§5. Две основные теоремы о непрерывных функциях

на другую. Что, напротив, это не обязательно в случае разрывной функции, показывает рис. 157 на стр. 305.

*2. Доказательство теоремы Больцано. Дадим строгое доказательство этой теоремы. Если следовать Гауссу и другим великим математикам, то можно принять этот факт и без доказательства. Нашей целью является сведение этой теоремы к основным свойствам системы действительных чисел, в частности, к постулату Дедекинда—Кантора о стягивающихся отрезках (стр. 88). Для этого рассмотрим отрезок I, a 6 x 6 b, в котором зада-

на функция f(x), и разобьем его на два средней точкой x1 = a +2 b . Если

в этой средней точке мы получим f(x1) = 0, то доказывать больше уже нечего. Если, однако, f(x1) 6= 0, то f(x1) должно быть или больше, или меньше нуля. В обоих случаях одна

различны. Повторяя эту процедуру, мы, в конце концов, или найдем после

конечного числа делений точку, в которой f(x) = 0, или получим последовательность стягивающихся отрезков I1, I2, I3, . . . В последнем случае постулат Дедекинда—Кантора обеспечивает существование в исходном отрезке I такой точки a, которая принадлежит всем отрезкам сразу. Мы утверждаем, что f(a) = 0, так что a и будет той точкой, существование которой нужно доказать.

До сих пор предположение о непрерывности функции f(x) использовано еще не было. Сейчас придется на него сослаться, заканчивая доказательство способом от противного. Мы докажем, что f(a) = 0, допуская противоположное и приходя затем к противоречию. Предположим, что f(a) 6= 0: пусть, например, f(a) = 2e > 0. Так как функция f(x) непрерывна, то мы найдем (может быть, маленький) отрезок J длины 2d с центром в точке a — такой, что значение функции f(x) во всем промежутке J отличается от f(a) меньше чем на e. Затем, так как f(a) = 2e, то мы можем быть уверены, что f(x) > e в каждой точке J, т. е. что f(x) > 0 в отрезке J. Но отрезок J фиксирован, и если n достаточно велико, то маленький отрезок In должен непременно попасть внутрь J, поскольку последовательность длин In стремится к нулю. В этом заключается противоречие: в самом деле, из того, каким образом был выбран промежуток In, вытекает, что функция f(x) имеет противоположные знаки в двух конечных точках каждого промежутка In, так что функция f(x)

принимает отрицательные значения где-то в промежутке J. Отсюда следует нелепость предположения f(a) > 0, а также (совершенно таким же образом) f(a) < 0; следовательно, доказано, что f(a) = 0.

3. Теорема Вейерштрасса об экстремальных значениях.

Другой существенный и интуитивно ясный факт, касающийся непрерывных функций, был сформулирован Карлом Вейерштрассом (1815–1897), который, возможно, более чем кто-либо другой является ответственным за современное стремление к строгости в математическом анализе. Эта теорема утверждает: если функция f(x) непрерывна в интервале I, a 6 6 x 6 b, не исключая также и конечных точек интервала a и b, то в интервале I должна существовать по крайней мере одна точка, в которой функция f(x) достигает своего наибольшего значения M, и другая точка, в которой функция f(x) достигает своего наименьшего значения m. Говоря интуитивно, это значит, что график непрерывной функции u = f(x) должен иметь по крайней мере одну наивысшую и одну наинизшую точки.

Существенно отметить, что это утверждение может быть неверным, если функция u = f(x) перестает быть непрерывной в конечных точ-

ках промежутка I. Например, функция f(x) = x1 не имеет наибольшего значения в промежутке 0 < x 6 1, хотя она и непрерывна внутри промежутка. И вместе с тем разрывная функция вовсе не обязательно достигает наибольшего и наименьшего значений, даже если она ограниченная. Рассмотрим, например, «чрезвычайно» разрывную функцию f(x), определенную следующим образом:

в промежутке 0 6 x 6 1. Все значения, которые принимает эта функция, заключены между 0 и 1. Среди них имеются сколь угодно близкие к 0 и 1: они получаются, если x будем выбирать иррациональным и достаточно близким к 0 или 1. Но f(x) никогда не может быть равным

ни 0, ни 1, поскольку для рациональных x мы имеем f(x) = 12 , а для

иррациональных мы имеем f(x) = x. Итак, значения 0 и 1 ни в какой точке не достигаются.

* Теорема Вейерштрасса может быть доказана почти таким же образом, как и теорема Больцано. Разобьем интервал I на два замкнутых полуинтервала I0 и I00 и фиксируем наше внимание на I0, как на интервале, в котором следует искать наибольшее значение функции f(x), если только в интервале I00 не найдется такой точки a, что f(a) больше всех значений функции f(x) в интервале I0; в этом последнем случае мы выберем интервал I00. Тот интервал, который мы выбрали, обозначим через I1. Поступим теперь с

§ 5 ДВЕ ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЯХ 343

интервалом I1 точно так же, как мы поступали с I; пусть при этом получим интервал I2, и т. д. Этот процесс определит последовательность I1, I2, I3, . . . , IN , . . . вложенных интервалов, которые все содержат некоторую точку z. Мы докажем, что значение функции в этой точке, f(z) = M, есть наибольшее из всех значений функции f(x), достигаемых в исходном интервале, т. е. что не может существовать такой точки s, что f(s) > M. Предположим, что нашлась бы точка s, удовлетворяющая условию f(s) = M + 2e, где e есть некоторое (может быть, и очень маленькое) положительное число. В силу непрерывности функции f(x) мы можем точку z окружить маленьким интервалом K, не захватывающим точки s, и притом таким, что в интервале K значения функции f(x) отличаются от f(z) = M меньше чем на e, так что в нем мы непременно будем иметь f(x) < M + e. Но при достаточно больших n интервал In лежит внутри интервала K, а вместе с тем интервал In был определен так, что ни одно значение f(x) при x, лежащем вне интервала In, не может превзойти значений функции f(x) в точках x из этого интервала.

Но точка s лежит вне интервала In и в ней f(s) > M + e, тогда как в интервале K, а тем самым и в интервале In, мы имеем f(x) < M + e. Таким образом, мы пришли к противоречию.

Существование по крайней мере одного наименьшего значения m может быть доказано тем же самым методом; впрочем, оно является следствием предыдущего, так как наименьшее значение функции f(x) является наибольшим значением функции g(x) = −f(x).

Теорема Вейерштрасса может быть доказана аналогичным образом и для непрерывных функций от двух или большего числа переменных x, y, . . . В этом случае придется вместо замкнутых интервалов (со включением конечных точек) брать замкнутые области, например, прямоугольники в плоскости x, y (со включением контура).

Упражнение. В каком пункте доказательств теорем Больцано и Вейерштрасса мы воспользовались предположением, что функция f(x) определена и непрерывна во всем отрезке (замкнутом) a 6 x 6 b, а не только при a < x 6 b

или a < x < b?

Доказательства теорем Больцано в Вейерштрасса носят явно неконструктивный характер. Они не предоставляют метода для «эффективного» нахождения положения нулевой точки или наибольшего и наименьшего значения функции с заранее назначенной степенью точности в результате конечного числа операций. Доказано только лишь само существование, или, вернее, абсурдность несуществования, упомянутых значений. Это обстоятельство представляет собой еще один важный пункт, против которого «интуиционисты» (см. стр. 108) выдвинули свои возражения; некоторые из них даже настаивали, чтобы подобные теоремы были вообще изгнаны из математики. Изучающий математику не должен, впрочем, принимать эти возражения более серьезно, чем это сделало большинство критиков.

344 ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ гл. VI

*4. Теорема о последовательностях. Компактные множества.

Пусть x1, x2, x3, . . . есть некоторая бесконечная последовательность чисел, различных или нет, содержащихся в отрезке I, a 6 x 6 b. Последовательность может стремиться или не стремиться к пределу. Но как бы то ни было, всегда можно извлечь из такой последовательности, выбрасывая некоторые из ее членов, такую новую бесконечную последовательность y1, y2, y3, . . . , которая стремилась бы к пределу, заключенному в промежутке I.

Чтобы доказать эту теорему, разделим интервал I с помощью сред-

ней точки x = a + b на два замкнутых отрезка I0 и I00:

2

I0 : a 6 x 6 a +2 b,

I00 : a +2 b 6 x 6 b.

По крайней мере в одном из них будет находиться бесчисленное количество членов xn основной последовательности; обозначим его через I1. Выберем один из этих членов xn1 и обозначим его через y1. Проделаем то же самое с промежутком I1. Так как в интервале I1 имеется бесконечное множество членов xn, то их должно быть бесконечное множество также и по крайней мере в одной из половин I1; обозначим эту половину через I2. На отрезке I2 возьмем член xn, для которого n > n1, и обозначим его через y2. Продолжая таким же образом, мы можем найти последовательность вложенных отрезков I1, I2, I3, . . . и подпоследовательность y1, y2, y3, . . . членов основной последовательности таким образом, что yn лежит в интервале In, каково бы ни было n. Эта последовательность интервалов стягивается к некоторой точке y промежутка, и ясно, что последовательность y1, y2, y3, . . . имеет предел y, что и требовалось доказать.

* Эти рассуждения допускают обобщение того типа, который характерен для современной математики. Рассмотрим переменное X, пробегающее некоторое множество S, в котором каким-то образом определено понятие «расстояния». S может быть множеством точек на плоскости или в пространстве. Но это не является необходимым; например, S может быть также множеством всех треугольников на плоскости. Если X и Y являются двумя треугольниками с вершинами A, B, C и A0, B0, C0 соответственно, то в качестве «расстояния» между треугольниками можно взять, например, число

d(X, Y ) = AA0 + BB0 + CC0,

где AA0 обозначает обычное расстояние между точками A и A0, и т. д. Как только во множестве введено понятие «расстояния», мы имеем возможность определить понятие последовательности элементов X1, X2, X3, . . ., стремящейся к пределу X — также элементу множества S. Мы подразумеваем под