этим, что d(X, Xn) → 0 при n → ∞. Теперь мы скажем, что множество S компактно, если из каждой последовательности X1, X2, X3, . . . элементов этого множества можно извлечь подпоследовательность, стремящуюся к некоторому пределу X, принадлежащему множеству S. В предыдущем пункте мы показали, что замкнутый промежуток a 6 x 6 b компактен в указанном смысле. Таким образом, понятие компактного множества можно считать обобщением понятия замкнутого интервала на числовой оси. Отметим, что числовая ось в целом некомпактна, поскольку последовательность целых чисел 1, 2, 3, 4, 5, . . . не стремится ни к какому пределу и не содержит в себе никакой подпоследовательности, которая стремилась бы к пределу. Также и открытый интервал некомпактен, например, 0 < x < 1, не включающий конечных точек; действительно, последовательность 12 , 13 , 14 , . . . или любая ее подпоследовательность стремится к пределу 0, который не принадлежит, однако, рассматриваемому открытому промежутку. Таким же образом можно показать, что область плоскости, состоящая, скажем, из внутренних точек некоторого квадрата или прямоугольника, некомпактна; но она становится компактной после присоединения точек границы. Нетрудно также убедиться, что множество всех треугольников с вершинами, лежащими внутри или на окружности данного круга, компактно.

Понятие непрерывности допускает обобщение на случай, когда переменное X пробегает любое множество S, лишь бы в этом последнем было предварительно введено понятие стремления к пределу. Говорят, что функция u = F (X) (где u мыслится как действительное число) непрерывна на элементе X, если всякий раз, как последовательность элементов X1, X2, X3, . . . имеет предел X, соответствующая последовательность чисел F (X1), F (X2), F (X3), . . .

имеет предел F (X). (Можно дать определение и с помощью e, d.) Легко также убедиться, что теорема Вейерштрасса остается в силе для случая обобщенной непрерывной функции F (X), заданной на некотором компактном множестве:

Если u = F (X) есть непрерывная функция, определенная для всех элементов компактного множества S, то существует обязательно такой элемент S, для которого F (X) достигает своего наибольшего значения, и другой элемент, для которого F (X) достигает своего наименьшего значения.

Доказательство не представит никакого труда для того, кто схватил общий характер относящихся сюда идей; мы не пойдем дальше в этом же направлении. Мы увидим в главе VIII, что теорема Вейерштрасса в ее общей формулировке имеет особенно большое значение в теории максимумов и минимумов.

§6. Некоторые применения теоремы Больцано

1.Геометрические применения. С помощью простой и общей теоремы Больцано можно доказать некоторые утверждения, на первый взгляд отнюдь не представляющиеся вполне очевидными. Установим, прежде всего, следующее: если A и B — две заданные фигуры на плоскости, то существует такая прямая в этой плоскости, которая обе фигуры одновременно делит на равновеликие (в смысле площади) части. Под «фигурой» здесь понимается всякая часть плоскости, ограниченная

простой замкнутой кривой.

Начнем доказательство с того, что выберем произвольную фиксированную точку P в нашей плоскости и проведем из нее фиксированный луч P R, от которого будем вести отсчет углов. Каков бы ни был луч P S, составляющий угол x с лучом P R, существует направленная прямая, параллельная P S и делящая фигуру A на равновеликие части. Действительно, возьмем одну из направленных прямых, параллельных P S, такую что вся фигура A лежит по одну ее сторону; пусть эта прямая будет l1. Cтанем подвергать l1 параллельному переносу таким образом, чтобы при окончательном положении (которое назовем l2) вся фигура A оказалась уже по другую ее сторону (рис. 173). В таком случае функция, определяемая как разность площади части A, расположенной вправо от направленной прямой, и площади части A, расположенной влево («вправо» — «к востоку», «влево» — «к западу», если прямая направлена, скажем, «на север»), оказывается положительной для положения прямой l1 и отрицательной для положения l2. Так как эта функция непрерывна, то, по теореме Больцано, она обращается в нуль при каком-то промежуточном положении прямой, которое мы обозначим теперь через lx и при котором, очевидно, фигура A разбивается пополам. Итак, каково бы ни было x (0◦ 6 x < 360◦), существует прямая lx, разбивающая A пополам.

l2

S

B

P R A lx

l1

Рис. 173. Одновременное деление пополам двух площадей

Обозначим теперь через y = f(x) разность между площадью части фигуры B справа от lx и площадью части B слева от lx. Допустим для определенности, что прямая l0, параллельная P R и разбивающая A пополам, справа имеет б´ольшую часть площади B, чем слева; тогда y положительно при x = 0◦. Пусть теперь x возрастает до 180◦; тогда прямая l180, параллельная P R и разбивающая A пополам, совпадает с l0 (но направлена в противоположную сторону, а «правая» и «левая» стороны переместились); отсюда ясно, что значение y при x = 180◦ численно то же, что и при x = 0◦, но с обратным знаком, т. е. отрицательно. Так как y есть функция x, непрерывная при 0◦ 6 x 6 180◦ (упомянутая

разность площадей, очевидно, изменяется непрерывно при вращении секущей прямой), то существует такое значение x = a, при котором y обращается в нуль. Но тогда прямая la разбивает пополам обе фигуры A и B одновременно. Наша теорема доказана.

Следует заметить, что мы установили всего-навсего существование прямой, обладающей заданным свойством, но не указали определенной процедуры для ее построения: в этом — характерная черта «чистых» математических доказательств существования.

x

x

Рис. 174. Деление площади на четыре равные части

Вот другая, аналогичная проблема: дана одна фигура A на плоскости; требуется разбить ее на четыре равновеликие части двумя взаимно перпендикулярными прямыми. Чтобы доказать существование решения, вернемся к тому этапу решения предыдущей проблемы, когда была введена прямая lx, но фигура B еще не была введена в рассуждение. Рассмотрим прямую lx+90, перпендикулярную к lx и также разбивающую A пополам. Если занумеруем четыре части A так, как показано на рис. 174,

то получим, очевидно,

A1 + A2 = A3 + A4

и

A2 + A3 = A1 + A4.

Отсюда вычитанием получим

A1 − A3 = A3 − A1,

т. е.

A1 = A3,

а значит,

A2 = A4.

Итак, существование решения нашей проблемы будет доказано, если установим существование такого угла a, что для прямой la будет удо-

влетворено равенство двух частей нашей фигуры

A1(a) = A2(a),

так как отсюда будет вытекать равенство всех четырех частей. Рассмотрим теперь функцию y = f(x),

f(x) = A1(x) − A2(x),

где A1(x) и A2(x) — части фигуры, соответствующие прямой lx. При x = = 0◦ пусть будет, например, f(0) = A1(0) − A2(0) > 0. Тогда при x= 90◦

получится: f(90) = A1(90) − A2(90) = A2(0) − A3(0) = A2(0) − A1(0) < 0. Но f(x) — непрерывная функция; значит, при каком-то значении a между 0◦ и 90◦ получится f(a) = A1(a) − A2(a) = 0. Тогда прямые la и la+90 разбивают фигуру на четыре равновеликие части.

Эти проблемы обобщаются на случай трех и большего числа измерений. В случае трех измерений первая проблема формулируется следующим образом: даны три пространственных тела; требуется найти плоскость, разбивающую каждое из них пополам одновременно. Доказательство возможности решения также основывается на теореме Больцано. В случае большего числа измерений аналогичное утверждение также справедливо, но доказательство требует применения более тонких методов.

*2. Применение к одной механической проблеме. Мы закончим эту главу рассмотрением одной на первый взгляд трудной механической проблемы, которая, однако, решается очень просто посредством соображений, связанных с непрерывностью. (Проблема была предложена Г. Уитни.)

Предположим, что поезд на протяжении некоторого конечного промежутка времени проходит прямолинейный отрезок пути от станции A до станции B. Вовсе не предполагается, что движение происходит с постоянной скоростью или с постоянным ускорением. Напротив, поезд может двигаться как угодно: с ускорениями, с замедлениями; не исключены даже мгновенные остановки или частично даже движение в обратном направлении, прежде чем в итоге поезд придет на станцию B. Но так или иначе движение поезда на протяжении всего временн´ого промежутка считается известным заранее; другими словами, считается заданной функция s = f(t), где s — расстояние поезда от станции A, а t — время, отсчитываемое от момента отправления поезда. К полу одного из вагонов прикреплен на шарнире твердый тяжелый стержень, который без трения может двигаться вокруг оси, параллельной осям вагонов, вперед и назад — от пола до пола. (Мы допускаем, что, прикоснувшись к полу, он в дальнейшем останется на нем лежать, если ему не случится «подпрыгнуть» снова.) Вопрос заключается в следующем: возможно ли в момент отхода поезда поместить стержень в такое начальное

положение, т. е. дать ему такой угол наклона, чтобы на протяжении всего пути он не прикоснулся к полу, будучи предоставлен воздействию движения поезда и силе собственной тяжести?

На первый взгляд может показаться совершенно невероятным, чтобы при наперед определенной схеме движения поезда взаимодействие силы тяжести и сил реакции было способно обеспечить требуемое равновесие стержня при единственном условии — надлежащем выборе начального положения. Но мы сейчас установим, что такое начальное положение всегда существует.

A B

Рис. 175. Проблема Уитни

К счастью, доказательство не подразумевает точного знания законов динамики. (Исходя из этих законов, решить задачу было бы чрезвычайно трудно.) Достаточно принять только одно допущение физического содержания: последующее движение стержня зависит непрерывно от его начального положения; в частности, если при данном начальном положении стержень во время пути упадет на пол в одну из сторон, то при всяком начальном положении, достаточно мало отличающемся от данного, он не упадет на пол в противоположную сторону.

Обратим теперь внимание на то, что во всякий момент времени положение стержня характеризуется углом a, который он составляет с полом. Углам a = 0◦ и a = 180◦ соответствуют два взаимно противоположных горизонтальных (лежачих) положения. Обозначим через x значение угла a в начальном положении стержня. Доказательство нашего утверждения будет косвенное, в соответствии с чисто экзистенциальным характером самой проблемы. Допустим, что всегда, т. е. при любом начальном положении стержня, стержень непременно упадет или в одну, или в другую сторону, так что a примет значение или 0◦, или 180◦. Определим тогда функцию f(x) так: f(x) = +1 или −1 смотря по тому, упадет ли стержень в сторону, соответствующую углу a = 0◦ или углу a = 180◦. Свойства функции f(x) таковы: она задана в интервале 0 6 x 6 180◦, непрерывна в нем, и притом f(0) = +1, f(180) = −1. Отсюда, по теореме Больцано, следует, что при каком-то промежуточном значении x (0◦ < x < 180◦) должно выполняться равенство f(x) = 0. А это противоречит тому, что функция f(x) может принимать только значения +1 и −1.

350 ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ НА ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ гл. VI

Значит, приходится отвергнуть сделанное допущение, согласно которому стержень упадет на пол во время движения поезда при каком угодно начальном его положении.

Совершенно ясно, что приведенное доказательство носит чисто теоретический характер, потому что не дает решительно никаких указаний на то, как определить искомое начальное положение стержня. Вместе с тем, даже если бы такое положение и могло быть вычислено теоретически с абсолютной точностью, практически оно было бы бесполезно вследствие своей неустойчивости. Так, например, в предельном случае, если поезд неподвижен в течение всего «путешествия», решение совершенно очевидно: x = 90◦; но всякий, кто пытался уравновесить иголку в стоячем положении на гладкой горизонтальной поверхности, понимает, насколько это решение практически нереально. Тем не менее с математической точки зрения приведенное доказательство имеет неоспоримый интерес.

Упражнения. 1) Обобщите это рассуждение на случай, когда «путешествие» продолжается бесконечно долго.1

2) Обобщите также на случай, когда поезд движется по произвольной кривой на плоскости, а стержень может падать в любом направлении, т. е. стержень обладает двумя степенями свободы. (Указание: невозможно непрерывно отобразить круговой диск на одну его окружность, оставляя все точки окружности неподвижными — см. стр. 272.)

ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ VI

Дальнейшие примеры на пределы

инепрерывность

§1. Примеры пределов

1.Общие замечания. Во многих случаях сходимость последовательности an может быть доказана по следующей схеме. Мы рассматриваем две другие последовательности bn и cn, члены которых, вообще говоря, имеют более простую структуру и обладают тем свойством, что

1Например, воспользуйтесь принципом стягивающихся отрезков (см. стр. 88); если из какого-то положения стержень не упадет за фиксированное конечное время, то за это же время он не успеет упасть также из всех достаточно близких положений. — Прим. ред. наст. изд.

352 ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ НА ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ гл. VI

оставаясь положительными. Отсюда следует (см. стр. 317), что последовательность имеет предел: qn → a. Умножая обе части последнего соотношения на q, получим: qn+1 → aq.

Но qn+1 должно иметь тот же предел, что и qn, так как дело не меняется от того, как обозначен возрастающий показатель — через n или через n + 1. Значит, aq = a, или a(q − 1) = 0. Так как по условию (1 − q) 6= 0, то отсюда следует a = 0.

Если q = 0, предыдущее утверждение тривиально. Если, наконец, −1 < q < 0, то 0 < |q| < 1; поэтому, как только что доказано, |qn| = |q|n → 0. Но в таком случае qn → 0 при условии |q| < 1. Доказательство закончено.

Упражнения. Докажите, что при n → ∞

x2 n

1)→ 0,

1 + x2

x n

2)→ 0,

1 + x2

x3 n

3)стремится к бесконечности при x > 2, к нулю при |x| < 2.

4 + x2

√

3. Предел n p. Последовательность чисел

√

an = n p,

т. е.

√

(Символ n p обозначает, как всегда, положительный корень степени n. В случае, если p отрицательно, при n четном не существует действительных корней степени n.)

Докажем соотношение (3). Предположим прежде всего, что p > 1; тогда также √p > 1. Мы можем положить

√

n p = 1 + hn,

причем hn — положительная величина, зависящая от n. Из неравен-

ства (2) следует

p = (1 + hn)n > nhn.

Так как последовательности bn = 0 и cn = np обе имеют предел 0, то на

основании рассуждения, приведенного в пункте 1, hn также при возрастании n имеет предел 0, и наше утверждение, таким образом, доказано в случае p > 1. Мы встретились здесь с очень типическим примером, когда предельное соотношение, в данном случае hn → 0, устанавливается

§ 1 ПРИМЕРЫ ПРЕДЕЛОВ 353

посредством заключения hn между двумя границами, пределы которых

определяются более просто.

√

Кстати, мы получили оценку для разности hn между n p и 1: эта разность непременно меньше, чем np .

где hn — снова положительное число, зависящее от n. Отсюда следует

«Уравнивающее» воздействие извлечения корня степени n, выражающееся в том, что результаты извлечения корней последовательно возрастающих степеней из данного положительного числа приближаются к единице, остается в силе иногда и в том случае, если само подрадикальное выражение не остается постоянным. Мы проверим сейчас, что

Небольшое ухищрение позволит нам сослаться опять на неравен-

√

ство (2). Вместо корня степени n из n возьмем корень степени n из n.

Правая часть этого неравенства стремится к 1 при n → ∞, и потому то

√

же самое можно сказать относительно n n.

4. Разрывные функции как предел непрерывных. Будем рассматривать такие последовательности an, в которых члены an — не постоянные числа, а функции некоторой переменной x, именно an = fn(x). Если только такая последовательность сходящаяся, то ее предел также

есть функция x:

f(x) = lim fn(x).

Такого рода представления функции f(x) в виде предела других функций часто бывают полезны, так как «более сложные» функции таким образом приводятся к «более простым».

потому (с помощью индукции) отсюда следует, что an+1 > an при всех значениях n. Мы замечаем дальше, что рассматриваемая последовательность ограниченная; в самом деле,

В силу принципа монотонных последовательностей отсюда вытекает существование предела: an → a, причем 1 < a 6 2. Но ясно видно, что a есть положительный корень уравнения x2 = 1 + x: действительно, соот-

Отсюда, наоборот, легко сделать тот вывод, что это квадратное уравнение можно решать приближенно, с какой угодно степенью точности, посредством итерационной процедуры.

Таким же образом, с помощью итераций, можно решать и другие алгебраические уравнения. Например, кубическое уравнение x3 − 3x + 1 = 0 напишем в форме

x =

1

3 − x2

и затем, взяв в качестве a1 произвольное число, скажем a1 = 0, определим дальше последовательность an по формуле

1

an+1 = 3 − a2n ;

при этом получим

Можно показать, что последовательность имеет предел, равный корню данного кубического уравнения, а именно a = 0,3473 . . .

Итерационные процессы в этом роде имеют громадное значение в математике, так как с их помощью большей частью даются «доказательства существования»; они полезны и в приложениях, где доставляют методы приближенного решения разнообразных проблем.

Упражнения на пределы. При n → ∞:

√ √

1) Докажите, что n + 1 − n → 0. Указание: напишите разность в виде

√ √ n + 1 + n).

356 ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ НА ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ гл. VI

√

7) Каков предел √n an + bn + cn, если a > b > c > 0?

8) Каков предел n anbn + ancn + bncn, если a > b > c > 0?

§ 2. Пример, относящийся к непрерывности

Чтобы дать формальное доказательство непрерывности данной функции, требуется проверка согласно определению, приведенному на стр. 332. Иногда соответствующая процедура оказывается очень громоздкой, но, к счастью, мы имеем право сослаться на обстоятельство, которое будет установлено в главе VIII, а именно: непрерывность следует из дифференцируемости. Так как дифференцируемость там же будет установлена систематически для всех элементарных функций, то мы (как это обычно делается) воздержимся от того, чтобы приводить скучные доказательства непрерывности функций различных типов.

Но в качестве дальнейшей иллюстрации общего определения мы все же рассмотрим здесь еще один пример, именно функцию

1

f(x) = 1 + x2 .

Мы имеем право ограничить возможные изменения x конечным интервалом |x| 6 M, где, впрочем, M как угодно велико. Написав

мы видим, что при |x| 6 M будет и |x1| 6 M. Отсюда следует неравенство

|f(x1) − f(x)| 6 |x − x1| · |x + x1| 6 |x − x1| · 2M.

Значит, разность в левой части станет меньше, чем наперед заданное положительное число e, при условии, что будет

Следует отметить, что мы были слишком великодушны в этих оценках. Читатель без труда убедится, что при больших значениях x и x1 можно было бы удовлетвориться гораздо большими значениями d.