сумм 1k + 2k + . . . + nk k-х степеней целых чисел от 1 до n, можно было бы получить результат

b

Z

a

при любом целом положительном значении k.

* Вместо того чтобы действовать этим путем, мы можем получить несколько проще даже более общий результат, воспользовавшись сделанным раньше замечанием о возможности вычислить интеграл и при неравноотстоящих точках деления. Мы выведем формулу (7) не только для любого целого положительного k, но и для любого положительного или отрицательного рационального числа

где u — целое положительное, а v — целое положительное или отрицательное число. Исключается только значение k = −1, при котором формула (7) теряет смысл. Предположим также, что 0 < a < b.

Чтобы получить формулу (7), построим сумму Sn, выбирая точки деления

q

x0 = a, x1, x2, . . . , xn = b в геометрической прогрессии. Положим n ab = q,

так что bn = qn, и определим: x0 = a, x1 = aq, x2 = aq2, . . . , xn = aqn = b. При an

таком выборе значений xj, как мы увидим, предельный переход совершается особенно просто. Поскольку f(xj) = xkj = akqjk и xj = xj+1 − xj = aqj+1 − aqj, мы будем иметь выражение

Sn = ak(aq − a) + akqk(aq2 − aq) + akq2k(aq3 − aq2) + akq(n−1)k(aqn − aqn−1).

Так как каждый член содержит множители ak(aq − a), то можно написать

Sn = ak+1(q − 1){1 + qk+1 + q2(k+1) + . . . + q(n−1)(k+1)}.

Подставляя t вместо qk+1, видим, что выражение в скобках является геометрической прогрессией 1 + t + t2 + . . . + tn−1, сумма которой, как показано на

стр. 32, равна tn − 1 . Но t − 1

где

N = qk+1 − 1 . q − 1

До сих пор n было фиксированным числом. Пусть теперь n возрастает; опреде-

жения N стремятся к нулю, что побуждает к осторожности. Предположим сначала, что k — целое положительное число, тогда можно осуществить деление на q − 1, и мы получим (см. стр. 120): N = qk + qk−1 + . . . + q + 1. Если теперь n возрастает, так что q стремится к 1, а следовательно, и q2, q3, . . . , qk также стремятся к 1, то N стремится к k + 1. Но из этого вытекает, что Sn

стремится к bk+1 − ak+1 , что и требовалось доказать. k + 1

Упражнение. Докажите, что при любом рациональном k 6= −1 остается в силе та же самая предельная формула N → k + 1, а следовательно, сохраняется и результат (7). Сначала дайте доказательство, следуя нашему образцу, в

Если n возрастает, так что q и s стремятся к 1, то отношения в последней части равенства стремятся соответственно к u + v и к v, что в качестве предела

В § 5 мы увидим, каким образом с помощью мощных методов анализа можно упростить это длинное и несколько искусственное рассуждение.

Упражнения. 1) Проверьте предшествующее интегрирование xk для

(Указание: рассмотрите графики функций под знаком интеграла, принимая во внимание их симметрию по отношению к оси x = 0, и интерпретируйте интегралы как площади.)

*4) Проинтегрируйте sin x и cos x в пределах от 0 до b, подставляя h вместо x и применяя формулы со стр. 512.

5) Проинтегрируйте f(x) = x и f(x) = x2 в пределах от 0 до b, произво-

дя раздробление на равные части и в формуле (6a) выбирая значения vj = xj + xj+1 .

2

*6) Пользуясь результатом (7) и определением интеграла с равными значениями для x, докажите предельное соотношение

(Указание: напишите эту сумму так, чтобы ее предел являлся некоторым интегралом.)

8) Вычислите площадь параболического сегмента, ограниченного дугой P1P2 и хордой P1P2 параболы y = ax2, выражая результат через координаты точек P1 и P2.

5. Правила «интегрального исчисления». Важной ступенью в развитии интегрального исчисления явилось формулирование некоторых общих правил, с помощью которых более сложные задачи могут сводиться к более простым, а тем самым могут быть решены почти механически. Алгоритмический характер этих правил особенно ярко подчеркивается обозначениями Лейбница. Однако слишком сосредоточивать внимание на механизме решения задач при изучении анализа значило бы снижать содержание предмета и могло бы привести к пустой долбежке.

Некоторые простые правила интегрирования следуют сразу или из определения (6), или из геометрической интерпретации интегралов как площадей.