§4. Закон исключенного третьего

В ходе мышления часто возникают взаимоисключающие суждения об одном и том же предмете. Определенность мышления требует, чтобы мы из множества взаимоисключающих возможностей, которые обычно называют альтернативами, выбирали в каждый данный момент только одну и считали ее истинной или испытывали на истинность. Относительно каждого отдельного поступка человека можно сказать, что он а) нравственный, б) безнравственный, в) нравственно безразличный. Определенность мышления требует от нас выбрать одну из этих альтернатив и придерживаться ее на протяжении нашего рассуждения. И запрещает нам считать, что этот поступок в одном отношении нравственный, в другом — нравственно безразличный (или безнравственный).

Традиционная логика сводит эту определенность мышления к ее идеализированному крайнему случаю — выбору между двумя суждениями, находящимися в отношении противоречия. Такому свойству определенности мышления и соответствует закон исключенного третьего:

В каждом данном рассуждении из двух противоречащих друг другу суждений следует считать истинным только одно.

Иногда закон исключенного третьего формулируют в таком виде: каждое суждение йибо истинно, либо ложно. Эта формулировка больше похожа на принцип двузначности, т.е. запрета других истинностных значений, кроме истины и ложности, так как даны только две возможности и третьего не дано. Отсюда и название этого закона: закон исключенного третьего и его латинская формулировка: tertium non datur — третьего не дано.

Название закона достаточно точно передает его смысл: мир таков, как описывается в данном суждении, или таков, как описывается в его отрицании, и третьей возможности нет.

В классихеской логике XX века закон исключенного третьего принято передавать в следующей форме:

A

Таблица для этого суждения будет выглядеть так:

A			A
И		Л	И
Л		И	И

Таким образом, мы убедились, что закон исключенного третьего также является логическим законом.

Закон исключенного третьего играет важную роль в рассуждениях. Решая задачи о рыцарях и лжецах, мы с вами неявно использовали закон исключенного третьего. Действительно, когда нам удавалось доказать, что суждение о том, что, например, X является рыцарем, ложно, то мы почему-то были уверены, что суждение «X является лжецом» истинно. На каком основании? Именно на основании закона исключенного третьего, согласно которому одно из двух противоречивых суждений истинно, мы заключаем, что суждение «A является лжецом» истинно.

Такая роль закона исключенного третьего позволяет нам выявить его роль в известных вам из математики доказательствах от противного. Действительно, в доказательствах от прмтивного мы, чтобы доказать суждение (теорему) A, на некоторое время допускаем суждение, противоречащее A, т.е., и затем тем или иным способом доказываем, чтоложно. Из этого мы на основании закона исключенного третьего заключаем, что A истинно. Парадоксальным образом именно эта важная роль закона исключенного третьего отрицательно сказалась на его судьбе. Дело в том, что в классическом математическом анализе многие теоремы, особенно так называемые теоремы существования, доказывались при помощи доказательств от противного. Если речь шла о существовании некоторого объекта, например, функции, то предполагалось, что данного объекта не существует, а потом из этого предположения выводилось противоречие. Таким образом, доказывалась ложность предположения о несуществовании данного объекта, из чего по закону исключенного третьего выводилась истинность суждения о существовании данного объекта, т.е. исходная теорема. Однако это доказательство не помогало построить саму этс функцию из других более элементарных, не давало метода построения исследуемого объекта, и следовательно, не было интуитивно убедительным. Отсюда и родились два направления в основаниях математики, которые так или иначе отвергали закон исключенного третьего — интуиционизм и конструктивизм.

Другая линия критики закона исключенного третьего исходила из философских соображений. Я имею в виду попытку построения в начале нашего века русским логиком Н.А. Васильевым «воображаемой», или неаристотелевской логики, иоторая послужила прототипом современных паранепротиворечивых логик, в которых исследуются способы обращения с противоречивыми суждениями. Н.А. Васильев считал, что в некоторых логиках вместо закона исключенного третьего должен действовать закон исключенного четвертого и т.д.

Однако критика этого закона со стороны интуиционистов вызвала сопротивление со стороны более «классически» настроенных математиков, вставших на защиту закона исключенного третьего. Так, знаменитый немецкий математик Давид Гильберт писай: «Отнять у математиков закон исключенного третьего — это то же, что забрать у астрономов телескоп или запретить боксерам пользоваться кулаками».

В рамках классической логики закон исключенного третьего остается важным принципом, описывающим в идеализированной форме одну из самых важных закономерностей мышления — его определенность.