ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

точке R0. Когда A убывает еще дальше, «рожки» отделяются и у прочих вершин. При достаточно малых положительных значениях A мы будем иметь равносторонний треугольник, составленный из трех круговых дуг одного и того же радиуса, касающихся друг друга в вершинах P 0, Q0, R0, с добавлением трех «дважды считаемых» отрезков P 0P , Q0Q, R0R (рис. 234). Наконец, при обращении A в нуль названный треугольник обращается в точку, и мы получаем решение проблемы Штейнера, которая, таким образом, оказывается предельным случаем обобщенной (указанным выше способом) изопериметрической проблемы.

Если P , Q, R образуют тупоугольный треугольник с углом в 120◦ или больше, то при стремлении A к нулю в пределе также получается решение проблемы Штейнера, так как круговые дуги в конце концов сливаются со сторонами тупого угла. Аналогичным образом, путем предельного перехода от изопериметрической проблемы, могут быть получены и решения обобщенной проблемы Штейнера (см. рис. 216–218 на стр. 382).

§10. Вариационное исчисление

1.Введение. Изопериметрическая проблема представляет собой, пожалуй, самый старый пример обширного класса важных проблем,

ккоторым было привлечено общее внимание в 1696 г. Иоганном Бернулли. В «Acta Eruditorum», выдающемся научном журнале той эпохи, он поставил следующую проблему «о брахистохроне». Материальная частица скользит без трения по некоторой кривой, соединяющей выше расположенную точку A с ниже расположенной точкой B. Предполагая, что на частицу не действуют никакие силы, кроме силы тяжести, требуется установить, какова должна быть кривая AB, чтобы время, нужное для спуска от A к B, было наименьшим. Легко понять, что для спуска частицы от A к B необходимо то или иное время в зависимости от выбора пути. Прямолинейный отрезок никоим образом не обеспечивает наименьшего времени; то же приходится сказать о круговых дугах и других элементарных кривых. Бернулли объявил, что он обладает замечательным решением поставленной задачи, которого, однако, не хочет пока публиковать, имея в виду побудить крупнейших математиков своего времени приложить свое искусство к математическим задачам нового типа. В частности, он вызвал на состязание своего старшего брата Якоба, с которым был тогда в резко враждебных отношениях и открыто именовал невеждой. Своеобразие задачи о брахистохроне вскоре действительно было оценено математическим миром. В проблемах, исследованных до того времени с помощью дифференциального исчисления, подлежащая минимизации величина зависела от одной или нескольких (в конечном числе) числовых переменных; в этой же задаче

рассматриваемая величина — время спуска — зависит от всей кривой в целом, чем и обусловливается существенное различие; именно по указанной причине задача о брахистохроне не могла быть решена ни методом дифференциального исчисления, ни каким-либо другим, известным в те времена приемом.

Новизна поставленной проблемы (по-видимому, то обстоятельство, что доказательство изопериметрического свойства круга представляет собой вопрос той же природы, не было тогда еще осознано) подействовала на современников Бернулли, в особенности когда выяснилось, что решением задачи является циклоида — как раз незадолго до того открытая кривая. (Напомним определение циклоиды: так называют траекторию движения точки, находящейся на окружности, которая катится без скольжения по прямой линии — рис. 236. Эта кривая уже раньше была поставлена в связь с некоторыми интересными задачами механического содержания, в частности, с конструированием идеального маятника.) Гюйгенс установил, что если тяжелая частица (точка) совершает (без трения, под влиянием силы тяжести) колебательное движение по циклоиде, расположенной в вертикальной плоскости, то период колебания не зависит от амплитуды (размаха). Напротив, на круговой дуге, представляющей собой траекторию движения обыкновенного маятника, такого рода независимость имеет лишь приближенный характер, и в этом обстоятельстве усматривалась непригодность круговой дуги при конструировании точных часов. Циклоиде было присвоено, в связи с указанным обстоятельством, наименование таутохроны, но теперь она стала именоваться также и брахистохроной1.

Рис. 236. Циклоида

2. Вариационное исчисление. Принцип Ферма в оптике.

Среди различных методов, с помощью которых решение брахистохронной проблемы было найдено братьями Бернулли и другими учеными, мы выберем и изложим здесь один из самых ранних в историческом смысле. Первые предложенные методы носили более или менее специальный характер, будучи более приспособлены к специфическим задачам. Но очень скоро Эйлер и Лагранж (1736–1813) разработали более общие методы для решения экстремальных проблем, в которых независимым

1Таутохрона — от греч. tauto (равно), qrouos (время); брахистохрона — от греч. braqus (короткий), qrouos. — Прим. ред.

элементом является не одна или несколько (в конечном числе) числовых переменных, а кривая или функция в целом, или даже система кривых (функций). Новый метод решения подобного рода проблем получил название вариационного исчисления.

Дать здесь изложение этой ветви математики в ее техническом аспекте или же проанализировать сколько-нибудь глубоко отдельные относящиеся сюда проблемы не представляется возможным. Вариационное исчисление имеет множество применений в физических теориях. Было замечено с давних пор, что явления природы часто следуют тем или иным экстремальным принципам. Как мы уже видели, Герон Александрийский усмотрел, что отражение светового луча плоским зеркалом хорошо описывается на основе принципа минимума. Ферма — уже в XVII столетии — сделал следующий шаг, заметив, что и закон преломления света также прекрасно выражается в терминах минимального принципа. Отлично известно, что при переходе светового луча из одной однородной среды в другую путь его изменяет направление. Так, световой луч, идущий из точки P (рис. 237) в верхней среде, где скорость равна v, в точку R в нижней среде, где скорость есть w, совершит ломаный путь P QR. Снеллиус (1591–1626) сформулировал найденный им эмпирическим путем закон,

согласно которому путь состоит из двух P прямолинейных отрезков P Q и QR, обра-

зующих с нормалью углы a и a0, причем

sin a v

sin a0 = w . С помощью дифференциально-

го исчисления Ферма установил, что этот путь как раз обладает тем свойством, что время, нужное для прохода луча из P в R, минимально, т. е. меньше, чем понадобилось бы при прохождении по любому иному пути. Таким образом, спустя шестнадцать столетий геронов закон отражения

света был дополнен подобным ему и столь же важным законом преломления.

Ферма обобщил формулировку этого закона, распространяя его на случай кривых поверхностей раздела между двумя средами, каковы, например, сферические поверхности линз. Оказывается, что и в этом случае световой луч следует пути, обладающему тем свойством, что время, нужное для его прохождения, меньше, чем понадобилось бы при выборе любого другого пути. Наконец, Ферма рассмотрел и случай произвольной оптической системы, в которой скорость света меняется по определенному закону от точки к точке, например так, как это происходит в атмосфере. Он разделил непрерывную неоднородную среду

на тонкие слои, в каждом из которых скорость света приблизительно постоянна, и представил себе новую, воображаемую среду, в которой скорость света действительно постоянна в пределах каждого слоя. При таких условиях можно было применять прежний принцип при переходе от каждого слоя к следующему. Затем, допуская, что толщина каждого слоя стремится к нулю, он получил общий принцип геометрической оптики (известный ныне под именем принципа Ферма): в неоднородной среде световой луч, идущий от одной точки к другой, следует по такому пути, что время, нужное для его прохождения, меньше, чем понадобилось бы при прохождении любого иного пути. Этот принцип оказался в высшей степени полезным не только теоретически, но и практически. В геометрической оптике, оперируя техническим аппаратом вариационного исчисления, пользуются этим принципом как основным орудием при расчетах систем линз.

Минимальные принципы стали затем господствующими и в других областях физики. Так, было замечено, что устойчивое равновесие механической системы бывает достигнуто при таком расположении, при котором «потенциальная энергия» минимальна. Рассмотрим, например, свободно изгибаемую однородную цепь, подвешенную за два ее конца и предоставленную действию силы тяжести. Тогда цепь займет именно такое положение, при котором потенциальная энергия ее будет наименьшей. В указанном примере потенциальная энергия зависит от высоты центра тяжести относительно некоторой постоянной оси. Кривая, образованная свободно подвешенной цепью, называется цепной линией и по внешнему виду несколько напоминает параболу.

Не только закон равновесия, но и законы движения подчиняются экстремальным принципам. Отчетливые представления об этих принципах впервые возникли у Эйлера, тогда как люди, склонные к спекулятивным размышлениям философского и мистического характера, как, например, Мопертюи (1698–1759), не были способны дать точные математические формулировки и ограничивались смутными высказываниями по поводу «божественного регулирования физических явлений общими принципами наивысшего совершенства». Эйлеровы вариационные принципы в области физики, вновь открытые и обобщенные ирландским математиком Гамильтоном (1805–1865), стали впоследствии могущественнейшим орудием в таких областях, как механика, оптика, электродинамика, самые разнообразные технические науки. Физические теории недавнего происхождения — теория относительности и квантовая теория — полны примеров, обнаруживающих значение методов вариационного исчисления.

3. Решение задачи о брахистохроне, принадлежащее Якобу Бернулли. Ранний метод, примененный к решению проблемы о брахистохроне Якобом Бернулли, может быть изложен с применени-

§ 10 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 411

ем сравнительно скромных математических средств. Возьмем в качестве исходного тот известный из механики факт, что материальная частица, начинающая свой путь в точке A с нулевой скоростью и за-

тем скользящая вниз по произвольной кривой C, приходит в некото-

√

рую точку P со скоростью, пропорциональной величине h, где h есть

отсчитываемое по вертикали расстояние точки P от точки A; иначе

√

говоря, мы имеем зависимость v = c h, где c — постоянный коэффициент. Подвергнем рассматриваемую задачу легкому видоизменению. Разобьем мысленно пространство на множество горизонтальных слоев, каждый толщиной d, и предположим на минуту, что скорость нашей частицы меняется не непрерывно, а небольшими скачками — при пе-

реходе от слоя к слою; именно в первом слое, прилежащем непосред-

√ √

ственно к точке A, скорость равна c d, во втором c 2d, наконец в n-м

√ √

c nd = c h, где h — расстояние P от A, отсчитываемое по вертикали (рис. 238). При такой постановке задачи мы имеем дело с конечным числом переменных. В пределах каждого слоя путь частицы должен быть прямолинейным. Вопрос о существова-

нии экстремума не возникает; решение должно даваться ломаной линией; нуж-

но только определить ее углы при вершинах. Согласно минимальному принципу простого преломления, в каждой

паре соседних слоев движение от P к R

через Q таково, что при фиксирован-

ных P и R точка Q соответствует наименьшему времени пути. Отсюда вытекает следующий «закон преломления»:

где an обозначает угол между направлением пути в n-м слое и вертикалью.

Затем Бернулли предполагает, что толщина слоев d, неограниченно уменьшаясь, стремится к нулю, причем ломаная траектория, решающая приближенную проблему, в пределе переходит в искомую кривую, решающую основную проблему. При этом предельном переходе равенства (1) сохраняются, и потому Бернулли делает заключение: если a обозначает угол, который в произвольной точке P кривой C траектория брахистохронного движения делает с вертикалью, а h — расстояние от A до P ,

sin a

рассчитываемое по вертикали, то выражение √ должно сохранять h

постоянное значение во всех точках P кривой C. Легко показать, что указанное свойство характеризует циклоиду.

Бернуллиево «доказательство» представляет собой типичный пример остроумного и плодотворного математического рассуждения, которое в то же время нельзя назвать безукоризненно строгим. В нем содержится несколько неявно принятых допущений, оправдание которых было бы сложнее и пространнее, чем само рассуждение. Так, с одной стороны, не доказывается само существование решения C, с другой — постулируется без достаточных математических оснований, что решение приближенной проблемы является приближенным решением основной проблемы. Вопрос о внутренней ценности такого рода эвристических (наводящих) построений заслуживает внимательного рассмотрения, но завел бы нас слишком далеко в сторону.

4.Геодезические линии на сфере. Минимаксы. Во введении

кэтой главе была упомянута проблема нахождения «геодезических линий» — кратчайших дуг, соединяющих две данные точки на некоторой поверхности. На сфере, как показывается в элементарной геометрии, такими линиями являются дуги больших кругов. Пусть P и Q — две точки на сфере (не являющиеся диаметрально противоположными) и c — меньшая из двух дуг большого круга, проходящего через P и Q. Тогда

возникает вопрос: чем же является другая, б´ольшая из двух дуг c0 того же круга. Конеч-

Pно, минимума расстояния между точками P

щий через S. Конечно, минимум расстояния в такой постановке проблемы дается «ломаной» дугой, состоящей из двух дуг больших кругов P S и SQ. А затем постараемся найти такое положение точки S, при котором наименьшее расстояние P SQ было бы максимальным. Тогда получаем следующее решение вопроса: точка S должна быть такова, чтобы ломаная P SQ была более длинной дугой c0 большого круга P Q. Можно видоизменить проблему, сначала спрашивая себя о кратчайшем пути на сфере от точки P к точке S, проходящем через n наперед заданных точек S1, S2, . . . , Sn, и затем определяя точки S1, S2, . . . , Sn таким образом, чтобы минимальная длина была насколь-