§ 3. Сложные суждения

Ав: Итак, теперь мы с вами знаем общие условия истинности простых суждений, а для категмрических суждений и более конкретные условия их истинности.

Сс: Да, но только часто ли мы мыслим при помощи простых суждений?

Ст: Может быть, мы и не часто высказывали простые суждения, хотя, я думаю, что это не очень хорошо. Мне понравились категорические суждения. Их легче понять и проще установить, истинны они или ложны. Но, к сожалению, все время слышишь какие-то запутанные суждения.

Ав: Вот мы и начали двигаться дальше. Запутать, конечно, можно все, что угодно. Но можно и попытаться строить из простых суждений более сложные, не теряя ясности и отчетливости.

Ст: Что-то я такого не встречал.

Ав: Значит, в вашем окружении мало кто изучал логику всерьез, т.е. так, чтобы она повлияла на стиль мышления.

Сс: Это пока все слова. Давайте лучше посмотрим, как из простых суждений создавать более сложные, «не теряя ясности и отчетливости», как Вы выразились.

Ав: Давайте. Только сначала решим одну задачу из, надеюсь, любимой нами серии о рыцарях и лжецах. С условием этой задачи мы уже встречались, когда в § 1 этой гйавы речь шла об отличении сложных суждений от простых.

Сс: А это там, где X говорит: «Или я лжец, или Y — рыцарь».

Ав: Да, именно. Нужно только уточнить, что мы опять встретили двух туземцев X и Y и необходимо узнать, кто из них рыцарь, а кто лжец.

Сс (после некоторого размышления): Поскольку он говорит про себя, что он лжец, значит он не может быть рыцарем, а следовательно, он лжец, значит, про второго он тоже лжет, следовательно, второй тоже лжец. Значит, они оба лжецы.

Ст: Подожди, ты что-то слишком быстро пронесся вперед. Он же не говорит про себя, что он лжец. Уважаемый Автор уже разбирал это в § 1 этой темы. Он говорит более сложное суждение: «Или я рыцарь, или Y — лжец», и именно это суждение мы должны оценивать: может он его высказать или нет.

Ав: А рыцарь может сказать, что он лжец?

Сс: Нет, не может, мы это уже разбирали.

Ав: Вот видите, а вы его в этом обвинили. А он ведь и не говорит, что он лжец. Даже в вашей логике это ваше рассуждение не проходит. Но ваш друг Ст, по-моему, сделал вам очень правильное замечание, с которым я полностью согласен.

Сс: Ну, тогда я не знаю.

Ст: Здесь какое хитрое слово «или». Именно оно, по-моему, не дает решить нашу задачу.

Сс: А что в нем хитрого? «Или» означает или то, или другое.

Ст: Ага, отлично ты это определил «или» через «или». Это называется тавтология.

Сс: Я же говорю, что не знаю.

Ав: Получается, что мы не знаем смысла слова «или»?!

Ст: Да нет, вообще-то знаем, но как-то не совсем.

Ав: Давайте выясним все это «совсем».

В § 1 этой главы мы определили сложные суждения как суждения, в которых встречается более одного утверждения или отрицания. Это – логическое понятие сложного суждения. В грамматике русского языка сложными считаются предложения, в которых два или более других предложений связаны союзами. Из грамматики мы и возьмем идею союза. Но в применении к суждениям несколько модифицируем это понимание.­

В логике сложные суждения составляются из простых при помощи логических союзов. Мы рассмотрим пять таких логических союзов:

... и ... — соединительный союе или конъюнкция;

... или ... — разделительный союз или дизъюнкция;

либо ..., либо... — строго разделительный союз или строгая дизъюнкция;

если..., то ... — условный союз или импликация;

... тогда и только тогда, когда ... — равносильность или эквивалентность;

неверно, что... — отрицание.

Заметим, что союз «неверно, что …» отличается от всех остальных. Он действует только на одно суждение, образуя из него сложное суждение¹, другие союзы связывают два суждения в новое, более сложное.

Обозначим наши союзы следующим образом:

Союз	Название	Обозначения
… и …	Соединительный союз, или конъюнкция
… или …	Разделительный союз, или дизъюнкция
либо…, либо…	Строго разделительный союз, или строгая дизъюнкция
если…, то…	Условный союз, или импликация	
… тогда и только тогда, когда…	Равносильность, или эквивалентность
неверно, что	Отрицание	

Сложные суждения образуются из простых при помощи указанных союзов. Мы введем специальные названия для различных видов сложных суждений.

Суждения с союзом «и» назовем соединительными суждениями, суждения с союзом «или» – разделительными суждениями, суждения с союзом «если…, то» - условными суждениями, суждения с союзом «тогда и только тогда, когда» – суждениями эквивалентности, суждения с отрицанием – отрицательными суждениями.

Главным для нас будет следующий вопрос: каким образом сложные суждения строятся из простых при помощи логических союзов? Нам надо ответить на этот вопрос таким образом, чтобы показать этот способ для всех возможных суждений. Поэтому нам придется построить для этого специальный искусственный язык. Мы назовем его Язык Логики Суждений (ЯЛС).

Прежде, чем приступить к пмстроению нашего первого искусственного языка, разберемся, что же такое искусственный язык вообще и чем он отличается от естественного языка.

Все языки делятся на естественные и искусственные.

Естественный язык — это стихийно возникший язык, служащий для повседневного общения и познания.

Искусственный язык — это язык, специально построенный для достижения определенной цели.

Этот учебник написан на естественном языке. На естественном языке вам читают лекции по логике, на естественном языке разговаривают друг с другом англичане, и разговаривали в Древнем Риме. Хотя на древнегреческом, латыни и многих других языках теперь уже никто не говорит в своей повседневной жизни, они, тем не менее, остаются естественными языками.

На естественном языке можно сказать почти все. Но именно «почти». Когда возникают задачи, требующие выражения значительных объемов информации при помощи сравнительно кратких последовательностей знаков или требующие при своем решении особой точности и недвусмысленности используемых знаков, то мказывается, что естественный язык недостаточен для решения таких задач. Знаки естественного языка многозначны, выражения его часто настолько многосмысленны, что вне контекста общения вообще не поймешь, о чем идет речь. «Лук оказался хорош!» — о чем здесь идет речь? То ли об оружии индейцев и мальчишек, то ли (если лук с черным хлебом) о любимой еде. В естественном языке употребляются такие приемы, как ирония, суть которой заключается в том, что мысль автора высказывания вообще противоположна непосредственнмму смыслу используемого выражения.

Поэтому там, где возникают задачи, решение которых требует краткости или точности общения, возникает и потребность в искусственном языке.

Вы уже знаете различные искусственные языки. Это, например, язык, на котором составлена таблица Менделеева, язык алгебры, язык нотной записи, языки программирования. Но все эти языки полуформальны, они используют знаки искусственного языка наряду со знаками естественного языка, и поэтому только частично достигают тех целей, ради которых строятся искусственные языки. Кроме того, они изучаются подобно естественным языкам. Их знаки постепенно вводят в общение, например, на соответствующих уроках в школе как простое расширение естественного языка. В логике, напротив, пытаются строить совершенно искусственные языки, в которых не используются никакие выражения естественного языка. На этих языках нельзя говорить, они употребляются только при письме. Зато они позволяют точно воспроизводить логическую форму¹ понятий, суждений и рассуждений. Сейчас мы рассмотрим язык, специально предназначенный для следования за логической формой сложных суждений.

Любой язык начинается с алфавита.

Алфавит ЯЛС

1. p, q, r, s, p₁, q₁, r₁, s₁, p_2, q₂, ...,

2. ,,,, , –,

3. (,).

Все это — знаки ЯЛС.

Задав алфавит, можно приступать к способу построения выражений (слов) в языке ЛС. Однако, чтобы говорить (или писать) нечто о выражениях ЯЛС, нам также нужен язык. Поэтому нам нридется ввести еще одно различение.

Метаязык — это язык, на котором говорят о другом языке.

Возьмите в руки учебник английского языка для русских. В нем представлены два языка: язык, который служит предметом рассмотрения, — английский, и язык, на котором описывают другой язык, — русский. Русский играет здесь роль метаязыка.

Язык, описание которого происходит при помощи метаязыка, называется объектным языком, или языком-объектом.

В нашем примере объектным языком является английский. Если взять учебник русского языка для англичан, то отношение будет обратное: русский будет объектным языком, а английский метаязыком.

В нашем случае мы будем использовать в качестве знаков метаязыка большие буквы из начала латинского алфавита²: A, B, C, D, A₁ и т.п. Они будут означать произвольные выражения нашего объектного языка.

Теперь мы в состоянии дать индуктивное определение ЯЛС:

1. p, q, r, s, p₁, q₁, r₁, s₁, p₂, ... — суждения³.

2. Если A и B есть суждения, то (АВ), (AB), (AB), (AB), (AB), () — суждения².

3. Ничто иное не является суждением.

Каким же образом строятся выражения нашего языка — сложные суждения?

По пункту 1 p и q есть суждения. Следовательно, по пункту 2 (pq) также есть суждение, а равно (pq), (pq) также есть суждения. Но поскольку (pq) и (pq) — суждения, то (если за А взять (pq), а за В - (pq)) получится, что ((pq)(pq)) — также суждение по пункту 2. Таким образом, можно построить бесконечно много сложных суждений или, точнее говоря, все возможные формы сложных суждений.

Логической формой сложного сужения будем называть его запись на языке логики суждений, в которой простые суждения заменены на буквы p, q, r, s, p₁, q₁ и т. п.

Пример. Рассмотрим суждение: «Если я пойду на лекцию по лмгике, то я поеду с тобой на море». Заменим простые суждения в этом сложном суждении на переменные нашего языка. Суждение «Я пойду на лекцию по логике» — на p, а суждение «Я поеду с тобой на море» — на q. Учитывая, что связь между этими суждениями — импликация, то мы запишем это суждение на ЯЛС следующим образом:

(pq)

и тем самым выявим его логическую форму. В дальнейшем мы будем опускать скобки, если это не вызывает недоразумений. В этом случае рассматриваемое суждение будет выглядеть следующим образом:

p  q

Пример. «Вы получите удовлетворительную оценку по логике тогда и только тогда, когда вы решите все предлагаемые вам задачи и не будете шуметь на лекциях».

Обозначим простые суждения при помощи знаков языка ЯЛС.

«Вы получите удовлетворительную оценку по логике» — p.

«Вы решите все предлагаемые вам задачи» — q.

«Вы будете шуметь на лекциях» — r.

Связку «тогда и только тогда, когда» — эквивалентность— «».

Связку «не» — отрицание –«».

Следовательно, получится:

p(q).

Таким образом можно выявить логическую форму любого сложного суждения.

Теперь у нас все готово, чтобы приступить к способам определения истинности или ложности сложных суждений.

Мы будем отвечать на следующий вопрос, который будем называть главным вопросом: каким образом истинность или ложность сложных суждений зависит от истинности или ложности простых суждений?

Истинность и ложность простых суждений находится вне власти логики. Логика может только определить общее понятие истинности (см. § 1 этой главы) и специальные условия истинности для некоторых видов суждений (таких, как категорические – см. § 2 этой главы), но истинность и ложность каждого конкретного суждения — дело не логики, а конкретного исследования состояния мира, внелогической реальности. Поэтому мы будем считать, что значения истинности (истина или ложь) даны нам извне, и мы будем оперировать с ними как с данными.

Поскольку сложные суждения получаются из простых при помощи логических союзов, то чтобы ответить на поставленный вопрос, нам надо выяснить смысл логических союзов, или, говоря на логическом языке, построить для них семантику. Строить ее мы будем при помощи так называемых таблиц истинности. Эти таблицы были придуманы австрийским логиком и философом Людвигом Витгенштейном еще во время Первой мировой войны. Они окажут нам неоценимую помощь, несмотря на свой почтенный возраст.

Строятся эти таблицы следующим образом:

1. Каждая таблица имеет вход и выход.

2. На входе выписываются все возможные комбинации истинностных значений суждений, из которых составлено рассматриваемое сложное суждение.

3. На выходе выписывается значение сложного суждения.

Рассмотрим суждения pq, pq, pq, pq, p≡q, . Первые пять сложных суждений составлены из двух простых. Поэтому построим таблицу, у которой на входе будет два суждения, а на выходе — интересующее нас сложное суждение.

1. Соединительное суждение — конъюнкция — pq.

Чтобы вести разговор о произвольных сложных соединительных или конъюнктивных суждениях, следует вместо знаков нашего ЯЛС использовать метазнаки. Тогда наше суждение примет вид:

AB

Чтобы понять смысл союза «и», рассмотрим следующую ситуацию. Допустим, что вы обещаете своему другу: «Завтра я пойду на лекцию по логике и поеду с тобой на море». В каких случаях вы сдержите свое обещание, а в каких — нет? В первых случаях естественно предполагать, что наше суждение с союзом «и» истинно, а во вторых — ложно.

Обозначим для общности суждение «Я пойду на лекцию по логике» через A, а суждение «Я поеду с тобой на море» — через B¹.

Рассмотрим четыре комбинации значений наших составляющих суждений:

а) Вы пошли на лекцию по логике, и поехали с другом на море.Таким образом и суждение А, и суждение B — истинны. В этом случае Вы, безусловно, сдержали обещание, значит, наше сложное суждение должно быть истинным. Мы получили первую строчку в таблице:

A	B		AB
И	И		И

б) Вы пошли на лекцию по логике, т.е. A — истинно, но не поехали с другом на море, т.е. B — ложно. В таком случае Вы явно не сдержали свое обещание, следовательно, наше сложное суждение ложно. Мы получили вторую строчку в таблице:

A	B		AB
И	Л		Л

в) Вы не пошли на лекцию по логике, нопоехали с другом на море.В этом случае Вы также не сдержали обещание. Наше суждение таиже ложно.

A	B		AB
Л	И		Л

г) Вы не пошли на лекцию по логике и не поехали с другом на море. Ни о каком выполнении Вашего обещания не может быть и речи.

A	B		AB
Л	Л		Л

Таким образом, мы определили истинностные значения суждения AB для всех возможных комбинаций значений его составляющих.

В итоге получается следующая таблица:

A	B		AB
И	И		И
И	Л		Л
Л	И		Л
Л	Л		Л

Такова истинностная таблица для соединительного союза «и», или конъюнкции.

2. Разделительное суждение — дизъюнкция — pq.

Предположим, Вы обещаете своему другу: «Я завтра пойду на лекцию по логике или поеду с тобой на море».

а) Вы пошли на лекцию по логике и поехали с другом на море. Это означает, что Вы сдержали обещание, даже с перевыполнением. Одновременно это означает, что мы с вами рассматриваем неисключающее «или», союз, который допускает одновременнуь реализацию обеих перечисляемых альтернатив. Поэтому в данном случае наше сложное суждение истинно.

Получается следующая строка:

A	B		AB
И	И		И

б) Вы пошли на лекцию по логике, но не поехали с другом на море.Поскольку Вы ему обещали сделать, по крайней мере, одно из двух, то Вы свое обещание сдержали, а это означает, что наше сложное суждение истинно.

A	B		AB
И	Л		И

в) Вы не пошли на лекцию по логике, что заслуживает всяческого осуждения, нопоехали с другом на море.Хотя вы вели себя с точки зрения Автора явно неправильно, тем не менее Вы сдержали свое обещание, а следовательно, наше суждение истинно.

A	B		AB
Л	И		И

г) Вы не пошли на лекцию по логикеине поехали на море. Это означает, что Вы не сдержали своего обещания, а значит, наше суждение ложно.

A	B		AB
Л	Л		Л

Собираем строки таблицы вместе:

A	B		AB
И	И		И
И	Л		И
Л	И		И
Л	Л		Л

3. «Либо..., либо...» — строго разделительное суждение, строгая дизъюнкция.

Строгая дизъюнкция отличается от обычной тем, что в ней утверждается несовместимость составляющих суждений. Поэтому строгая дизъюнкция будет отличаться от обычной только первой строкой:

A	B		AB
И	И		Л
И	Л		И
Л	И		И
Л	Л		Л