гл. VII

Если

h

есть высота, соответствующая осно-

ванию a, то площадь треугольни-

ка A равна

1

ah. Это последнее вы-

2

b

ражение, очевидно, принимает наи-

большее значение при наибольшем

b

h

возможном значении h, что случит-

ся именно при h, равном b, т. е. то-

a

гда, когда треугольник прямоуголь-

Рис. 176. Максимум площади тре-

ный. Итак, максимальная площадь

равна

1

ab.

угольника при двух данных сторо-

2

§ 1

ЗАДАЧИ ИЗ ОБЛАСТИ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ

359

ние P 0

точки P относительно прямой L, и тогда прямая P 0Q пересека-

ет L как раз в искомой точке R. Легко доказать, что P R + RQ мень-

ше, чем P R0 + R0Q, где R0 — любая точка на L, отличная от R. Дей-

ствительно, P R = P 0R и P R0 = P 0R0, значит, P R + RQ = P 0R + RQ =

= P 0Q и P R0 + R0Q = P 0R0 + R0Q. Но P 0R0 + R0Q больше, чем P 0Q (так

как сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны), т. е.

P R0 + R0Q больше, чем P R +

RQ, что и требовалось доказать.

P

Q

В дальнейшем существенно пред-

полагать, что P и Q не лежат на

самой прямой L.

Из рис. 177 видно, что 3 =

L

1

3

2

= 2 и 2 = 1, так что 1 = 3.

R

R

Другими словами, точка R тако-

ва, что P R и QR образуют одина-

ковые углы с L. Отсюда следует,

P

что световой луч, отражающий-

ся от L (а при отражении, как

Рис. 177. Теорема Герона

показывает эксперимент, угол па-

дения равен углу отражения), действительно обращает в минимум путь

из P в Q с заходом на L — в согласии с высказанным утверждением.

Задачу можно обобщить, вводя несколько прямых L, M, . . . Рас-

смотрим, например, случай, когда имеются две прямые L, M и две

точки P , Q, расположенные, как на рис. 178, и поставим целью най-

гл. VII

362

МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ

гл. VII

чем 2a, смотря по тому, находится ли рассматриваемая точка внутри

или вне эллипса. Но так как мы знаем, что для точек на прямой L

непременно p + q > 2a, то сделанное предположение приходится отбро-

сить. Итак, прямая L — касательная к эллипсу в точке R. Кроме того, мы

знаем, что P R и RQ образуют одинаковые углы с L; отсюда в качестве

побочного результата наших рассуждений вытекает важная теорема:

касательная к эллипсу образует равные углы с прямыми, проведенными

из фокусов в точку касания.

Следующая задача родственна предыдущей. Дана прямая линия L

и две точки P и Q по разные стороны L (рис. 182); требуется найти

такую точку R на L, чтобы величина |p − q|, т. е. абсолютная величина

разности расстояний точки R

Q

от P и Q, была как можно боль-

P

ше. (Мы допускаем, что L не

является перпендикуляром, вос-

ставленным из середины отрез-

ка P Q: иначе p − q равнялось бы

L

нулю для всякой точки L, и зада-

ча потеряла бы смысл.) Присту-

R

R

пая к решению задачи, построим

зеркальное отражение точки P

относительно L: полученная точ-

P

ка P 0 расположена по ту же сто-

рону L, что и Q. Какова бы ни

Рис. 182. |P R − QR| = maximum

была точка R0 на L, мы имеем:

p = R0P = R0P 0, q = R0Q. Так как

разность двух сторон треугольника никогда не превышает третьей сто-

роны,

то, рассматривая

треугольник

R0QP 0, можно

заключить, что

величина |p − q| = |R0P 0

− R0Q| меньше или равна P 0Q; и, как видно

из чертежа, только при условии, что R0, P 0 и Q расположены на одной

прямой, |p − q| может оказаться равным P 0Q. Поэтому искомая точка R

есть точка пересечения прямой L с прямой, проведенной через P 0 и Q.

Как и в предыдущей задаче, не представляет труда установить, ссылаясь

на конгруэнтность треугольников RP R0 и RP 0R0, что углы, которые

отрезки RP и RQ составляют с прямой L, одинаковы.

Отсюда, как и в прежней задаче, уже ничего не стоит получить

свойство касательной к гиперболе. Принимая наибольшее значение

разности |P R − RQ| равным 2a, рассмотрим геометрическое место всех

точек в плоскости, для которых абсолютная величина p − q равна 2a.

Это — гипербола с фокусами P и Q, проходящая через точку R. Легко

убедиться, что абсолютная величина

p − q меньше

чем 2a в обла-

сти, заключенной между двумя ветвями гиперболы, и больше чем 2a

по ту

сторону каждой

из ветвей, по которую лежит соответствую-

§ 1

ЗАДАЧИ ИЗ ОБЛАСТИ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ

363

щий фокус. Отсюда — в основном с помощью такой же аргументации,

как и в случае эллипса, — вытекает, что прямая L касается гипер-

болы в точке R. К которой именно из ветвей прямая L является

касательной, — это зависит от того, которая из точек P и Q ближе

к L: если ближе точка P , то касается прямой L та ветвь, которая

окружает P ; и аналогично для Q

(рис. 183). Если P и Q находятся

на равных расстояниях от прямой L,

P

то L не касается ни той, ни другой

R

ветви гиперболы, а является одной

из ее асимптот. Об этом результа-

те позволительно догадываться ис-

ходя из того соображения, что опи-

L

санное выше построение в рассмат-

Q

риваемом случае не дает никакой

(конечной) точки R, так как пря-

мая P 0Q оказывается параллельной

прямой L.

гиперболе

Так же как и в случае эллипса,

наши рассуждения приводят к хорошо известной теореме: касательная,

проведенная в любой точке гиперболы, делит пополам угол между

Может показаться странным, что приходится решать задачу о мини-

муме, если точки P и Q лежат по одну сторону L, тогда как если точки

лежат по разные стороны L, мы рассматриваем задачу о максимуме.

Но нетрудно прийти к заключению, что указанное различие совершенно

естественно. В первой задаче при удалении по прямой L в бесконеч-

ность — в одну или в другую сторону — каждое из расстояний p и q,

следовательно, и их сумма, неограниченно возрастает. Таким образом,

было бы невозможно найти наибольшее значение p + q, и единствен-

ной возможной является постановка задачи о минимуме. Дело обстоит

совершенно иначе во второй задаче, когда P и Q лежат по разные сто-

роны L. В этом случае не будем смешивать три различные величины:

разность p − q, обратную разность q − p и абсолютную величину |p − q|;

именно, для последней величины мы определяли максимум. Как обсто-

ит дело, легче всего понять, если представить себе, что точка R движется

по прямой L, занимая различные положения R1, R2, R3, . . . Существует

такое положение R, для которого разность p − q обращается в нуль; при

этом прямая L пересекается с перпендикуляром к отрезку P Q, прове-

денным из его середины. Ясно, что при этом положении точка R дает

минимум для абсолютной величины |p − q|. Но по одну сторону от этой

точки p больше, чем q, по другую — меньше; значит, величина p − q

положительна по одну сторону точки и отрицательна — по другую. Сле-

гл. VII

кривой C, для которых сумма p + q или

разность p − q принимают экстремаль-

ные значения (причем p и q обозначают

P

соответственно расстояния переменной

точки на C от точек P и Q). Теперь уже

нельзя применить то простое, основан-

R

ное на отражении, построение, с помо-

Q

щью которого мы решили обе задачи

R

в случае, когда C была прямой лини-

ей. Но мы можем воспользоваться для

поставленной здесь цели свойствами эл-

C

липса и гиперболы. Так как C на этот

раз — замкнутая кривая, а не линия,

уходящая в бесконечность, то и мак-

симум и минимум на ней действитель-

Рис. 185. Максимум и минимум

но реализуются: в самом деле, можно

сумм P R + QR

не подвергать сомнению то обстоятель-