Для самого Лейбница (1646–1716), который впервые ввел термин «функция», и для математиков XVIII в. идея функциональной зависимости более или менее идентифицировалась с существованием простой математической формулы, точно выражающей эту зависимость. Такая концепция оказалась слишком узкой по отношению к требованиям, предъявленным математической физикой, и понятие «функция» вместе с упомянутым выше понятием «предел» впоследствии длительно подвергалось обобщениям и шлифовке.

В этой главе мы дадим краткий очерк того, как протекал этот процесс.

§1. Независимое переменное и функция

1.Определения и примеры. Нередко приходится иметь дело с математическими объектами, которые мы выбираем свободно, по нашему собственному выбору, из некоторой совокупности (множества) S. Избираемый объект в таких случаях носит название переменного (или

переменной), а совокупность S — области его (ее) изменения. Переменные принято обозначать последними буквами алфавита. Например, если буквой S обозначено множество всех целых чисел, то переменное X из области S обозначает некоторое произвольное целое число. Говорят, что «переменное X пробегает множество S», подразумевая под этим, что переменное X мы можем отождествить с любым элементом множества S. Пользоваться понятием переменного удобно, если мы хотим высказать утверждение относительно элементов, которые можно произвольно выбирать из целого множества. Например, если S обозначает, как было указано, множество целых чисел, а X и Y — переменные из области S,

то формула

X + Y = Y + X

представляет удобное символическое выражение того обстоятельства, что сумма любых двух целых чисел не зависит от порядка слагаемых. Частный случай этого выражен равенством

2 + 3 = 3 + 2,

в котором фигурируют постоянные числа; но для того чтобы выразить общий закон, справедливый для всех пар чисел, нужно применить символы, имеющие значение переменных.

Нет никакой необходимости в том, чтобы область S изменения переменного X была множеством чисел. Например, S может быть множеством всех кругов на плоскости; тогда переменное X будет обозначать любой индивидуальный круг. Или S может быть множеством всех замкнутых многоугольников плоскости, и тогда X — любой индивидуальный многоугольник. Не является также необходимым, чтобы область изменения переменного содержала бесконечное число элементов. Например, X

§ 1 НЕЗАВИСИМОЕ ПЕРЕМЕННОЕ И ФУНКЦИЯ 301

может обозначать любого отдельного человека из населения S данного города в определенный момент времени. Или же X может обозначать любой из возможных остатков при делении целого числа на 5; в этом последнем случае область S состоит из пяти чисел: 0, 1, 2, 3, 4.

Наиболее важным оказывается случай числового переменного; в этом случае употребляется обычно маленькая буква x — это тот случай, когда областью изменения S является некоторый интервал (промежуток) a 6 6 x 6 b действительной числовой оси. В этом случае говорят, что x

есть непрерывное (или действительное) переменное в рассматриваемом интервале. Область изменения непрерывного переменного может простираться и до бесконечности. Так, например, S может быть множеством всех положительных действительных чисел x > 0 или даже множеством всех действительных чисел без всякого исключения. Аналогичным образом мы можем рассматривать переменное X, значениями которого являются точки плоскости или некоторой данной области плоскости, подобной внутренности прямоугольника или круга. Так как каждая точка плоскости определяется своими двумя координатами (x, y), взятыми относительно некоторой фиксированной пары осей, то в этом случае часто говорят, что имеют дело с парой действительных (непрерывных) переменных x и y.

Может случиться так, что каждому значению переменного X сопоставляется некоторое определенное значение другого переменного U. Тогда переменное U называется функцией переменного X. Способ, посредством которого U связано с X, выражается символом вроде U = F (X) (читается «равно F от X»). Если X пробегает множество S, то переменное U пробегает некоторое другое множество, скажем, T . Например, если S есть множество треугольников X на плоскости, то под функцией U = F (X) можно подразумевать длину периметра рассматриваемого треугольника X; T будет, следовательно, множеством всех положительных чисел. Отметим, что два различных треугольника X1 и X2 свободно могут иметь равные по длине периметры, так что равенство F (X1) = F (X2) возможно и в том случае, если X1 6= X2. Проективное преобразование одной плоскости S в некоторую другую T ставит в соответствие каждой точке X плоскости S единственную точку U плоскости T согласно определенному правилу, которое можно выразить функциональным символом U = F (X). В этом примере, в противоположность предыдущему, мы имеем всегда неравенство F (X1) 6= F (X2), если только X1 6= X2, и мы говорим в связи с этим, что отображение плоскости S на плоскость T — взаимно однозначное (см. стр. 204).

Функции непрерывного переменного часто определяются с помощью алгебраических выражений. Примерами могут служить следующие

302 ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ гл. VI

В первом и в последнем из этих выражений x может пробегать множество всех действительных чисел, в то время как во втором примере x может пробегать множество всех действительных чисел за исключением 0 (значение 0 исключается, так как символ 10 не есть число).

Число B(n) простых множителей числа n есть функция n, причем n пробегает множество натуральных чисел. Вообще, любую последовательность чисел a1, a2, a3, . . . можно рассматривать как множество значений некоторой функции u = F (n), причем областью изменения независимого переменного при этом является множество натуральных чисел. Только ради сокращения записи принято обозначать n-й член последовательности символом an, вместо того чтобы употреблять более отчетливое функциональное обозначение F (n). Следующие выражения, о которых говорилось в главе I:

S1(n) = 1 + 2 + . . . + n = n(n + 1) ,

2

S2(n) = 12 + 22 + . . . + n2 = n(n + 1)(2n + 1) ,

6

S3(n) = 13 + 23 + . . . + n3 = n2(n + 1)2 ,

4

являются функциями целого переменного n.

Пусть дано соотношение U = F (X); принято переменное X называть

независимым переменным, а переменное U — зависимым, поскольку его значения зависят от выбора значения X.

Может случиться, что всем значениям переменного X соответствует одно и то же значение переменного U, т. е. что множество T состоит из одного-единственного элемента. Мы тогда встречаемся с частным случаем, при котором переменное U в сущности не меняется, т. е. U есть постоянное (постоянная или константа). Мы включим этот случай в общее понятие функции, несмотря на то что начинающему это может показаться странным, так как он склонен полагать, что основное в самой идее функции лежит как раз в изменении переменного U (при изменении переменного X). Но беды не произойдет — а на самом деле это окажется весьма полезным, — если мы постоянное будем рассматривать как частный случай переменного, «область изменения» которого состоит из одного-единственного элемента.

Понятие функциональной зависимости имеет исключительное значение не только в самой «чистой» математике, но также и в практических ее приложениях. Физические законы являются не чем иным, как выражением способа, посредством которого некоторые величины зависят

от других, способных изменяться так или иначе. Так, например, высота звука, производимого колеблющейся струной, зависит от ее длины, от ее веса и от степени ее натяжения; давление атмосферы зависит от высоты; энергия пули зависит от ее массы и скорости. Задача физики состоит в точном или приближенном определении природы всех подобного рода зависимостей.

С помощью понятия функции можно дать точную в математическом смысле характеристику движения. Если представим себе, что движущаяся частица сосредоточена в некоторой точке пространства с прямоугольными координатами x, y, z, и если переменное t измеряет время, то движение частицы полностью определено заданием координат x, y, z как функций времени:

x = f(t), y = g(t), z = h(t).

Примером этого может служить свободное падение частицы по вертикали под действием одной лишь силы тяжести: мы имеем в этом случае

соотношения

x = 0, y = 0,

где g обозначает ускорение силы тяжести. Если частица равномерно вращается по единичной окружности в плоскости x, y, то движение ее характеризуется функциями

x = cos wt, y = sin wt,

где w — постоянное число (так называемая угловая скорость вращения). Под математической функцией следует понимать просто закон, управляющий взаимными зависимостями переменных величин — и не более того. Понятие функции не подразумевает существования чего-либо близкого к «причине и следствию» в отношениях между независимой и зависимой переменными. Хотя в обыденной речи термин «функциональная зависимость» сплошь и рядом употребляется именно в этом последнем смысле, мы будем избегать такого рода философских интерпретаций. Так, например, закон Бойля, относящийся к газу, заключенному в некоторую замкнутую оболочку при постоянной температуре, утверждает, что произведение давления газа p на его объем v есть величина постоянная, равная c (последнее значение, в свою очередь,

зависит от температуры):

pv = c.

Это соотношение можно решить как относительно p, так и относитель-

при этом не следует подразумевать ни того, что перемена объема есть «причина» изменения давления, ни того, что изменение давления есть

«причина» изменения объема. Для математика существенна лишь форма соответствия (связи) между двумя переменными величинами, которые он рассматривает.

Следует заметить, что подход к понятию функции несколько отличается у математиков и у физиков. Математики обычно подчеркивают закон соответствия, математическую операцию, которую нужно применить к значению независимого переменного x, чтобы получить значение зависимого переменного u. В этом смысле f( ) есть символ математической операции; значение u = f(x) есть результат применения операции f( ) к числу x. С другой стороны, физик часто более заинтересован в самой величине u как таковой, чем в какойто математической процедуре, с помощью которой значение u может быть получено из значения x. Так, например, сопротивление u воздуха движению предмета зависит от скорости v движения и может быть найдено экспериментальным путем, независимо от того, известна ли явная математическая формула для вычисления u. Физика прежде всего интересует фактическое сопротивление, а не специальная математическая формула f(v), если только эта формула не помогает при анализе поведения величины u. Таково обычно отношение тех, кто применяет математику к физике или инженерному делу. В некоторых высших разделах математического анализа, чтобы избежать путаницы, иногда бывает существенно различать совершенно отчетливо, будет ли под символом u = f(x) подразумеваться операция f( ), применяемая к x для получения u, или же сама величина u, которая, в свою очередь, может рассматриваться как зависимая, и совсем другим образом, от некоторой другой переменной z. Например, площадь круга задается функцией u = f(x) = px2,

где x — радиус круга, но можно также написать: u = g(z) = z2 , понимая под z

длину окружности.

4p

Пожалуй, наиболее простым типом математической функции одного независимого переменного являются многочлены (полиномы), имеющие вид

u= f(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn,

спостоянными «коэффициентами» a0, a1, . . . , an. За ними следуют рациональные функции, такие как

которые являются отношениями многочленов, и затем тригонометрические функции cos x, sin x и tg x = cossin xx, которые определяются лучше

всего с помощью единичного круга в плоскости x, h: x2 + h2 = 1. Если точка P (x, h) движется по этой окружности и если x есть направленный угол, на который нужно повернуть положительную ось x, чтобы она совпала с радиусом OP , то cos x и sin x являются координатами точки P : cos x = x, sin x = h.

2. Радианная мера углов. Во всех практических применениях углы измеряются с помощью единиц, полученных от деления прямого угла на некоторое равное число частей. Если это число равно 90, то единицей измерения является обычный «градус». Деление на 100 частей подходило бы близко к нашей десятичной системе, но принцип измерения при этом оставался бы прежним. В теоретических же применениях выгоднее использовать по существу совершенно другой метод определения величины угла, а именно, так называемое радианное измерение. Многие важные формулы, содержащие тригонометрические функции углов, имеют в этой системе измерения более простой вид, чем при измерении углов в градусах.

Для того чтобы найти радианную меру некоторого угла, опишем из вершины этого угла как из центра круг радиуса 1.

Длину дуги s той части нашей окружности, которая расположена между сторонами угла, назовем радианной мерой угла. Так как длина всей окружности единичного радиуса равна 2p, то «полный» угол в 360◦ имеет радианную меру 2p. Отсюда следует, что если через x обозначить радианную меру угла, а через y его величину в градусах, то x и y связаны соотношением 360y = 2xp , или

py = 180x.

Так, например, угол в 90◦ (y = 90) имеет радианной мерой x = 90p = p ,

180 2

и т. д. С другой стороны, угол в 1 радиан (угол, радианной мерой которого является x = 1) есть центральный угол, стягиваемый дугой, длина которой равна радиусу окружности; градусная мера такого угла содер-

180

жит y = p = 57, 2957 . . . градусов. Для того чтобы от радианной меры угла x перейти к его градусной мере y, нужно величину x умножить на

180

число p .

Радианная мера x некоторого угла равна также двойной площади A сектора, вырезаемого этим углом из круга единичного радиуса; в самом деле, эта площадь относится ко всей площади круга так, как длина дуги

x A

относится к длине всей окружности: 2p = p ; итак, x = 2A.

Будем впредь под углом x подразумевать угол, радианная мера которого есть x. Угол, градусное измерение которого равно x, будем в дальнейшем, чтобы устранить всякую неясность, обозначать через x◦.

Позднее станет совершенно очевидным, насколько выгодно пользоваться радианным измерением при разного рода аналитических операциях. Однако следует признать, что для практического употребления оно скорее неудобно. В самом деле, так как p — иррациональное число, то, сколько раз мы ни откладывали бы по кругу единичный угол, т. е. угол с радианной мерой, равной 1, мы никогда не вернемся в начальную

точку. Обычное же измерение таково, что после откладывания 1 градуса 360 раз или 90 градусов 4 раза мы возвращаемся в исходную точку.

3. График функции. Обратные функции. Часто характер функции чрезвычайно ясно выражается с помощью простого графика. Если (x, u) — координаты на плоскости относительно двух взаимно перпендикулярных осей, то линейные функции

u = ax + b

изображаются прямыми линиями; квадратические функции

u = ax2 + bx + c

— параболами; функция

u = x1

— гиперболой, и т. д. По определению, график некоторой функции u = f(x) состоит из всех тех точек плоскости, координаты которых (x, u) связаны уравнением u = f(x). Функции sin x, cos x, tg x представлены графически на рис. 151 и 152. Эти графики наглядно показывают, как возрастают или убывают функции при изменении x.

Рис. 151. Графики функций sin x и cos x

Одним из важных методов, служащих для введения новых функций, является следующий. Исходя из некоторой известной функции F (X), можно попытаться решить уравнение U = F (X) относительно X — так, чтобы X было выражено как функция от U:

X = G(U).

Тогда функция G(U) называется обратной относительно функции F (X). Этот процесс приводит к результату однозначно только в том случае, если функция U = F (X) определяет взаимно однозначное отображение области изменения X на область изменения U, т. е. если неравенство X1 6= X2 всегда влечет за собой неравенство F (X1) 6= F (X2). Только при этом условии каждому значению U будет соответствовать единственное значение X. Здесь будет кстати вспомнить приведенный выше пример, в котором роль независимого переменного X играл любой треугольник на плоскости, а в качестве функции U =

u

x

O

Рис. 152. u = tg x

F (X) рассматривался его периметр. Очевидно, что такое отображение множества S треугольников на множество T положительных чисел не является взаимно однозначным, так как имеется бесконечное количество различных треугольников с одним и тем же периметром. Итак, в этом случае соотношение U =

жество всех действительных чисел, принимая каждое значение один и только один раз. Однозначно определенная в этом примере обратная

функция имеет вид √ x = 3 u.

В случае функции

u = x2

§ 1 НЕЗАВИСИМОЕ ПЕРЕМЕННОЕ И ФУНКЦИЯ 309

осью u.

Рассуждения этого параграфа можно иллюстрировать на примере

функции

u = tg x.

ния u, все время возрастающие вместе с x, изменяются от −∞ до +∞; отсюда ясно, что обратная функция

x = g(u)

определена для всех значений u. Эту функцию обозначают arctg u. Та-

Рис. 155. x = arctg u

4. Сложные функции. Вторым важным методом создания новых функций из двух или большего числа данных является составление

сложных функций («композиция»). Так, например, функция

√

u = f(x) = 1 + x2

«составлена» из двух простых функций

√

z = g(x) = 1 + x2, u = h(z) = z

и может быть записана так:

u = f(x) = h(g[x])

(читается «h от g от x»). Аналогично, функция

u = f(x) = √ 1

1 − x2

составлена из трех функций

z = g(x) = 1 − x2, w = h(z) = √z, u = k(w) = w1 ,

так что можно написать

u = f(x) = k(h[g(x)]).

310 ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ гл. VI

Функция

не имеет смысла. График этой замечательной функции находится в некоторой связи с графиком синуса. Мы знаем, что sin z = 0 при z = kp, где k — произвольное положительное или отрицательное целое число. Кроме того,

Если мы последовательно станем полагать k = 1, 2, 3, 4, . . ., знаменатели этих дробей будут возрастать неограниченно и, следовательно, значения x, при которых функция sin x1 имеет значения 1, −1, 0, будут сгущаться все больше и больше около точки x = 0. Между каждой такой точкой и началом будет всегда бесконечное количество колебаний. График этой функции показан на рис. 156.

5. Непрерывность. Графики уже рассмотренных функций дают интуитивное представление о свойстве, называемом непрерывностью. Точное определение этого понятия мы дадим в § 4, после того как понятие предела будет поставлено на строго логический фундамент. Здесь

разрывна в точке x1 = 0, в которой она имеет значение −1. Если мы станем чертить карандашом график этой функции, нам придется в этой точке оторвать карандаш от бумаги. Когда мы приближаемся к значению x1 = 0 справа, то f(x) стремится к +1. Но значение это отличается от значения функции в самой этой точке, именно −1.

Одно то обстоятельство, что функция f(x) стремится к −1, когда x стремится к нулю слева, еще недостаточно для установления непрерывности.

Функция f(x), определенная для всех значений x с помощью формул

f(x) = 0 при x 6= 0, f(0) = 1,

при x1 = 0 имеет разрыв другого вида. Здесь существуют пределы и справа и слева, и они равны между собой, но это общее предельное значение отлично от f(0). Еще иного типа разрыв дается функцией, график которой изображен на рис. 158,

u = f(x) =

1

x2

312 ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ гл. VI

в точке x = 0. Если мы заставим x стремиться к 0 с любой стороны, то u неизменно будет стремиться к бесконечности, но график функции «прерывается» в этой точке, причем малым изменениям независимого переменного x в окрестности точки x = 0 могут соответствовать очень большие изменения зависимого переменного u. Строго говоря, значение функции не определено при x = 0, поскольку мы не считаем бесконечность числом, и поэтому нельзя говорить, что функция f(x) равна

бесконечности при x = 0. Итак, мы говорим только, что функция f(x) «стремится к бесконечности», когда x приближается к нулю.

Совсем иной характер разрыва, наконец, у функции u = sin x1 в точке x = 0 (рис. 156).

Приведенные примеры показывают несколько различных типических случаев, когда функция перестает быть непрерывной в некоторой точке x = x1.

1) Может случиться, что функция станет непрерывной в точке x = x1 после того, как надлежащим образом будет определено или будет изме-

символ. Но если в этом примере мы условимся считать, что значение u = 1 соответствует также и значению x = 0, то функция, «расширенная» таким образом,

x становится непрерывной во всех точках без исключения. Тот же результат будет достигнут, если мы изменим значение функции при x = 0 во втором из приве-

денных выше примеров, и вместо f(0) = 1 положим f(0) = 0. Разрывы этого рода называются устранимыми.

2)Функция стремится к различным пределам в зависимости от того, справа или слева x приближается к x1, как на рис. 157.

3)Не существует предела ни с одной, ни с другой стороны, как на рис. 156.

4)Функция стремится к бесконечности, когда x приближается к x1 (рис. 158).

Разрывы трех последних типов называются существенными или неустранимыми, они не могут быть устранены с помощью надлежащего определения значения функции в одной лишь точке x = x1.

§ 1 НЕЗАВИСИМОЕ ПЕРЕМЕННОЕ И ФУНКЦИЯ 313

инайдите точки разрыва.

2)Наметьте графики функций x sin x1 и x2 sin x1 ; проверьте, что непрерыв-

ность не нарушена в точке x = 0, если принять, что u = 0 при x = 0 в обоих случаях.

*3) Покажите, что функция arctg x1 имеет разрыв второго типа (скачок) при x = 0.

*6. Функции нескольких переменных. Вернемся к систематическому рассмотрению понятия функции. Если независимым переменным P является точка плоскости с координатами x, y и если каждой такой точке P соответствует единственное число u (например, u может быть расстоянием точки P от начала), тогда принято писать

u = f(x, y).

Это обозначение употребляется также и в том случае, если, как это часто бывает, две величины x и y явно указываются самими условиями задачи как независимые переменные. Например, давление u газа есть функция объема x и температуры y; площадь u треугольника есть функция u = = f(x, y, z) длин трех его сторон x, y, z.

Так же как график дает геометрическое представление функции одного переменного, можно получить и геометрическое представление функции u = f(x, y) двух переменных в виде поверхности в трехмерном пространстве с переменными x, y, u в качестве координат. Каждой точке x, y в плоскости x, y мы сопоставляем точку пространства с координатами x, y и u = f(x, y). Таким образом, u = √1 − x2 − y2 представляется поверхностью сферы с уравнением u2 + x2 + y2 = 1,

314 ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ гл. VI

линейная функция u = ax + by + c — плоскостью, функция u = xy — гиперболическим параболоидом, и т. д.

Можно дать и другое представление функции u = f(x, y), притом не выходя за пределы плоскости x, y, именно с помощью линий уровня (горизонталей). Вместо того чтобы рассматривать трехмерный «ландшафт» поверхности u = f(x, y) в трехмерном пространстве, мы вычерчиваем, как это иногда делают на географических картах, «линии уровня» функции, являющиеся проекциями на плоскость x, y всех точек поверхности, находящихся на одном и том же расстоянии u по вертикали от плоскости x, y. Эти линии уровня имеют уравнения вида f(x, y) = c, где c постоянно для каждой кривой. Так, например, функция u = x + y характеризуется рис. 163. Линии уровня поверхности сферы представляют собой семейство концентрических окружностей. Функция u = x2 + y2, которой соответствует параболоид вращения, характеризуется также окружностями (рис. 165). Числами, отнесенными к каждой кривой, можно указывать высоту u = c.

u

Функции нескольких переменных встречаются в физике при описании движения непрерывной среды или каких угодно протяженных объектов. Рассмотрим хотя бы струну, натянутую между двумя точками на оси x и затем деформированную таким образом, что частица с координатой x отодвинута на некоторое определенное расстояние перпендикулярно к оси. Если струна будет отпущена, то она придет в движение, т. е. начнет колебаться; тогда точка (частица) струны с начальной координатой x в момент времени t будет находиться на расстоянии u = f(x, t) от

u